二次函數(shù)鉛垂高演練答案、解析、總結(jié)

1、二次函數(shù)鉛垂高如圖12-1,過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度1.叫4ABC的“鉛垂局(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：Sabc-ah,2即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半解答下列問(wèn)題：如圖12-2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求CAB的鉛垂高CD及SCAB；(3)是否存在一點(diǎn)P,使字PAB=-SACAB,說(shuō)明理由

2、.8例1解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y1a(x1)241分把A(3,0)代入解析式求得a1所以y1(x1)24x22x33分設(shè)直線AB的解析式為：y2kxb由y1x22x3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)4分把A(3,0),B(0,3)代入y2kxb中解得：k1,b3所以、2x36分(2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)所以當(dāng)x=l時(shí)，y=4,y2=2所以CD=4-2=28分C1Scab-323(平萬(wàn)單位)10分2(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,4PAB的鉛垂高為h,則hy1y2(x22x3)(x3)x3x12分由SPAB=SACAB8一1c9得：3(x23x)328化簡(jiǎn)彳導(dǎo):4x212

3、x903解得，x3232將x-代入y1x2x3中,14分一315解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(萬(wàn)，)總結(jié):求不規(guī)則三角形面積時(shí)不妨利用鉛垂高。鉛垂高的表示方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，要學(xué)會(huì)用坐標(biāo)表示線段。例2(2010廣東省中考擬)如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B1點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,tan/ACG-.3(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)經(jīng)過(guò)CD兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)ACE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

4、.(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于MN兩點(diǎn)，且以MN/直徑白圓與x軸相切，求該圓半徑的長(zhǎng)度.(4)如圖11,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最1)方法一：由已知得：C(0,3),A(1,0)abc09a3bc0將AB、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得C3a1b2解得：C32所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：yx2x3方法二：由已知得：C(0,3),A(1,0)設(shè)該表達(dá)式為：ya(x1)(x3)將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a12所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：yx2x3(注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不

5、扣分)(2)方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)理由：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：yx3，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0)由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE=CF=2,AE/CF 以AGE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,3)方法二：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：yx3 .E點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0) 以AGE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 .F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)或(一2,3)或(4,3)代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有(2,3)符合，存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,3)(3)如圖，當(dāng)直線MNx軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為+1y1.17R代入拋物線的表達(dá)式，解得2當(dāng)直線MN在x

6、軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r(r>0),代入拋物線的表達(dá)式，解得1.172.17R(R>0),則A圓的半徑為2或2(4)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q,易得G(2,3),直線AG為y2設(shè)P(x,x2x3),貝Uq(x,-x-1),PQQQQ12SAPGSAPQSGPQ一(x2x2)31x當(dāng)2時(shí)，APG的面積最大115此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)為2,丁，Sapg的最大值為278A、B的坐標(biāo)分別為(-4,0)和隨堂練習(xí)1.(2010江蘇無(wú)錫)如圖，矩形ABCD勺頂點(diǎn)(2,0),BC=2內(nèi).設(shè)直線AC與直線x=4交于點(diǎn)E.(1)求以直線x=4為對(duì)稱軸，且過(guò)C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明此拋物

7、線一定過(guò)點(diǎn)E;(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N,M是該拋物線上位于CN之間的一動(dòng)點(diǎn)，求CMN!積的最大值.【答案】解：(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)2內(nèi).設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為2ya(x4)m16am則4am'.3一，m68.33，所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.32(x4)64k設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxbw2ky直線AC的函數(shù)關(guān)系式為343-x33，點(diǎn)E的坐標(biāo)為“8,、3、(4丁3”，、28、38.3y(44)把x=4代入式，得633.此拋物線過(guò)E點(diǎn).(2)(1)中拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N(8,0),設(shè)M(x,y),過(guò)M作MGLx軸于G,貝USACMN=SMNG+螂形MGBCS4

8、1(8CBN=21x)gy-(y22、.3)(x2)1(823y3x8.33(Gx)、3x8.3x25、,3x8,332史(x25)29.329、3當(dāng)x=5時(shí)，SACMNt最大值2課下練習(xí)1.(本題滿分12分)已知：如圖一次函數(shù)y="2x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;二次函數(shù)y=1x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=2x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得PBC是以所有的點(diǎn)P,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.0)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出3.(2010山東臨沂)

9、如圖，二次函數(shù)2yxax1b的圖象與x軸交于(3,8(2。兩(1)求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀;(2)在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形?【答案】解：根據(jù)題意，將A(2,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,1-a22a解這個(gè)方程，得0,0.32,1.全品中考網(wǎng)所以拋物線的解析式為3y=-x2+2x+1.當(dāng)x=0時(shí)，y=1.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)。所以在AOC中，AC=VOA0c之=2在BOC中，BC=OB20c2=娓1AB=O

10、A+OB=2因?yàn)锳C2+BC2=c25522AB所以ABC是直角三角形。3(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)是I(3)存在。由(1)知，AC±BC,若以直線BC為底邊，則BC/AP,如圖(1)所示，可求得BC的解析式為1x12直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線y1xbAP的解析式為21111y_x-將A（2,0）代入直線AP的解析式求得b=4,所以直線ap的解析式為24.311x-因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+2x+1=24.5xx2解得212（不合題意，舍去）圖2的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸53當(dāng)x=2時(shí)，y=2.53所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）

11、.若以AC為底邊，則BP/AC,如圖（2）所示，可求得直線AC的解析式為y2x1直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線bp的解析式為y2xb,將B（2,0）代入直線BP的解析式求得b=-4，所以直線BP的解析式為y=2x-4.因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+2x+1=2x-4X二，x22解得2（不合題意，舍去）5當(dāng)x=-2時(shí)，y=-9.5所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,-9）.5綜上所述，滿足題目的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3x42（本題10分）如圖，已知二次函數(shù)y=42交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,連接AC.點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)線段AC

12、上是否存在點(diǎn)巳使得4EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？PA、PC,若所得APAC的面積為S,(2)易得.解：(1)A(0,4),C(D(3,0),則b4,8kb0.k解得b1,24.分當(dāng)DE=DC時(shí),OA=4,OD=3.DA=5,日(0,當(dāng)ED=EC時(shí),可得e2(U,5)24當(dāng)CD=CE時(shí),如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGXCD,則CEGCAO,.史OA即EG遍,CG2V5，CGOCE3(8綜上，符合條件的點(diǎn)E有三個(gè)：匕AC2代，娟),(0,4),e2(1125分5、，、Z)'E3(8275，45)(3)如圖，過(guò)P作PHLOC,垂足為H,交直線