2019屆高三文科數(shù)學(xué)(通用版)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：第1部分專題6突破點16導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(酌情自選)

1、突破點16導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用( (酌情自選)核心知識聚焦核心提煉提煉 i 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果 f (x) 0,那么函數(shù) y= f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果 f (x)v0,那么函數(shù) y= f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2) 常數(shù)函數(shù)的判定方法如果在某個區(qū)間(a, b)內(nèi)，恒有 f (x)= 0,那么函數(shù) y= f(x)是常數(shù)函數(shù)，在此區(qū)間內(nèi)不具 有單調(diào)性.(3) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)f (x) 0(或 f (x)w0)，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注

2、意等號成立的檢驗)提煉 2 函數(shù)極值的判別注意點(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為 0 的點不一定是極值點，如函數(shù)f(x)= x3，當(dāng) x=0 時就不是極值點，但 f (0) = 0.極值點不是一個點，而是一個數(shù)X0,當(dāng) x = x0時，函數(shù)取得極值在x0處有 f (x0)= 0是函數(shù) f(x)在 x0處取得極值的必要不充分條件.(3)函數(shù) f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點函數(shù)值中的最 大值，函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點函數(shù)值中的最小CWVMWIWWWdVWWWWWWIWWWWWWWMWWViWWMWWWrfWWWWWW

3、VWWWWWWWrfWA值.提煉 3 函數(shù)最值的判別方法(1)求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a, b上最值的關(guān)鍵是求出 f (x)= 0 的根的函數(shù)值，再與 f(a), f(b) 作比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.求函數(shù) f(x)在非閉區(qū)間上的最值，只需利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可得結(jié)論.真題回訪回訪 1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性11.(2019 全國乙卷)若函數(shù) f(x)=xsin 2x+asin x 在( 8,+)單調(diào)遞增，則 a 的取值12 2 f(x) = x sin 2x sin x, f (x)= 1 cos 2x cosx,但 f (0) = 1 - 12=-

4、v0,不具備在(8,+)單調(diào)遞增的條件，故排除 A,B,D.故選 C.32 .(2019 全國卷H)設(shè)函數(shù) f (x)是奇函數(shù) f(x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，f( 1) = 0,當(dāng) x0 時，xf (x)f(x)0 成立的 x 的取值范圍是()g (x)0, g(x)0 時，f(x)0,0 x1 ,當(dāng) x0, g(x)0 , x0 成立的 x 的取值范圍是(8,1)U(0,1)，故選 A.回訪 2 函數(shù)的極值與最值3. (2019 全國卷I)已知函數(shù) f(x) = ax3 3*+ 1,若 f(x)存在唯一的零點 心 且 x0，則 a 的取值范圍是()A.(2, +8)B.(8,2)C.(1, +

5、8)D.(8,1)2B f (x) = 3ax 6x,范圍是()A.( 8, 1)U(0,1)C.( 8, 1)U(1,0)B.(1,0)U(1,+8)D.(0,1)U(1, +8)A 設(shè) y= g(x)=豐0)，貝 y g (x) =x2，當(dāng) x0 時，xf(x) f(x)0;不符合題意，排除 A、C.當(dāng) a= 時，f (x) = 4x2 6x= 2x(2x + 3)，則當(dāng) x| 時，f，(x)0, x(0,)時,f (x) a.(1)_若 a= 0,貝 U f(x)的最大值為;若 f(x)無最大值，則實數(shù)a 的取值范圍是 _22 a 1 由當(dāng) x 1 時，f(x)有最大值；當(dāng) aa 時無最

6、大值，且一 2a(x一 3x)max，所以 a 1.熱點題型 1 禾 U 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題題型分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題常在解答題的第(1)問中呈現(xiàn)，有一定的區(qū)分度，此類題涉及函數(shù)的極值點、禾 U 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、不等式的恒成立等.(2019 遼寧葫蘆島模擬)已知 x= 1 是 f(x) = 2x+ - + In x 的一個極值點. x(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；3 亠 a設(shè)函數(shù) g(x) = f(x) ，若函數(shù) g(x)在區(qū)間 1,2內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a 的取值范圍x解因為 f(x)= 2x +b+ In x,所以 f (x)= 2 2+ -,因為 x =

7、 1 是 f(x) = 2x+b+ In x 的一 xxxx個極值點，所以f(1) = 2 b+ 1 = 0，解得 b= 3,經(jīng)檢驗，符合題意，所以 b = 3.則函數(shù) f(x)3=2x+ - + In x,其定義域為(0 ,+ ).4 分x313令 f (x)= 2 -2+-0 在 1,2上恒成立，即 2 +1+電0 在 x1,2上恒成立，所以 a ( 2x2x)max，而在1,2上，(一22- x)max=3,所以 a3.所以實數(shù) a 的取值范圍為一 3,+).12 分I方法指澤I根據(jù)函數(shù) y= f(x)在(a, b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：熱點型探究卜例E1y= f(x)在(a,

8、b)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為 f(X)A0 在(a, b)上恒成立求解.b)上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為 f (x)w0 在(a, b)上恒成立求解.若 f(x)在 3,+ )上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍.解對 f(x)求導(dǎo)得(6x+ a盧(3x2+ axp；f (x)=23x + 6 a x+ a.2 分因為 f(x)在 x= 0 處取得極值，所以 f (0)= 0,即 a= 0.23x2 3x + 6x33當(dāng) a= 0 時，f(x)=_eT, f (x) =X，故 f(1) = -, f (1) = e 從而 f(x)在點(1, f(1)33處的切線方程為y 一= (x 1)，化簡得 3x ey= 0.

9、6 分e e23x + (6 a x + a(2)-由(1)知 f (x)=2令 g(x) = 3x + (6 a)x+ a,6 aJa + 36由 g(x)= 0,解得 X1=,6 a + . a + 36X2=6.8 分當(dāng) xvX1時，g(x)v0, 即卩 f (x)v0,故 f(x)為減函數(shù)；當(dāng) X1 0,即 f (x) 0,故 f(x)為增函數(shù)；當(dāng) xX2時，g(x)v0, 即卩 f (x)v0,(1)若函數(shù)(2)若函數(shù)y= f(x)在(a.(3)若函數(shù)或恒負.y= f(x)在(a,b)上單調(diào)，轉(zhuǎn)化為f(x)在(a, b)上不變號即f(x)在(a, b)上恒正(4)若函數(shù) y= f(x

10、)在(a,b)上不單調(diào),變式訓(xùn)練1 (2019 重慶模擬)設(shè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為 f (x)在(a, b)上變號.2 ,“ 、3x + axf(x)=X(a R).(1)若 f(x)在 x= 0 處取得極值，確定a 的值，并求此時曲線 y= f(x)在點(1, f(1)處的切線方程;x 2(e)故 f(x)為減函數(shù).6 一 a + /a + 36” /口9由 f(x)在 3,+)上為減函數(shù)，知 X2=-9,6 2故 a 的取值范圍為 一|,+g12 分熱點題型 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題題型分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是高考重點考查內(nèi)容，主要以解答題的形式 考查，難度較大.x112(20

11、19 株洲一模)已知函數(shù) f(x)滿足 f(x)= fex 1-f(0)x+2x2.(1)求 f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；若 f(x) 1x2+ ax+ b，求(a+ 1)b 的最大值.1解(1)f(x) = f (1)ex1-f(0)x+ 2x2? f (x) = f (1)ex-1-f(0) + x,令 x= 1,得 f(0) = 1，所以”x-1, 1 2f(x) = f (1)e x+ x ,令 x= 0,得 f(0) = f (1)e-1= 1,解得 f (1) = e,故函數(shù)的解析式為f(x) = ex-x+ x2.3 分令 g(x)= f (x)= ex-1 + x,所以 g (

12、x)= ex+ 1 0，由此知 y= g(x)在 xR 上單調(diào)遞增.當(dāng) x0 時，f (x)f (0) = 0;當(dāng) xv0 時，由 f (x)vf (0)= 0 得：函數(shù) f(x)= ex-x + *x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+m)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一g,0).6 分1(2)f(x)?x2+ ax+ b? h(x) = ex- (a + 1)x- b 0，得 h (x)= ex- (a+ 1).8 分1當(dāng) a+ 1 0? y= h(x)在 xR 上單調(diào)遞增，-g時，h(x)fg與 h(x) 0 矛盾.2當(dāng) a+ 1 0 時，h (x)0? xIn(a+ 1), h (x)v0? xvIn(a+

13、1),得當(dāng) x= ln(a+ 1)時,h(x)min= (a+1) (a+ 1)ln(a+1) b0,即(a + 1) (a+ 1)ln(a + 1)b, 所以(a+ 1)bw(a+ 1)2 (a + 1)勺 n(a+ 1)(a+ 1 0).令 F(x)= x2- x2ln x(x 0)，則 F (x)= x(1 - 2ln x),卜例所以 F (x) 0? OvxvJe, F (x) e,當(dāng) x = e 時，F(xiàn)(x)max= 2 即當(dāng) a= e 1, b=時，(a + 1)b 的最大值為 .12 分I方法指津I利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法1 若求極值，則先求方程f (x) = 0 的根，

14、再檢查 f (x)在方程根的左右函數(shù)值的符號.2 .若已知極值大小或存在情況， 則轉(zhuǎn)化為已知方程 f (x) = 0 根的大小或存在情況來求解.3.求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a, b上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a), f(b)與 f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.變式訓(xùn)練 2 (2019 全國卷n)已知函數(shù) f(x) = In x+ a(1 x).(1) 討論 f(x)的單調(diào)性；(2) 當(dāng) f(x)有最大值，且最大值大于2a 2 時，求 a 的取值范圍.解(1)f(x)的定義域為(0 ,+), f (x)=丄一 a.2 分x若 a 0，所以 f(x)在(0 ,

15、+)上單調(diào)遞增.若 a0，則當(dāng) x 0, * 時，f (x)0 ;當(dāng) x 1+a時，f (x)0 時，f(x)在 x=匚處取得最大值，最大值為a令 g(a)= ln a+ a 1，貝 U g(a)在(0, + a)上單調(diào)遞增，g(1) = 0.于是，當(dāng) 0a1 時，g(a)1 時，g(a)0.因此，a 的取值范圍是(0,1).12 分熱點題型 3 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題ln a + a 1.1011=因此 f2a 2 等價于 ln a + a 10.題型分析：此類問題以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式相交匯為命題點，實現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式及求最值的相互轉(zhuǎn)化，達成了綜合考查考生解題能力的目的.(1) 若函數(shù)

16、f(x)在(1 ,+ )上為減函數(shù)，求實數(shù) a 的最小值；(2) 若存在 xi,x2 e, e2，使 f(xi)0,解由得 x0 且 XM1，則函數(shù) f(x)的定義域為(0,1) L(1,+s)，因為 f(x)在mXM0,In x 1f (x) =|n x2 aw0 在(1, +g)上恒成立.In x 12 a=(lnX)1 121故當(dāng) nx= 2，即卩 x= e2時，f (x)max= 4 a.1 1 1所以 4-aw0,于是a4,故a的最小值為 1.4 分命題若存在 X1, x26e, e2，使 f(x1)wf(X2)+ a 成立”等價于當(dāng) xGe, e2時，有21f(x)minWf (x

17、)max+a由(1)知，當(dāng) X, e時，f(X)max= 4a，1f (X)max+ a=：.5 分41問題等價于：當(dāng) xg, e2時，有 f(x)minw4”.121當(dāng) a4 時，由 知，f(x)在 e, e2上為減函數(shù)，2e22111則 f(x)min= f(e )= aew4，故 a？ 42.6 分12112當(dāng) a0, 即卩 aw0, f (x)0，在 e, e 上恒成立，故 f(x)在 e, e 上為增函數(shù)，1于是，f(x)min= f(e) = e aee4，不合題意.8 分卜例X(2019 長沙十三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù) f(x)= 亦ax.(1, +g)上為減函數(shù)，故又 f (x) =(

18、ii) a0,即 0a1 由 f (x)的單調(diào)性和值域知,存在唯一 xqe, e2)，使 f (x)= 0，且滿足：當(dāng) x(e, xo)時，f (x)0 , f(x)為增函數(shù)；10 分Xo/ 12所以，fmin(x)= f(xo)= “ 乂。 axw4, x(e, e ),11111111所以，a廠 廳一 7=;，與 0a2 42.12 分I方法指律I1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.構(gòu)造新的函數(shù) h(x).(3) 利用導(dǎo)數(shù)研究 h(x)的單調(diào)性或最值.(4) 根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函

19、數(shù)的最值問題.2 構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)o(f(x) g(x) A 的不等式，可選 X1(或 X2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x,x2)(或 f(X1, x).(4)放縮法：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù).變式訓(xùn)練 3 (2019 太原一模)設(shè)函數(shù) f(x) = ax2in x+ b(x 1)(xo)，曲線 y= f(x)過點(e, e2e+ 1)，且在點(1,0)處的切線方程為 y= 0.(1) 求 a, b 的值；2(2) 證明：當(dāng) x 1 時，f(x) (x 1)；若當(dāng) x 1 時，f(x) m(x 1)2恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍. 解函數(shù) f(x)= ax2in x+ b(x1)(x0)，可得 f (x) = 2aln x + ax+