2019-2020年高中數(shù)學2.1.2《橢圓的幾何性質》教案(3)湘教版選修1-1

1、2019-2020年高中數(shù)學2.1.2橢圓的幾何性質教案（3）湘教版選修1-1教學目標1、能利用橢圓中的基本量a、b、c、e熟練地求橢圓的標準方程2、掌握橢圓的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程解一些簡單的問題3、培養(yǎng)理解能力，知識應用能力教學過程1、復習回顧說出橢圓x2/4+y2=1的范圍、長軸長、短軸長、離心率、頂點和焦點坐標、準線方程。求中心在原點，過點，一條準線方程是的橢圓方程。x23x216y2+y2=1,+=14721我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以地心（地球的中心）f2為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384k

2、m，并且A、B、F在同一直線上，地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星的運行軌道方程2（精確到1km）。分析：幾個概念的理解，坐標系的建立，由a+c,ac求a、b、c。x2/77832+y2/77222=12、探索研究橢圓參數(shù)方程的推導以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN丄Ox，垂足為N,過B作BM丄AN,垂足為M,求當半徑OA繞點0旋轉時點M的軌跡方程。解：設點M的坐標為（x,y）,Q是以Ox為始邊，OA為終邊的正角。取Q為參數(shù)，貝V，即這就是點M的軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)Q后得到方程x2/a2+y2/b2=1,由此可知點

3、M的軌跡是橢圓。點評：這道題給出了橢圓的一種畫法。大家想一想：畫橢圓的方法有幾種？3、反思應用例1將橢圓方程X2/16+y2/9=1化為參數(shù)方程。IX_（弟是參數(shù),<弟<2兀）Iy二3sinp例2在橢圓x2+8y2=8上到直線l：xy+4=0距離最短的點的坐標是，最短距離是_。解一（化歸法）：設平行于l的橢圓的切線方程為：xy+a=0,由消去x得9y22ay+a28=0=4a249（a28）=0,解得a=3或a=3,此時或，與直線l距離較小的切線方程為xy+3=0,這條切線與直線l的距離為，此時點P（8/3,1/3）解二：（參數(shù)法）設點，則點P到直線l的距離7I2V2cosGsin

4、0+41I3sin(aG)+41d二2二廠其中,sin0=cosa=1/3當sin(a0)=1時，d取得最小值，此時彳，：點P(cos0=sina=-2J2/38/3，1/3)解三：(換元法)設，則u2+v2=8,直線1：u+4=0,22uv+8、2=0,2辺由解得或(舍)，點P(8/3,1/3)點P到直線l的最短距離為d=I8/31/3+41例3已知橢圓x2/25+y2/16=1,點P(x,y)是橢圓上一點，求x2+y2的最大值與最小值;求3x+5y的范圍；若四邊形ABCD內接于橢圓，點A的橫坐標為5,點C的縱坐標為4,求四邊形ABCD的最大面積。分析一(消元法)：由x2/25+y2/16=

5、1得y2=16(1X2/25),.x2+y2=x2+16(1x?/25)=169x2/25.x2+y2的最大值是25，最小值是16二(參數(shù)法)：設x=5cos0,y=4sin0,x2y2=(5cos0)2+(4sin0)2=16+9sin20,x2+y2的最大值是25,最小值是16方法一：設x=5cos0,y=4sin0，則3x+5y=15cos0+20sin0=25sin(0+a),3x+5y的范圍是25,25方法二：設t=3x+5y，則直線3x+5y1=0與橢圓x2/25+y2/16=1有交點由消去y得：25x26tx+124OO=O,.A=3612100(t2400)20,解之得：t&#

6、163;25,25,即3x+5y的范圍是25,25由橢圓方程知A(5,0),C(0,4),直線AC的方程是4x+5y20=0,設B(5cos0,4sin0)(0<0<n/2),D(5cosa,4sina)(n<a<2n)，則點B到直線AC的距離I20cos0+20sin0201120、2sin(0+才)-20120.220是dBv'41Wv41-<41,I20cosa+20sina201120忑Sin(a+才)-201202-20d=<Dv41<41<41四邊形ABCD的最大面積是S=|AC|(dB+dD)/2=例4已知橢圓x2+2y2=

7、98及點P(0,5)：求點P到橢圓距離的最大值與最小值。分析：以點P(0,5)為圓心，內切于橢圓的圓的半徑為即為點P到橢圓的最小值；以點P(0,5)為圓心，外切于橢圓的圓的半徑為氣,，即為點P到橢圓的最大值。解：0+252<98,點P在橢圓的內部,，設以點P(0,5)為圓心，與橢圓相切的圓的方程為：x2+(y5)2=r2,將橢圓方程x2+2y2=98代入得r2=982y2+(y5)2=(y+5)2+144(7WyW7)當y=5時，r2=148,即卩r=；當y=7時，r2=4,即卩r=2。maxmaxminmin注意：本題的解法稱為輔助圓法例5求定點A(a,0)到橢圓x22y2=2上的點之

8、間的最短距離。分析：設點B(x,y)為橢圓上的任一點，由|AB|2=(xa)2+y2=(xa)2+1x2/2=(x2a)21a2-邁<x:.當丨aV<2/2時x=2a有IABI=：l-a2；min當a>42/2時x=J2有IABI=1a-、遼I；min當a<v2/2時，有x=v2有IABI=Ia+2I。min注意：本題的解法稱為函數(shù)法隨堂練習(1)曲線的參數(shù)方程，則此曲線是()A、橢圓B、直線C、橢圓的一部分D、線段把參數(shù)方程=4：;n細是參數(shù)，“5,寫成普通方程，并求出離心率，準線方程。x2/9+y2/16=1,離心率，準線方程已知橢圓的參數(shù)方程(申是參數(shù),0<

9、申V2兀)則此橢圓的長軸長是短軸長是，24、歸納總結數(shù)學思想：數(shù)形結合、類比的思想、特殊到一般數(shù)學方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法知識點：橢圓的參數(shù)方程、橢圓中的最值問題5、作業(yè)2019-2020年高中數(shù)學2.1.2橢圓的幾何性質教案(4)湘教版選修1-1教學目標 1、進一步理解并掌握橢圓的定義、標準方程 2、能根據條件求出橢圓的標準方程 3、進一步理解a、b、c、e的幾何意義，會用幾何性質解決有關問題 4、在坐標法的基礎上掌握點的軌跡條件滿足某曲線的定義時，用待定系數(shù)法求其方程教學過程1、復習回顧A組橢圓的定義運用：(l)AABC的周長為20,且B(4,0),C(4,0),

10、則點A的軌跡方程是.x2/36+y2/20=1(yM0)已知A(1,0),B(1,0),線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點C的軌跡方程是.x2/4+y2/3=1過點A(0,2),且與圓B：x2+(y+2”=36內切的動圓圓心C的軌跡方程是.x2/5+y2/9=1一動圓與圓A：(x+3”+y2=l外切，與圓B：(x3)2+y2=81內切，試求動圓圓心的軌跡方程。x2/25+y2/16=1橢圓x2/12+y2/3=l的一個焦點為片，點P在橢圓上，如果線段Pg的中點在y軸上，求點M的坐標。(6)P是橢圓x2/100+y2/64=l上的一點，F(xiàn)2分別是焦點如果"嚴2=60°,

11、求AFfF?的周長及面積；|PFj|PF21的最大值。111分析：考慮到ZF：pF2=60°和三角形的面積S=absinC/2，只要求出|PF|PF21問題就可以解決T.|PF1I|PFj如何求？如果設P(x,y)，由點P在橢圓上且ZFxPF2=60°，利用這兩個條件，列出關于x、y的兩個方程，解出x、y,再求AFF2的面積，雖然思路清晰，但運算量過大，考慮到這是一個幾何問題，能否利用圖形的幾何性質呢？橢圓的定義?？紤]到|PFj+|PF=20,要求|PFj|pf2|的最大值，應用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理即可。解：|FF|=12,|PF|+|PF|=20,AFPF的周長為3

12、2121212設|PFj=m,|PF2|=n,根據橢圓定義有m+n=20,在AFPF中，ZFPF=60°，由余弦定理得：m2+n22mncos60°=1441212m2n2mn=144，(mn)23mn=144，mn=256/3AF1PF2=|PF|PF|sin60°/21212562丁/|PF|+|PF|=2012IPFI+IPFl>2JIPF丨lPFI12'12(IPFI+IPFI)2PFI-1PFI<一1=10012I2丿當且僅當|PFj=|PF2|=10時等號成立，|PFj|pf2i的最大值是100。已知點P為橢圓x2/25+y2/9=

13、1上的一點，F(xiàn)樣為橢圓的左焦點與右焦點，點P到左準線的距離為d,點P到右準線的距離為。若|pf=3.5，則d2=；若|pf|:|pf2|=2:3,則點P的坐標是；若d2=4.5/則d=；若P(3,y),則|PF|=；若|PFj丄|PF，則點P的坐標是；若點M(3,2)在橢圓內部，則|PM|+5|PF2|/4的最小值是。小結：點P(xo，yo)是橢圓x2/a2+y2/b2=1上的一點，F(xiàn),F?為橢圓的左焦點與右焦點,點P到左準線的距離為d,點P到右準線的距離為d，則d=a2/c+x,d=a2/cx,|PF|1210201=ed1=aex0，|PF1|=ed2=aex0。充分利用定義IPFI+IP

14、FI=2a12IPFIIPFIc=1=dda12設橢圓x2/a2+y2/b2=l的兩焦點為F、F?,AA?為長軸的兩個端點。 P是橢圓上的一點，且ZFPF=60°,，求AFPF的面積；1212 若橢圓上存在一點Q，使ZAiQA2=120°，求橢圓離心率的范圍。分析：在FPF中，ZFPF=60°,：|FFh=|PFh+|PF|22|PF|PF|cos60°1212121212即4c2=|PFh+|PF|2|PF|PF丨，又|PF|+|PF|=2a.A|PF|PF|=4(a2c2)/312121212=4b2/3設Q(x0,y0)，則x02/a2y02/b2

15、=1Q在x軸上方?ZA1QA2=120°，不妨設A(a.0),A2(a,0),點tanl20yy00xax+a001+丄亠xax+a002ay0=、：3x2+y2a200尺,v3a2<0，即解得，.：e2=l-(b/a)2±2/3,。求經過點M(l,2),以y軸為準線，離心率為1/2的橢圓左頂點的軌跡方程。分析：設左頂點的坐標為P(x,y)，則由橢圓的第二定義可得左焦點為(3x/2,y),又橢圓經過點M(l,2),以y軸為準線，離心率為1/2(一1)2+(y一2)21.H2_1，12整理得：B組利用圖形及圖形性質解題若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心

16、率是()D已知橢圓的一條準線方程是y=9/2，則m等于()AA、1B、2C、3D、7橢圓兩焦點和中心將兩準線間的距離四等分，則一焦點與短軸連線的夾角是()CA、45°B、60°C、90°D、120°橢圓x2/100+y2/36=l上的點P到它的左準線的距離是10,則點P到右焦點的距離是()BA、15B、12C、10D、8中心在原點，離心率為，且一條準線的方程是y=3的橢圓方程是。x2/2+y2/6=1點M與定點F(8,0)的距離和它到定直線x=25/2的距離之比為4：5,則點M的軌跡方程是。x2/100+y2/36=1歸納總結 數(shù)學思想：數(shù)形結合、類比的

17、思想、特殊到一般 數(shù)學方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法知識點：橢圓的定義、標準方程、橢圓中的最值問題作業(yè)設橢圓的中心在坐標原點，長軸在X軸上，離心率，已知點P(0,3/2)到這個橢圓上的點的最遠距離為，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離為的點的坐標。X24=1,G3,-2),(r3-2)第五課時教學目標1、掌握橢圓的幾何性質，掌握用坐標法研究直線與橢圓的位置關系2、熟練地求弦長、面積、對稱等問題3、培養(yǎng)對數(shù)學的理解能力及分析問題、解決問題的能力教學過程1、復習回顧橢圓的定義、幾何性質判斷直線與圓的位置關系的方法2、探索研究直線與橢圓的位置關系：坐標法(圍繞直線與橢圓的公

18、共點展開的)，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，當=0時，直線與橢圓相切；當>0時，直線與橢圓相交；當V0時，直線與橢圓相離。3、反思應用例1當m為何值時，直線l：y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離？分析：將直線方程y=x+m代入橢圓9x2+16y2=144中，得9x?+16(x+m)2=144，整理，得25x2+32mx+16m2-144=0，VA=(32m)2425(16m2144)=-576m2+14400當=0即m=±5時，直線與橢圓相切；當>0即一5<m<5時，直線與橢圓相交；當<0即m<-

19、5或m>5時，直線與橢圓相離。例2已知斜率為1的直線l經過橢圓x2+4y2=4的右焦點交橢圓于A、B兩點,求弦長|AB|。分析：設A(x1，y1),B(x2，y2)，由橢圓方程知：a2=4,b2=1,Ac2=3,A右焦點，直線l的方程為，代入橢圓得8;3882二寺'XX2二5,JABY1X2一"2(%+X2)2-8%X2-5小結：弦長公式例3過橢圓x2/16+y2/4=1內一點M(2,1)引一條弦AB,使AB被點M平分，求弦AB所在直線的方程。解一：當弦AB的斜率不存在時，弦AB的方程為x=2，不合題意舍去設弦AB所在直線的方程為：y1=k(x2)，代入橢圓方程并整理得

20、(4k2+1)x28(2k2k)x+4(k21)216=0，又設A(x1，y1),B(x2，y2)，則、為方程的兩個根，x+x2(2k2一k)小于是，又M為AB的中點，=-4k=2，解之得k=-1/2，故所求弦AB的方程是x+2y4=0解二：設A(xi,yi),B(X2,y2),VM(2,1)為AB的中點，.xi+x2=4,yi+y2=211221212又°.°A、B兩點在橢圓上，.°.x2+4y2=16,x2+4y2=16，兩式相減得x2x2+4(y2y2)11,221212=0,y-yx+x1,12=一12=一入，二k=一入，故所求弦AB的方程是x+2y4=0

21、x-x4(y+y)2AB21212解三：設A(x,y)，由M(2,1)為AB的中點得B(4x,2y)°.°A、B兩點在橢圓上，.x2+4y2=16,(4x)2+4(2y)2=16，兩式相減得x+2y4=0,由于過A、B的直線只有一條，故所求弦AB的方程是x+2y4=0小結：解一常規(guī)解法；解二是解決有關中點弦問題的常用方法；解三利用曲線系解題。例4試確定實數(shù)m的取值范圍，使橢圓x2/4y2/3=1上存在兩點關于直線l：y=2xm對稱。解一：設存在A(x1,y1),B(x2,y2)關于直線l：y=2x+m對稱，故可設直線AB的方程為y=2x+1,代入橢圓方程x2/4+y2/3=

22、1,并整理得X2tx+t23=0，則A=t24(t23)>0。解得一2Vt<2。TX=t,.AB的中點M為(t/2,31/4),VM在直線l上，.雹t/4=2t/2+m,即m=1/4,從而1/2<m<1/2.解二：設存在A(x：,y：),B(x2,y2)關于直線1：y=2x+m對稱，則AB丄l,且AB的中點M在1上，設AB的中點M(x,y),則x+x=2x,y+y=2y,00120120又VA、B兩點在橢圓上，3x12+4y12=12,3x十丫嚴12,兩式相減得3(X2X22)+4(y12y22)=0,1 yy12-2 x-x123(x+x)124(y+y)123x04y0即y=3x/2,又y=2x+m，0000解得x0=2m，=3m，/點M在橢圓內，即m2+3m2<1,解得一1/2<m&