C14_李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義

1、 第五章第五章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析李雅普諾夫穩(wěn)定性分析本本 章章 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介q 本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。 主要介紹主要介紹 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法 著重討論著重討論 李雅普諾夫第二法及其在線性系統(tǒng)和李雅普諾夫第二法及其在線性系統(tǒng)和3類非線性系統(tǒng)的應(yīng)用類非線性系統(tǒng)的應(yīng)用 李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造 李亞普諾夫代數(shù)李亞普諾夫代數(shù)(或微分或微分)方程的求解等方程的求解等 最后介紹李亞普諾夫穩(wěn)定性問(wèn)題的最后介紹李亞普諾夫穩(wěn)定性問(wèn)題的Matlab計(jì)算

2、與程序設(shè)計(jì)計(jì)算與程序設(shè)計(jì)目目 錄錄q 概述概述q 5.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義q 5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理q 5.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析q 5.4 Matlab問(wèn)題問(wèn)題 q 本章小結(jié)本章小結(jié)概概 述述q 一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。統(tǒng)。 例如例如,電壓自動(dòng)調(diào)解系統(tǒng)中保持電機(jī)電壓為恒定的能力電壓自動(dòng)調(diào)解系統(tǒng)中保持電機(jī)電壓為恒定的能力; 電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航

3、向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ?。以及火箭飛行中保持航向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ取?具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。q 穩(wěn)定性的定義為：穩(wěn)定性的定義為： 當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞顯然它的平衡被破壞,但在外擾但在外擾去掉以后去掉以后,它仍有能力自動(dòng)地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。它仍有能力自動(dòng)地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。 如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。q 也可以說(shuō)也可以說(shuō),系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)狀系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調(diào)量

4、偏離平衡位置的數(shù)值被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過(guò)過(guò)渡過(guò)程的收斂性渡過(guò)程的收斂性,用數(shù)學(xué)方法表示就是用數(shù)學(xué)方法表示就是 式中，式中， x(t)為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量; 為任意小的規(guī)定量。為任意小的規(guī)定量。 如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來(lái)越大如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來(lái)越大,顯然它不顯然它不可能是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。可能是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。)(Limtxtq 分析一個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關(guān)注的最一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問(wèn)題。重要問(wèn)題。 對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論

5、中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。定性判據(jù)。 在經(jīng)典控制理論中在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù)多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯如勞斯-赫爾維茨赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。方法。 但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出出(BIBO)穩(wěn)定性穩(wěn)定性,未研

6、究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也未研究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)。不能推廣到時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)。 再則，對(duì)于非線性或時(shí)變系統(tǒng)再則，對(duì)于非線性或時(shí)變系統(tǒng),雖然通過(guò)一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法雖然通過(guò)一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應(yīng)用上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應(yīng)用,但是難以但是難以勝任一般系統(tǒng)。勝任一般系統(tǒng)。q 現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,大都存在非線性或時(shí)變因素大都存在非線性或時(shí)變因素,即使是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身即使是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身, 往往也需要根據(jù)性能指標(biāo)的要求而加往往也需要根據(jù)性能指標(biāo)的要求而加

7、以改變以改變,才能適應(yīng)新的情況才能適應(yīng)新的情況,保證系統(tǒng)的正常或最佳運(yùn)行狀態(tài)。保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\(yùn)行狀態(tài)。 在解決這類復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)在解決這類復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí),最通常的方法是基于最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。穩(wěn)定性定理。q 實(shí)際上實(shí)際上 ,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式通常有兩種定義方式： 外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài)是指系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài),即即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者

8、關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。 經(jīng)典控制理論討論的有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部經(jīng)典控制理論討論的有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性穩(wěn)定性 。 內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定是關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性性,即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。 本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性。本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性。 外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。而且也適用于非線性系統(tǒng)。 對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件

9、下兩種定只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。義才具有等價(jià)性。q 早在早在1892年年,俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫（俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 發(fā)表題為發(fā)表題為“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題”的著名文獻(xiàn)的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。 百余年來(lái)百余年來(lái),Lyapunov理理論得到極大發(fā)展論得到極大發(fā)展,在數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、控制理論、學(xué)、力學(xué)、控制理論、機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。泛應(yīng)用。 Lyapunov把分析一階常微把分析一階常微分方程

10、組穩(wěn)定性的所有方法分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。歸納為兩類。 第一類方法是第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后然后通過(guò)討論線性化系統(tǒng)的特征值通過(guò)討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點(diǎn)或極點(diǎn))分布及穩(wěn)定性來(lái)分布及穩(wěn)定性來(lái)討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。 這是一種較簡(jiǎn)捷的方法這是一種較簡(jiǎn)捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。方法的思路是一致的。 該方法稱為間接法該方法稱為間接法,亦稱為亦稱為L(zhǎng)yapunov第一方法第一方法。 第二類方法不是通過(guò)解方程或求系統(tǒng)特征值來(lái)判別穩(wěn)第二類方法不是通

11、過(guò)解方程或求系統(tǒng)特征值來(lái)判別穩(wěn)定性定性,而是通過(guò)定義一個(gè)叫做而是通過(guò)定義一個(gè)叫做Lyapunov函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)分析判別穩(wěn)定性來(lái)分析判別穩(wěn)定性。 由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種所以第二種方法稱為直接法方法稱為直接法,亦稱為亦稱為L(zhǎng)yapunov第二方法第二方法。q 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來(lái)分析線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來(lái)分析線性定常系統(tǒng), 而且而且也能用來(lái)研究也能用來(lái)研究 時(shí)變系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng),甚至甚至 離散時(shí)間系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)、 離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、 邏輯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

12、邏輯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 等復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性等復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢(shì)所在。這正是其優(yōu)勢(shì)所在。q 可是在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里可是在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里, Lyapunov第二法并沒(méi)有引起研第二法并沒(méi)有引起研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視, 這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)討論系統(tǒng)輸這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)討論系統(tǒng)輸入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對(duì)地位。入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對(duì)地位。 隨著狀態(tài)空間分析法引入動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕隨著狀態(tài)空間分析法引入動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生生,Lyapunov第二方法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意第二方法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意,成為成為近近40

13、年來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法年來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法,并得到了進(jìn)一步研并得到了進(jìn)一步研究和發(fā)展。究和發(fā)展。 本章將詳細(xì)介紹本章將詳細(xì)介紹Lyapunov穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應(yīng)用。和第二法的理論及應(yīng)用。q 本章需解決的問(wèn)題本章需解決的問(wèn)題: 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論- Lyapunov穩(wěn)定性穩(wěn)定性 基本概念基本概念: 平衡態(tài)、平衡態(tài)、 Lyapunov穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性不穩(wěn)定性 基本方法基本方法: Lyapunov第一方法、第一方法、Lyapunov第二方法第二方法Lyapunov

14、第二方法在線性定常系統(tǒng)的應(yīng)用第二方法在線性定常系統(tǒng)的應(yīng)用 Lyapunov方程的求解方程的求解5.1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義q 系統(tǒng)穩(wěn)定性是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)一個(gè)重要的系統(tǒng)穩(wěn)定性是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)一個(gè)重要的,可以用定量方法研究和可以用定量方法研究和表示的定性指標(biāo)。表示的定性指標(biāo)。 反映的是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征。這種特征不隨系統(tǒng)變反映的是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征。這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變換而改變,但可通過(guò)系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。但可通過(guò)系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。 這也是控制理論和控制工程的精髓。這也是控制理論和控制工程的精髓。 在經(jīng)典控制理論中在經(jīng)典控制理論中,討論的是在有界輸入下討論的是在有界輸入下,是否產(chǎn)生有是

15、否產(chǎn)生有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問(wèn)題。界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問(wèn)題。 從經(jīng)典控制理論知道從經(jīng)典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根于其特征方程的根,與初始條件和擾動(dòng)都無(wú)關(guān)與初始條件和擾動(dòng)都無(wú)關(guān),而非線性而非線性系統(tǒng)則不然。系統(tǒng)則不然。q 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的,我們很難籠我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。 對(duì)于非線性系統(tǒng)對(duì)于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)

16、定性。只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài)由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所所以只有對(duì)線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。以只有對(duì)線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。 Lyapunov穩(wěn)定性理論討論的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性理論討論的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問(wèn)題。局部穩(wěn)定性問(wèn)題。 它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論, 不僅適用于線性定不僅適用于線性定常系統(tǒng)常系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、分布參數(shù)而且也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。系統(tǒng)。 下面將分別介紹如下下面將分別介紹如下Lyapunov夫穩(wěn)定性有關(guān)定義。夫穩(wěn)定性有關(guān)定義。 平衡態(tài)平衡態(tài) 幾個(gè)相關(guān)定義幾個(gè)相關(guān)定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性 大范圍漸近穩(wěn)定性 不穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性范數(shù)范數(shù)(1/2)上述范數(shù)被稱為2-范數(shù)q 2-范數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為度量n維空間中的點(diǎn)之間的距離。 對(duì)n維空間中任意兩點(diǎn)x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為|x1-x2|。 由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應(yīng)有各種具體范數(shù)的定義。 在工程中常用的是2-范數(shù),