方差的計算公式

1、|當前位置:>>名師點拔學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：第十四章復(fù)習(xí)統(tǒng)計初步【單元知識總結(jié)】全章的主要內(nèi)容及其有關(guān)知識的相互聯(lián)系如圖所表示：1. 總體和樣本在統(tǒng)計中，我們把所要的全體叫做總體其中每一個考查對象叫做個體.從總體中抽取的一部分叫總體的一個樣本；樣本中個體的叫做樣本容量.2. 平均數(shù)總體中所有個體的叫做總體平均數(shù)，樣本中所有個體白叫做樣本平均數(shù)由于總體中數(shù)據(jù)的個數(shù)較多，通常我們用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.平均數(shù)是反映樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的的特征數(shù)，平均數(shù)反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.平均數(shù)的計算公式如下：1(1) n個數(shù)據(jù)x,x,，x,平均數(shù)x=

2、n(x+xx)；12n12n(2) 加權(quán)平均數(shù)：如果在n個數(shù)據(jù)中，x出現(xiàn)f次，x出現(xiàn)f次，x出現(xiàn)f次(這里f+f+-+f1122kk12k1=n),則x=n(xf+xfxf)；1122kk(3) 平均數(shù)的簡化公式：當一組數(shù)據(jù)x,x,，x中的各個數(shù)值較大，并且12n都與常數(shù)a接近時，可將它們同時減去a.得到一組新數(shù)據(jù)xxx，則有x=xz+a,x=xz12n1122+a,，x=xz+a，這里有x=x+a.nn3. 方差在一組數(shù)據(jù)x,x,，x中，各個數(shù)據(jù)與它們的叫做這組數(shù)據(jù)的方差(記作S2).12n方差的計算公式如下：1(1) S2=n(Xx)2+(xx)2(xx)2;12n1(2) S2=n(X2

3、+X2X2)nx212n(3) 當一組數(shù)據(jù)x,x,，x中的各個數(shù)據(jù)的值較大，并且都與常數(shù)a接近時，可將它們同時減去a得到一12n組新數(shù)據(jù)x',x，x，則原數(shù)據(jù)的方差等于新數(shù)據(jù)的方差.S2=(S')212n即若xz=xa,x，=xa,，xz=xa，貝y1122nn1S2=n(x'2+xz2x'2)nx212n4. 標準差方差(S2)的叫做標準差(S).標準差的計算公式如下：(X-x)2+(x-x)2+(x-x)2S=n12n5中位數(shù)與眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量除了平均數(shù)外還有中位數(shù)和眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)

4、，中位數(shù)就是處在最中間位置上.在一組數(shù)據(jù)中，出的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).6頻率分布(1) 基本概念分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組.頻數(shù)：每個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)，各小組頻數(shù)之和，等.頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和.頻率分布表：將這組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、頻率所列成的表格叫頻率分布表.頻率分布直方圖:將頻率分布表中的結(jié)果繪成的以數(shù)據(jù)的各分點為橫坐標以頻率除以組距為縱坐標的直方圖叫做頻率分布直方圖.圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距每個小長方形的面積等于該組的頻率所有小長方形面積之和等于各組頻率之和，等于樣本的頻率

5、分布反映樣本中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n的比例的大??；總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體中所占比例的大小一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布.(2) 研究頻率分布的方法步驟.得到一組數(shù)據(jù)的頻率分布的方法，一般是先整理數(shù)據(jù)，后畫頻率分布直方圖，其步驟是 計算; 決定; 決定; 列； 畫.例1為了考查一塊麥田里小麥植株的高度，從中抽取了10株測得各株的高度如下：(單位：cm)83838684868483868285(1) 在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各指什么？(2) 計算樣本平均數(shù).(1) 解：總體：這塊麥田株高的全體；個體：每株小麥的高度；樣本：所取10株小麥的高度

6、；樣本容量：10.11(2) 解法一：x=10(83+83+86+84+86+84+83+86+82+85)=10X842=84.2.即所抽取的10株小麥平均高度是84.2cm.解法二：這組數(shù)據(jù)都在85左右波動，取a=85，將上面各數(shù)據(jù)同時減去85，得到一組新數(shù)據(jù)：1211-1-21-302,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：丄x'=10(1-2-1+1-1-2+1-3+0)=-0.8所以所求的平均數(shù)為x=x'+a=84.2；即所抽取的10株小麥平均高度是84.2cm.說明：(1)要理解總體的含義.本題所考查的對象是小麥株高的全體，而不是所有麥株的全體.因此總體是這塊麥田小麥株高的全體.(2

7、) 計算平均數(shù)要先分析所給數(shù)據(jù)的特點，并采用較為簡單的計算方法.如本例的解法二.例2為了了解某中學(xué)初中三年級175名男學(xué)生的身高情況，從中抽測了50名男生的身高，下面是數(shù)據(jù)整理與計算的一部分：(1) 在這個問題中，總體和樣本各指什么？(2) 填寫頻率分布表中未完成的部分.(3) 根據(jù)數(shù)據(jù)整理與計算回答下列問題： 該校初三年級男生身高在155.5159.5(cm)范圍內(nèi)的人數(shù)約為多少？占多大比例. 估計該校初三年級男學(xué)生的平均身高.解：(1)總體是指某中學(xué)初中三年級175名男學(xué)生的身高的全體；所抽取的50名男學(xué)生的身高是一個樣本.(2) 第一列:163.5167.5；第三列：4；第四列:0.30

8、，1.00.(3) 該校初中三年級男學(xué)生身高在155.5159.5(cm)范圍內(nèi)的人數(shù)約為14人，占8%. 根據(jù)樣本平均數(shù)可以估計，該校初中三年級男學(xué)生的平均身高約為164cm.說明：運用統(tǒng)計思想解決實際問題，要對統(tǒng)計思想有正確的認識，弄懂總體、個體、樣本、樣本容量等概念，及用樣本估計總體的基本思想，并能結(jié)合實際需要進行簡單的數(shù)據(jù)整理，解答時要注意：(3)中問的是該校初中三年級男學(xué)生身高在此范圍內(nèi)的人數(shù)，而不是樣本中的人數(shù)；在(3)中，語言表達要準確，應(yīng)該是用樣本的平均數(shù)去估計總體平均數(shù).圖144例3育才中學(xué)為方便學(xué)生中午在校就餐，與某飲食服務(wù)公司聯(lián)系為學(xué)生供應(yīng)價格不等的六種盒飯(每人只限一份

9、).圖144是某一天銷售情況統(tǒng)計表，條形框上的百分數(shù)是銷售的該種盒飯占總銷售量的百分數(shù)若這一天銷售了150份盒飯.(1) 試求出這一天學(xué)生購買盒飯所付飯費的平均數(shù)和中位數(shù)；(2) 若飲食服務(wù)公司加工各種盒飯的成本如表二所示，這一天的銷售中，飲食服務(wù)公司共盈利多少元？單價(元)234567成本(元)1.82.433.84.24.5解：(1)將各百分數(shù)乘以150,得單價為27元，盒飯的份數(shù)分別為：12,27,42，39，21，9.飯費的平均數(shù)為x.2x12+3x27+4x42+5x39+6x21+7x9x=150=4.38(元)由于單價為5元、6元、7元的盒飯的份數(shù)分別為39，21，9,合計為69

10、份，單價為4元以下的盒飯的份數(shù)為12+27=39(份).所以學(xué)生購買盒飯所付飯費的中位數(shù)為4(元).(2)服務(wù)公司的利潤：(2-1.8)X12+(3-2.4)X27+(4-3)X42+(5-3.8)X39+(6-4.2)X21+(7-4.5)X9=2.4+16.2+42+46.8+37.8+22.5=167.7(元).【單元達綱訓(xùn)練】1. 選擇題(1) 若x+xx=-10，則x+a，x+a,，x+a的平均數(shù)為()12101210A.1aB.1+aC.1+10aD.10+a(2) 從魚塘捕得同時放養(yǎng)的草魚240尾，從中任選9尾，稱得每尾魚的質(zhì)量分別是：1.5,1.6,1.4,1.6,1.3,1.

11、4,1.2,1.7,1.8(單位：千克)依此估計這240尾魚的總質(zhì)量大約是()A.300千克B.360千克C.36千克D.30千克(3) 樣本：8,8,9,10,12,12,12,13的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()12128,9,10,9,8,7,10,8這名運動員射擊環(huán)數(shù)的眾A.11,3B.10,C.12,12D.11,(4) 一名射擊運動員連續(xù)射靶8次，命中的環(huán)數(shù)如下：數(shù)與中位數(shù)分別是()A.3與8B.8與8.5C.8.5與9D.8與9(5) 10名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：45,50,75,50,20,30,50,80,20,30.設(shè)這些零件數(shù)的平均數(shù)為a,眾數(shù)為b,中位數(shù)為c

12、.那么()A.aVbVcB.bVcVaC.bVaVcD.aVcVb(6) 下列說法中，錯誤的是()A.B.C.D.在統(tǒng)計里，把所有要考察對象的全體叫做總體平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)(7) 給出兩組數(shù)據(jù)：甲組：20,21,23,24,26；乙組：100,101,103,104,106.那么下列結(jié)論正確的是()B.S2<S2甲乙D.S>S甲乙A.S2>S2甲乙C.S2=S2甲乙(8) 下列說法中，正確的個數(shù)是( 數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4、6； 數(shù)據(jù)1,2,2,

13、3,4,4的眾數(shù)是2、4； 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)有可能是同一個數(shù)據(jù)； 在50個數(shù)據(jù)的頻率分布表中，若分五組，中間一組的頻數(shù)是15，則中間一組的頻率是0.30.A.1B.2C.3D.4(9) 某中學(xué)數(shù)學(xué)教研組有25名教師，將他們的年齡分成3組，在3845(歲)組內(nèi)有8名教師，那么這個小組的頻率是()0.1210.38d四個數(shù)的平均數(shù)是5,貝yd的值為()820A.0.32B.C.0.24D.(10) 已知a、b、c三數(shù)的平均數(shù)為4,a、b、c、A.4B.C.12D.2. 填空題(1) 2,3,-2,-1,2,0,1,2,-1這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是(2) 樣本1,2,3,m,5的平均

14、數(shù)x=3,則皿=，方差S2=.(3) 某次考試5名學(xué)生A、B、C、D、E平均得分62分，若學(xué)生A除外，其余學(xué)生的平均得分是60分，那么學(xué)生A得分是分.1(4) 一樣本方差的計算公式是S2=8(x2)2+(x2)2(x2)2.128它的容量是，數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，樣本的平方和是80時，標準差是(5) 在繪制頻率分布直方圖時，若選用的組距為3,那么頻率為0.45的小組對應(yīng)的小長方形的高應(yīng)為.(6) 在對50個數(shù)據(jù)進行整理的頻率分布表中，各組的頻數(shù)之和等于，各組的頻率之和等于.I(7) 如果一個有40個數(shù)據(jù)樣本的平均數(shù)是5，標準差為燈3，則這個樣本數(shù)據(jù)的平方和為.(8) 已知樣本2.8,4.5,5.6,

15、3.9,1.7的方差是1.82,則樣本52.8,54.5,55.6,53.9,51.7的方差是.3某鄉(xiāng)鎮(zhèn)外出務(wù)工人員共有40名，為了了解他們在某一個月內(nèi)的收入情況，隨意抽取的10名務(wù)工人員在一個月內(nèi)的收入如下(單位：元)：450420500450500600500480480500(1) 求這10名務(wù)工人員在這一個月內(nèi)收入的眾數(shù)及中位數(shù)；(2) 求這10名務(wù)工人員在這一個月收入的平均數(shù)，并根據(jù)結(jié)果估計該鄉(xiāng)鎮(zhèn)所有外出務(wù)工人員在這個月內(nèi)的總收入約是多少？4. 甲、乙兩名學(xué)生期末六科考試成績?nèi)缦卤恚赫握Z文外語數(shù)學(xué)物理化學(xué)甲888491967681乙839589938967(1) 求甲、乙二人的各科

16、學(xué)習(xí)成績的平均數(shù)；(2) 求甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標準差；(3) 比較兩名學(xué)生誰的學(xué)習(xí)成績比較均衡.5. 一組數(shù)2,4,6,a,b的平均數(shù)為10.(1) 求a、b的平均數(shù)；(2) 求4a+7,4b+10的平均數(shù).6. 有10個樣本數(shù)據(jù)，2出現(xiàn)過4次，2.5出現(xiàn)過4次，3出現(xiàn)過2次.求樣本平均數(shù)和方差.7. 某廠三個車間，第一車間80人，平均每人日產(chǎn)值800元，第二車間50人，平均每人日產(chǎn)值1000元；第三車間20人，平均每人日產(chǎn)值600元，求全廠工人的平均日產(chǎn)值.8. 如圖145,是學(xué)校教師的年齡的頻率分布直方圖.根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：圖145(1) 該單位教師共有多少人？(2)

17、不小于38但小于44歲的教師人數(shù)占職工總?cè)藬?shù)的百分比是多少？(3) 如果42歲的教師有4人，那么年齡在42歲以上的職工有幾人？9. 在學(xué)校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日.評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制頻率分布直方圖如圖146,已知從左至右各長方形的高的比為2:3：4：6：4：1.第三組的頻數(shù)為12,請回答下列問題：圖146(1) 本次活動共有多少件作品參加評比？(2) 哪組上交的作品數(shù)量最多？有多少件？(3) 經(jīng)評委評比，第四組和第六組分別有10件和2件作品獲獎.問這兩組哪組獲獎率較高？參考答案【單元知識歸納】1考察對象，個體，

18、數(shù)目.2. 平均數(shù)，平均數(shù)，平均.3. 平均數(shù)的差的平方的平均數(shù).4. 算術(shù)平方根5. 最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))；兩個數(shù)的平均數(shù)次數(shù)最多6. (1)數(shù)據(jù)總數(shù)，為1.(2) 最大值與最小值的差； 組距和組數(shù)； 分點； 頻率分布表； 頻率分布直方圖.【單元達綱訓(xùn)練】1. (1)B(2)B(3)D(4)B(5)D(6)D(7)C(8)C(9)A(10)B2. (1)2,1；(2)4,2；(3)70；(4)8,2,6；(5)0.15；(6)50,1；(7)1120；(8)1.823. (1)500,490；(2)488(元),19520(元).4. (1)X甲=86,X乙=86；(2)S甲2=43,5甲6.56,匚2=86-33,929；(3) 甲的學(xué)習(xí)成績比較均衡.5. (1)19；(2)84.5.6. x=2.4,S2=0.14.7. 840(元).