概率分布期望方差匯總

1、1.編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.（1）求隨機(jī)變量X的分布列；（2）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.21解（1）P（X=0）=-；A333C-P（X=1）=3=；P（X=3）=A332A33隨機(jī)變量X的分布列為X013111P326）=仆+%十=1，d（x）=（i-o）23+（1-1）2+（3-1）2十九2某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，

2、令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求：1）X的分布列;解（1）X的所有可能取值為（9、3729P（X=0）=；110丿10001（9A29P（X=10）=X+X10110丿10119P（X=20）=XC1XX1021010919P（X=50）=X=;101021000P（X=60）=1=1.X的均值.，10，20，50，60.-9243C-XX=2-0-0-00018=1000-03-000故X的分布列為X010205060P729243189110001000100010001000729243189(2)E(X)=0X+10X+20X+50X+60X1000100010001000=

3、3.3（元）.10003（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y75807770811）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x±175，且y三75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)E的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：(1)98二7,5x7

4、二3514即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。2）易見只有編號(hào)為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的2優(yōu)等品故乙廠生產(chǎn)有大約35x2二14（件）優(yōu)等品,C1xC132C25二3,P(g=2)二C25C25（3）g的取值為0,1,2。噲。)=C25所以g的分布列為g012P3314故g的均值為Eg二0x+1x一+2x+=一.105105一湖南理18(本小題滿分12分)某商店試銷某種商'品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品一件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至一件，

5、否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(I) 求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；(II) 記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。一解(I)P“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”=P“當(dāng)天商品銷售量為0件”)+P15一“當(dāng)天商品銷售量為1件”)20+2010.(II)由題意知，X的可能取值為2,3.51P(X2)P“當(dāng)天商品銷售量為1件”)20一；P(X3)P“當(dāng)天商品銷售量為0件”)+P“當(dāng)天商品銷售量為2件”)+P“當(dāng)天商品銷售量為一件”)1953+202020一故X的分布列為X23P131311X的數(shù)學(xué)期望為EX2x+3x一一一5、江西理16本小題滿分12分)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，

6、以使確定工資級(jí)別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元，若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力（1）求X的分布列；（2）求此員工月工資的期望。（本小題滿分12分）解：（1）X的所有可能取值為：0,1,2，3,4C1C4-iP（X二i）=一（i=0,1,2,3,4）C45即X01234P116361617070707070（2）令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所

7、有可能取值為2100,2800，3500貝0P（Y=3500）=P（X=4）=708P（Y=2800）=P（X=3）=3553P（Y=2100）=P（X<2）=-70EY=3500x丄+2800x16+2100x53=2280.707070所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、遼寧理（19）（本小題滿分12分）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)

8、學(xué)期望；（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)X,x,x的的樣本方12ns2二(X-x)2+(X-x)24卜(X-x)2，其中x為樣本平均數(shù).n12n6解：(I)X可能的取值為0，1，2，3，4，且P(X=0)=C4=命8P(X=1)=C1C344C4835P(X2)C2C2=2)=44C4818

9、35P(X=3)=P(X=4)=C3C1844=C43581_1C_70.8即X的分布列為X01234尸±70t84分X的數(shù)學(xué)期望為181881E(X)=0x+1X+2X+3X+4x=2.70353535706分(II)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：1x二(403+397+390+404+388+400+412+406)二400,甲8S二-(32+(3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)二57.25.甲88分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：1x二(419+403+412+418+408+423+400+413)二412,乙8S

10、2二1(72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+匕)二56.乙810分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.7、山東理18(本小題滿分12分)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A,乙對(duì)B,丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。(I) 求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(II) 用E表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望Eg.7解：(I)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,則D,E,F分別

11、表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。因?yàn)閜(D)二0.6,P(E)二0.5,P(F)二0.5,由對(duì)立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因止k紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.55.一一(II)由題意知匕可能的取值為0,1,2,3。又由(I)知DEF,DEF,DEF是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立

12、,因此P&=0)=P(DEF)=0.4x0.5x0.5=0.1,P(g=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35P(g=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.由對(duì)立事件的概率公式得P(g=2)=1-P(g=0)-P(g=1)-P(g-3)=0.4,所以g的分布列為:g0123P0.10.350.40.15因此Eg=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.20.解（I）A.表示事件“甲選擇路徑L.時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”B.iii表示事件“乙選擇路徑L.時(shí)，50分

13、鐘內(nèi)趕到火車站”i=1,2用頻率i估計(jì)相應(yīng)的概率可得P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，Tp(A/P(A2),甲應(yīng)選擇LiP(B1)=01+02+03+02=08，P(B2)=01+04+04=09，12叮p(b2)p(bi),乙應(yīng)選擇L2212(II)A,B分別表示針對(duì)(I)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由(I)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由題意知，A,B獨(dú)立，P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.1=0.04P(X=1)=P(AB±AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4x0.9

14、+0.6x0.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6x0.9=0.54.X的分布列為X012P0.040.420.54EX=0x0.04+1x0.42+2x0.54=1.5.8、四川理18(本小題共12分)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為丁，怎；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，??；4224兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)。(I) 求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相

15、同的概率；(II) 求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量E,求的分布列與數(shù)學(xué)期望E：；8解析：(1)所付費(fèi)用相同即為0,2,4元。設(shè)付0元為P=1-1=1，付21428111111元為P二C./!=O，付4元為P=/./=讓224834416則所付費(fèi)用相同的概率為P二P+P+P二¥12316(2)設(shè)甲，乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為g,g可為024,6,811115442216P(g_4)_111421115+._42416P(g_6)_4.4+2.4_316P(g_8)_4.41655917_III_84822g02468P1553186分布列Eg9、天津理16(本小題滿分13分)學(xué)校

16、游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(I)求在1次游戲中，(i) 摸出3個(gè)白球的概率；(ii) 獲獎(jiǎng)的概率；(II)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)9本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的能力.滿分13分.(I)(i)解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件A=(i=0丄2,3),i則C2C11P(A/二

17、3-2=C2C2553(ii)解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B=A2UA,'又C2C2C1C1C11P(A)=亠-2+2_2=,2C2C2C2C225353117且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A)+P(A)=+=-23232510(II)解：由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=(1-)2=10P(X=1)=C1(1-厶=,2101050P(X=2)=(?)2=1049而49100所以X的分布列是X012P9214910050100X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x2+lx21+2X的數(shù)學(xué)期望'丿1005010重慶理17.(本小題滿分13分)(I)小問5分

18、，(II)小問8分)某市公租房的房源位于A,B,C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請(qǐng)人中：(I) 恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(II) 申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)E的分布列與期望10.(本題13分)解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題.(I)解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式Cj22種，從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為C2-2284=-3427解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A,則P(A)二3.從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率

19、計(jì)算公式知，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為12P4(2)二邛3)2(3)227(IDE的所有可能值為1,2，3.又31噲D=34=可'34P(g=2)=C32(C2CTC；CP=(2008全國I理，20)已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.方案乙:先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這(或P(g=2)=C；(24-2)143427P(g=3)=4=4(或P3)=空3652734934綜上知，E有分布列§

20、123P114427279從而有EE=1x丄+2x14+3x-二272793只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;(2)g表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求g的期望.解(1)設(shè)g、g分別表示依方案甲和依方案乙需化驗(yàn)的次數(shù)，P表示對(duì)應(yīng)的概12率，則方案甲中g(shù)的分布列為，gl1234141143114322PX=XX=XX=554554355435方案乙中g(shù)2的分布列為g2123P0C2x丄+C4=3C53*c55C4X2=2C535若甲化驗(yàn)次數(shù)不少于乙化驗(yàn)次數(shù)，則P=P(g=1)Xp(g

21、=1)+P(g=2)Xp(g=1)+P(g=2)+P(g=3)X121221P(g=1)+P(g2=2)+P(g=3)+P(g=4)222113132218=0+X(0+)+X(0+)+=0.72.555555253212(2)E(g)=1X0+2X+3X=一=2.4.55512.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為1與p,且乙投2球2次均未命中的概率為丄.16(1) 求乙投球的命中率p;(2) 若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為g，求g的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B.由題意得(1-P(B)2=(1-p)1

22、2=-16113由題設(shè)和知P(A)=2'P(A)=2，P(B)=；1P(B)=丄.4g可能的取值為0,1,2,3,故1p(g=0)=P(A)p(BB)=X2132P(g=1)=P(A)P(BB)+C12P(B)P(B)P(A)+2X1 =72 32p(g=3)=P(A)P(BB)=丄X2932P(g=2)=1-P(g=0)-P(g=1)-P(g=3)=15.32g的分布列為g0123P32321532g的數(shù)學(xué)期望E(g)=0X+1X+2X15+3X2=2.3232323213.設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品,抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn),每次抽取一個(gè),并且取出不再放回，若以g和n分別表示取出次

23、品和正品的個(gè)數(shù).(1) 求g的分布列、期望值及方差；(2) 求n的分布列、期望值及方差.解(1)g的可能值為0,1,2.若g=0,表示沒有取出次品，其概率為：P(g=0)C132611同理,有P(g=1)go=2.C13222P(g=2)C132122g的分布列為:g012P_6_9_丄112222.E(己)=°x12込s士=2-6丄29丄+1-X+2-11122212丿D(g)=(0-)2X22X丄2239915+二-22888844H的可能值為1,2,3,顯然g+n=3.p(n=i)=p(g=2)=i22,P(n=2)=P(g=1)=922p（n=3）=p（g=o）=+.n的分布

24、列為：n123P丄_9_6222211E（n）=E（3-g）=3-E（g）=3-=-.22n=-g+3,.d（n）=（-1）2D（g）=.4414. 某地區(qū)的一個(gè)季節(jié)下雨天的概率是0.3,氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨,若下雨而不做處理,每天會(huì)損失3000元,若對(duì)當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理,可使產(chǎn)品不受損失,費(fèi)用是每天500元.（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失g的分布列，并求其平均值；（2）若該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理，以n表示每天的損失，寫出n的分布列.計(jì)算n的平均值，并說明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇？解（1）設(shè)g為損失數(shù)，分布列為：g03000P0

25、.70.3.E(g=3000X0.3=900(元.(2)設(shè)n為損失數(shù)，則P(n=0=0.7X0.8=0.56.P(n=500)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.P(n=3000=0.3X0.2=0.06.分布列為：n05003000P0.560.380.06.E(n)=0+500X0.38+3000X0.06=370平均每天損失為370元.370V900,.按天氣預(yù)報(bào)作防雨處理是正確的選擇.15. (2008湖北理，17)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，g表示所取球的標(biāo)號(hào).(1) 求g的分布列、期望和方差；(2