直線與圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、直線和圓知識點(diǎn)總結(jié)1、直線的傾斜角：（ 1）定義 ：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x 軸相交的直線l，如果把 x 軸繞著交點(diǎn)按 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn) 到和 直線 l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的 最小正角 記為，那么就叫做直線的傾斜角。 當(dāng)直線 l 與 x 軸重合或平行時(shí)， 規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍 0,。如（ 1）直線 x cos3 y 2 0 的傾斜角的范圍是_（答： 0 ， U 5 ， )）；（2）, 266過點(diǎn) P(3,1), Q( 0, m) 的直線的傾斜角的范圍, 那么 m 值的范圍是 _（答： m2或m4 ）332、直線的斜率 ：（ 1）定義 ：傾斜角不是 90°的直線，它的傾斜角的正

2、切值叫這條直線的斜率 k ，即 k tan( 90°) ；傾斜角為90°的直線沒有斜率； （ 2）斜率公式 ：經(jīng)過兩點(diǎn) P1 (x1, y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直線的斜率為ky1y2x1x2 ；（ 3）直線的方向向量rx1x2（ 4）應(yīng)用 ：證明三點(diǎn)共線： kABkBC 。a (1,k) ，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？如(1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要） ；（2）實(shí)數(shù) x, y 滿足 3x2 y 5 0 ( 1 x3 ) ，則 y 的最大值、 最小值分別為 _（答：x2 , 1）33 、直線的方程：（1）點(diǎn)斜

3、式：已知直線過點(diǎn)(x0, y0 ) 斜率為 k ，則直線方程為y y0k (x x0 ) ,它不包括垂直于2y軸上的截距為bkx 軸的直線。（ ）斜截式 ：已知直線在和斜率，則直線方程為ykxb ,它不包括垂直于x3軸的直線。（ ）兩點(diǎn)式 ：已知直線經(jīng)過 11 1、222)兩點(diǎn)，則直線方程為yy1xx1 ，它不包括垂直于坐P (x , y )P ( x , yy2y1x2x1標(biāo)軸的直線。（ 4）截距式 ：已知直線在 x 軸和 y 軸上的截距為 a, b , 則直線方程為 xy1 ，ab它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成Ax ByC 0 (A,B不同時(shí)為 0

4、) 的形式。如（ 1）經(jīng)過點(diǎn)（ 2，1）且方向向量為 v =( 1,3 )的 直 線 的 點(diǎn) 斜 式 方 程 是 _ （ 答 ： y 13( x2)）；（2）直線(m 2) x(2m 1) y (3m 4)0，不管 m 怎樣變化恒過點(diǎn) _（答： ( 1,2) ）；（ 3）若曲線 ya | x | 與 yx a(a 0)有兩個(gè)公共點(diǎn)， 則 a 的取值范圍是（答：a1）_提醒 ：(1) 直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？） ；(2) 直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、 也可為0. 直線兩截距相等直線的斜率為 -1 或直線過原點(diǎn)； 直線兩截距互為相反數(shù)直線

5、的斜率為1 或直線過原點(diǎn)； 直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)。 如過點(diǎn) A(1,4) ，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有 _條（答： 3）4. 設(shè)直線方程的一些常用技巧：（ 1）知直線縱截距 b ，常設(shè)其方程為 y kxb ；（ 2）知直線橫截距 x0 ，常設(shè)其方程為 xmy x0 ( 它不適用于斜率為0 的直線 ) ；（ 3）知直線過點(diǎn) (x0 , y0 ) ，當(dāng)斜率 k 存在時(shí)，常設(shè)其方程為yk(x x0 ) y0 ，當(dāng)斜率 k 不存在時(shí)，則其方程為 xx0 ；（ 4）與直線 l : AxBy C 0 平行的直線可表示為 Ax By C10；（5）與直線 l : Ax By

6、C0垂直的直線可表示為Bx Ay C10 .提醒 ：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：（ 1）點(diǎn) P(x0 , y0 ) 到直線 AxByC 0 的距離 dAx0By0 CA2；B2（ 2）兩平行線 l1 : AxByC10, l2 : AxByC20C1C2間的距離為 dB2。A26、直線 l1 : A1 x B1 yC10 與直線 l 2 : A2 xB2 yC20的位置關(guān)系 ：（ 1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C 2B2C10 （在 y 軸上截距）；（ 2）相交A1B2A2 B10；（ 3）重合A1B

7、2A2 B10且 B1C2 B2C10 。提醒 ：（ 1）A1B1C1、 A1B1、A1B1C1 僅是兩直線平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要條件！為什么？（ 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1 : A1x B1 yC1 0 與直線 l2 : A2 xB2 yC20 垂直A1A2 B1B2 0 。如（ 1）設(shè)直線 l1 : x my60 和 l 2 : (m2) x3y2m0 ，當(dāng) m _ 時(shí) l1 l2 ；當(dāng) m _時(shí) l1l 2 ；當(dāng) m _時(shí) l1 與 l2 相交；

8、 當(dāng) m _時(shí) l1 與 l2 重合（答： 1； 1 ； m3且m1； 3）；（ 2）已知直線 l 的方程為3x 4 y 120 ，則與 l 平行，且2過點(diǎn)（ 1， 3）的直線方程是 _（答： 3x4 y 90 ）；（ 3）兩條直線 ax y 4 0與 x y 20 相交于第一象限，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_（答：1 a 2）；（ 4）設(shè)a, b, c 分別是ABC 中 A、 B、 C 所對邊的邊長，則直線sin Agxayc0 與bx sin Bgysin C 0的位置關(guān)系是_ （答：垂直） ；（ 5 ）已知點(diǎn) P1 ( x1 , y1 ) 是直線l : f (x, y)0 上一點(diǎn)， P2 (

9、 x2 , y2 ) 是直線 l 外一點(diǎn)，則方程 f ( x, y)f (x1, y1 ) f ( x2, y2 ) 0 所表示的直線與l 的關(guān)系是 _（答：平行） ；（ 6）直線 l 過點(diǎn)（，） ，且被兩平行直線 3xy60和3xy 3 0 所截得的線段長為9，則直線 l的方程是 _（答：4x3 y40和 x1 ）7、到角和夾角公式 ：（ 1）l1 到 l 2 的角是指直線 l1 繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線l2 重合所轉(zhuǎn)的角，0,且 tan= k2k1 ( k1k21) ；（ 2） l1 與 l 2 的夾角是指不大于直1k1k 2角的角 ,(0, 且 tan =k2 k1( k1k21)

10、 。 提醒：解析幾何中角的問題常用1 k1k22到角公式或向量知識求解。如已知點(diǎn) M是直線 2xy 4 0與 x 軸的交點(diǎn)， 把直線 l繞點(diǎn) M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是_（答： 3xy 6 0）8、對稱（中心對稱和軸對稱）問題代入法 ：如（ 1）已知點(diǎn) M ( a,b) 與點(diǎn) N 關(guān)于 x軸對稱，點(diǎn) P 與點(diǎn) N關(guān)于 y 軸對稱，點(diǎn) Q與點(diǎn) P關(guān)于直線 xy0 對稱，則點(diǎn) Q的坐標(biāo)為_（答： (b, a) ）；（2）已知直線 l1 與 l2 的夾角平分線為yx ，若 l1 的方程為axbyc0(ab0) ，那么 l2 的方程是 _ （答： bxay c 0 ）；（ 3）

11、點(diǎn)（，）關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)為 ( 2,7) ，則 l 的方程是 _（答： y=3x3）；（ 4）已知一束光線通過點(diǎn) （，），經(jīng)直線 l :3x 4y+4=0 反射。如果反射光線通過點(diǎn)（，15），則反射光線所在直線的方程是_（答： 18x y510 ）；（ 5）已知ABC頂點(diǎn) A(3 ， ) ，邊上的中線所在直線的方程為6x+10y 59=0， B 的平分線所在的方程為 x 4y+10=0，求邊所在的直線方程（答： 2x9 y650 ）；（ 6）直線 2xy 4=0上有一點(diǎn)， 它與兩定點(diǎn) （ 4, 1）、（ 3,4 ）的距離之差最大，則的坐標(biāo)是 _（答：（5,6 ）；（ 7）已知 Ax 軸，

12、 Bl : yx ，C（ 2，1），VABC 周長的最小值為_（答：10 ）。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規(guī)劃 ：（ 1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一： 先把二元一次不等式改寫成y kx b或 y kx b 的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；無等號時(shí)用虛線表示不包含直線l ，有等號時(shí)用實(shí)線表示包含直線l ；設(shè)點(diǎn)P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ，若 Ax1By1 C 與 Ax2By2 C 同號，則 P， Q在直線 l 的同側(cè)，異號則在直線 l 的異側(cè)。 如已知點(diǎn) A（ 2， 4），

13、 B（ 4，2），且直線 l : ykx2 與線段 AB恒相交，則 k 的取值范圍是 _ （答： ，3 U 1，）（ 2）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：滿足關(guān)于 x, y 的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關(guān)于變量 x, y 的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量x, y 一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；滿足線性約束條件的解（x, y ）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；（ 3）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；確定目

14、標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如（ 1）線性目標(biāo)函數(shù) z=2x y 在線性約束條件| x |1 下，取最小值的最優(yōu)解是_（答：（ 1，1）；（ 2）| y |12）；（ 3）點(diǎn)（， t ）在直線 2x 3y+6=0 的上方，則 t 的取值范圍是 _（答： t不等式 | x1 | | y1 |2 表示的平面區(qū)域的面積是_843x, y）如果實(shí)數(shù)（答： ）；（xy20，則 z| x2 y4 |的最大值 _（答： 21）滿足xy402xy50（ 4）在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意：將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范。10、圓的方程 ：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2y2r 2 。b圓的一般方程：

15、x2y2DxEyF0(D 2 E24F0) ，特別提醒 ：只有當(dāng)D 2E24F0 時(shí)，方程 x2y2DxEyF0 才表示圓心為 (D ,E ) ，半徑為122D 2E24F 的圓（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxEyF 0 表示圓的充要2且 D 2E2條件是什么？（ AC0,且B 04 AF0 ）；圓的參數(shù)方程：xar cos（為參數(shù)），其中圓心為 (a, b) ，半徑為 r 。圓的參ybr sin數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2tx r cos, yr sin(0rt ) 。 Ax , y, Bx , y為直徑端點(diǎn)的圓方程xxx x2yy

16、y y01122112如（ 1）圓 C 與圓 ( x1)2y21關(guān)于直線 yx 對稱，則圓 C 的方程為 _（答：x2( y 1)21）；（ 2）圓心在直線2xy3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（答： ( x 3) 2( y 3) 29 或 ( x1)2( y1) 21 ）；（ 3）已知 P( 1,3)是圓 xr cos（ 為參數(shù)，02) 上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_， P 點(diǎn)對應(yīng)的yr sin值 為 _ ， 過 P點(diǎn) 的 圓 的 切 線 方 程 是 _ （答 ： x2y24 ；2；3x3 y 422平分，且不過第四象限，那么l的0）；（ 4）如果直線 l 將圓： x +y -2x-4

17、y=0斜率的取值范圍是 _（答： 0 ，2）；（ 5）方程 x2+y x+y+k=0 表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為 _（答：k16M( x, y) |x3cos（為參數(shù)，0)，2y3sin）；（ ）若N( x, y) | yxb ，若 MN，則 b 的取值范圍是_（答：3,3 2 ）11、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn) Mx0 , y0及圓 C：x-a2yb2r 2r0 ，（1）點(diǎn) M在圓 C外CM rx0a2y0b2r 2 ；（ 2）點(diǎn) M在圓 C內(nèi)CM rx02b2r 2 ；（ 3）點(diǎn) M在圓 C 上CM rx0a2ay0y0b2r 2 。 如點(diǎn) P(5a+1,12a)在圓 (x ) y2

18、=1 的內(nèi)部 , 則 a 的取值范圍是 _（答：| a |1）132212、直線與圓的位置關(guān)系：直線 l : AxByC0 和圓 C：xayr 2br 0有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷：（ 1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切；（ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為d ，則d r相交； dr相離； dr相切。 提醒 ：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。 如（ 1）圓 2x22y21與直線 x siny10(R,k，z)2k的位置關(guān)系為 _ （答：相離）；（ 2）若直線 axby30 與圓

19、 x2y24x10切于點(diǎn) P(1,2) ，則ab的值（答：）；（）直線 x2 y0被曲線x2y26x 2y15 0_23所截得的弦長等于（答： 45 ）；（ 4）一束光線從點(diǎn)A( 1,1)出發(fā)經(jīng) x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3) 2=1上的最短路程是（ 答 ： 4 ）；（ 5 ） 已 知 M (a, b)( ab0)是圓O : x2y2r 2 內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M 為中點(diǎn)的弦所在直線m 和直線 l : ax byr 2，則A m / l，且 l 與圓相交B lm ，且 l與圓相交C m/ l，且 l 與圓相離Dm，且l與圓相離（答：C）（； 6）已知圓 C：2( y25 ，直線 L：mxy

20、1m0 。lx1)求證：對mR ，直線 L 與圓 C 總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L 與圓 C交于 A、B 兩點(diǎn)，若AB17，求 L 的傾斜角； 求直線 L 中，截圓所得的弦最長及最短時(shí)的直線方程. （答： 60o 或 120o最長： y1，最短： x1）13、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為 O1， O 2 ，半徑分別為r1, r2 ，則（1）當(dāng) |O1O2r1r2 時(shí)，兩圓外離；（ 2）當(dāng) |O1O 2r1 r2時(shí)，兩圓外切；（ 3）當(dāng) r1r2 <|O1O2r1r2 時(shí)，兩圓相交；（ 4）當(dāng) |O1O 2r1r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；（ 5）當(dāng) 0|O1O2r1x2y21的左焦點(diǎn)為F1，r2 | 時(shí)，兩圓內(nèi)含。 如雙曲線2b2a頂點(diǎn)為 A1、A2，P 是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2 為直徑的兩圓位置關(guān)系為（答：內(nèi)切）14、圓的切線與弦長：(1) 切線： 過圓 x2y2R2 上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 圓的切線方程 是： xx0yy0R2 ，過圓(