高中數(shù)學(xué)競賽講義-覆蓋

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家26覆蓋最簡單情形用一個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：定理 如果能在圖形所在平面上找到一點(diǎn)，使得圖形中的每一點(diǎn)與的距離都不大于定長，則可被一半徑為的圓所覆蓋定理 對于二定點(diǎn)、及定角若圖形中的每點(diǎn)都在同側(cè)，且對、視角不小于，則圖形被以為弦，對視角等于的弓形所覆蓋在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛一個(gè)圖形能否被覆蓋，與圖形中任意兩點(diǎn)間的距離最大值密切相關(guān)以下我們稱圖形中任意兩點(diǎn)間的距離最大值為圖形的直徑我們繼續(xù)研究多個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形問題定義 對于圖形，若圖形中的每一點(diǎn)都被這組圖形中的某個(gè)所覆蓋，則稱這幾個(gè)圖形覆蓋圖形圖形

2、，為個(gè)圓是一特殊情形直線形圖形覆蓋別的圖形的問題解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過構(gòu)造過渡圖形，逐步調(diào)整，最終獲得問題的解決4.圖形的嵌入是覆蓋問題的一種重要變化形式所謂圖形能嵌入圖形,其本質(zhì)就是圖形能覆蓋圖形F.例題講解1求證：（）周長為的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋（）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋2ABC的最大邊長是，則這個(gè)三角形可被一半徑為的圓所覆蓋3的最大邊BC等于，試求出覆蓋ABC的最小圓4以的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個(gè)半圓，證明這四個(gè)半圓一定覆蓋整個(gè)平行四邊形5求證：一個(gè)直徑為的

3、圓不能被兩個(gè)直徑小于的圓所覆蓋6給定一個(gè)半徑為的圓，若用半徑為的圓去覆蓋它，問至少要幾個(gè)才能蓋住7證明直徑為的圖形可被單位正方形覆蓋8直徑為的圖形可被一個(gè)邊長為的正三角形覆蓋，試證明之9試證面積為S、周長為P的四邊形一定可嵌入一個(gè)半徑為的圓.10在一個(gè)半徑等于18的圓中已嵌入16個(gè)半徑為3的圓.證明在余下的部分中還能嵌入9個(gè)半徑為1的圓.例題答案：分析 （）關(guān)鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點(diǎn)疊合（）曲化直對比（），應(yīng)取均分線圈的二點(diǎn)連線段中點(diǎn)作為覆蓋圓圓心證明 （）如圖，設(shè)的周長為，、交于，為周界上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)在上，則，有又，故因此周長為

4、的平行四邊形可被以為圓心；半徑為的圓所覆蓋，命題得證（2）如圖45-2,在線圈上分別取點(diǎn)R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l.又設(shè)RQ中點(diǎn)為G，M為線圈恥任意一點(diǎn)，連MR、MQ，則因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個(gè)線圈分析 為最大邊，所對角A滿足A證明 不妨設(shè)BC，以BC為弦，在A點(diǎn)所在一側(cè)作含60角的弓形?。▓D）因A180，故根據(jù)定理，ABC可被該弓形所覆蓋由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑，所以ABC可被半徑為的圓所覆蓋顯然覆蓋ABC的圓有無窮多個(gè)，那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實(shí)并不盡然解 分三種情形進(jìn)行討論：（） 為鈍角，以為直徑作圓即可覆蓋BC（） 是直角，同樣

5、以為直徑作圓即可覆蓋ABC；（）是銳角假若O覆蓋ABC，我們可在O內(nèi)平移ABC，使一個(gè)頂點(diǎn)B落到圓周上，再經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)頂點(diǎn)落在圓周上，此時(shí)第三個(gè)頂點(diǎn)A在O內(nèi)或其圓周上，設(shè)BC所對圓周角為，那么BAC，設(shè)O直徑，ABC外接圓直徑，那么所以對于銳角三角形ABC，最小覆蓋圓是它的外接圓今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個(gè)為F的最小覆蓋圓最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑綜合例、例，即知ABC中，若為最大邊，則ABC的覆蓋半徑滿足分析 的每一點(diǎn)至少被某個(gè)半圓所蓋住證明 用反證法如圖設(shè)存在一點(diǎn)在以、為直徑的圓外，根據(jù)定理二，均小于，從而與四角和應(yīng)為周角相矛盾故應(yīng)被其中一半圓蓋住，即所作四個(gè)半

6、圓覆蓋分析 劃片包干，如圖，將分為若干部分，使每一部分分別都被上述四個(gè)半圓所覆蓋證明 在中，如圖，設(shè)分別過、引垂線、垂直，交于、，將分成四個(gè)直角三角形，、每一個(gè)直角三角形恰好被一半圓所覆蓋，從而整個(gè)四邊形被四個(gè)半圓所覆蓋證明 如圖，先考慮其中一個(gè)小圓即去覆蓋大圓，連、過作，為的直徑（若、重合，那么為任意直徑）此時(shí)故、兩點(diǎn)都不能被蓋住至于另一小圓無疑不能同時(shí)蓋住、兩點(diǎn)，故、不能覆蓋事實(shí)上，我們還可以從另一角度給予證明那就是一個(gè)小圓無法覆蓋半個(gè)大圓，因此兩個(gè)小圓也就不可能覆蓋住整個(gè)大圓了現(xiàn)在，我們著手研究本文一開始就提出的問題6. 問題需要我們在二個(gè)方面給予回答：一是所確定數(shù)目的小圓足以覆蓋大圓；

7、二是少于確定的數(shù)目，則全部小圓不能覆蓋大圓對于不能覆蓋的推斷，以下兩個(gè)原則是常用的：原則 若圖形的面積大于圖形的面積，則圖形不能覆蓋圖形原則 直徑為的圖形不能被直徑小于的圖形所覆蓋兩原則十分顯然，不再證明四個(gè)半徑為的小圓面積和為，恰等于大圓面積，而四小圓間若不重迭，則覆蓋其它圖形時(shí)，還須排除中間所夾的不屬于四圓的部分，換句話說，四小圓所覆蓋大圓部分面積必小于大圓自身面積，根據(jù)法則，不可能覆蓋大圓，少于四個(gè)小圓更不可能若有五個(gè)小圓，我們改變角度考慮，可將大圓周分為六等分因小圓直徑為，五個(gè)小圓無法蓋住大圓周，而六個(gè)圓周恰好蓋住還需考慮大圓圓心沒有被蓋住，再添加一個(gè)小圓，符合要求！這說明：至少七個(gè)以

8、為半徑的小圓方能覆覆蓋半徑為1的一個(gè)大圓.事實(shí)上這樣的六個(gè)小圓若蓋住大圓周，則大圓心不能被覆蓋若其中一小圓蓋住大圓圓心，那么該圓又至多蓋住大圓周上一點(diǎn)也就是六個(gè)小圓無法覆蓋大圓，而我們作大圓的內(nèi)接正六邊形，分別將小圓圓心與各邊中點(diǎn)重合，再將第七個(gè)小圓圓心與大圓圓心重合即可蓋住大圓，如圖，以下給出證明：對于正，設(shè)、中點(diǎn)、，那么，故四邊形被以為直徑的圓覆蓋另外，被小圓所覆蓋類似地可推得七個(gè)小圓覆蓋整個(gè)大圓又 即 所以 7. 分析 先后用互相垂直的兩對平行線將圖形夾在中間，再向內(nèi)收縮證明 取位于水平方向和鉛直方向的兩對平行直線將圖形夾在中間，再將位于下方的直線向上平移，直至遇到圖形上點(diǎn)為止，中圖中處

9、接著又將向下平移至與相距為的處止因圖形直徑為故圖形仍被二直線，所夾同樣采用先左后右的順序，將沿直線、平移至、處，、相距為，而圖形依然夾在直線，中間，從而直線、所圍成單位正方形即可覆蓋圖形運(yùn)用上述方法，我們可進(jìn)一步解決以下問題：8. 證明 作三對相距為的平行直線、，、，相交直線所成角為，圍成可覆蓋圖形的六邊形及正，正（具體作法可參照例）如圖設(shè)為中任意一點(diǎn)，它到六邊形各邊距離依次為、又設(shè)正的高為，正2的高為因正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離和等于正三角形的高，得，相加,得（）（）（），又，根據(jù)抽屜原則,、中有一不大于,不妨設(shè),即正ABC的高不大于,那么它的邊長因此圖形可被邊長不大于的正三角形即正1所覆蓋.9.分析 四邊形內(nèi)存在到各邊距離不小于的點(diǎn).證明 如圖45-10,設(shè)四邊形ABCD面積為,周長為.各邊長分別為1、.現(xiàn)以、為長,為寬,向四邊形內(nèi)側(cè)作矩形,則這些矩形總面積是即四個(gè)矩形面積總和等