多元函數(shù)微分學(xué)練習(xí)題解讀

1、第5章多元函數(shù)微分學(xué)練習(xí)題習(xí)題5.1一、判斷題(對的劃，錯的劃“X”)1 .方程x2+y2+z2=4對應(yīng)的二元函數(shù)只有z=d4x2y2.()xy,2 .lim不存在.()x-y二、填空題1.z=arccos(x+y)在點(diǎn)(2,-1)處(填“連續(xù)"或“間斷”).22一xy，一2.函數(shù)z=匕的間斷點(diǎn)是.xy三、選擇題.x1 .函數(shù)z=arcsin一的定義域是()yA.(x,y)|y#0；B.(x,y)|x|E1,y¥0；C.(x,y)|x|W|y|；D.(x,y)|x|E|y|,y¥0.2. limx-y2=()x1x-yy1A.0;B.1；C.如；D,不存在.2四、

2、計(jì)算題1 .已知f(x,y)=xy+2xy,試求f(2,-1)和f(u+2v,uv).2 .求下列函數(shù)的定義域，并作出定義域所表示的圖形：z=lg(x+y).z=1一x2y2.xyz3.求下列極限：（1）lims2）.x;0y1lim(1-2xy)xyx>0yj0limxy-1lim12x1xyy0五、證明題1.證明limx-0y022xy22./、2xy(x-y)不存在.習(xí)題5.2、判斷題(對的劃,錯的劃“X”).一、,；：2z；：2z,、1 .設(shè)z=f(x,y),則一定有=成立.()Fx：y.y.xz,2 ,一表不寵與£x的商.()jx、填空題一-2,._1 .設(shè)z=2x+

3、y在點(diǎn)(2,-1)處偏增量AxZ=.z=Ji+x2+y2.,一一，二、2 .曲線'y,在Mo(i,i,J3)處的切線與x軸的傾角是y=1.三、選擇題，一x一，1 .右zy，貝Uzyxz1=y=e1A.e；B.e；C.1；D.o.z:z2 .右z=ln(Jxqy),則x+y=Fx：:y11A.*x+“p;B.&_&C.一；D.一一.22四、計(jì)算題1 .求下列函數(shù)的zxx,zyy和zxy:z=xy+2xy.(2)z=sin(xy).2 .設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求f。(0,0,1),fyz(0,1,0)和fzzx(2,0,1)._3_33 .設(shè)z=xex

4、y,求-z-和緊?y2?x寸2.2.2:-u:-u二u-2-2.2x:y:z五、證明題x.一1.雅證u=zarctan一滿足y習(xí)題5.3一、判斷題（對的劃,錯的劃“X”）1 .若多元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)存在，則它在該點(diǎn)處可微.（）2 .若多元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)，則它在該點(diǎn)處可微.（）二、填空題1 .設(shè)z=xy,x=2,y=1,&x=0.01,Ay=-0.01,則Zz=,dz=2 .u=2xy+2yz+2zx在（1,1,2）處的全微分du=.三、選擇題1 .若z=yx，貝Udz=（）A.xyx,dx+yxlnxdy;B.yxlnxdx+xyx'dy；C.xyx%x+yxlnydy;D-

5、yxlnydx+xyx"dy.2.函數(shù)z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處（）A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；C.連續(xù)且可微；D.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.四、計(jì)算題1 .求下列函數(shù)的全微分：xyz=ln.u=cos（xyz）.xy五、應(yīng)用題1.設(shè)有一無蓋圓柱形容器，容器的底和壁的厚度均為0.1cm,內(nèi)高為20cm,內(nèi)半徑為4cm,求該容器外殼體積的近似值（精確到0.1cm）.2 .計(jì)算下列各式的近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）：Jl.023+1.973.sin31°tan4417土0.1cm和24士0.1cm，試求由上述二3 .設(shè)有一直角三角形，測得兩直角邊的長分別為值計(jì)

6、算斜邊長度時(shí)的絕對誤差和相對誤差.習(xí)題5.4、判斷題（對的劃“一，錯的劃“X”）:z二f1.設(shè)z=f(x,u),u=u(x,y),貝U=一:x：:xxz2.方程一=ln所確te的隱函數(shù)z對x的偏導(dǎo)數(shù)y、填空題v=ln(xy),2.設(shè)z=uvsint=cost皿dz，貝U=dt三、選擇題若z=arcsinu,C.31-(3x-2y)22=3x2y,則-、永2:z,一分別是-:y；1-(3x-2y)2,1-(3x-2y)23J-(3x-2y)2B.x2.設(shè)z=arctan一,yZu1-(3x-2y)221-(3x-2y)2Zvu一vA.-22"；u-v四、計(jì)算題C.一uu一v.22，vD

7、.v-u2uv1.已知z=ueveu=xyxv=一,y求烏和二x32.求由方程x3+z3=2xyz-1所確定的隱函數(shù)2exy),且f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),1-(3x-2y)22,1-(3x-2y)2zf一一zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)和二x二yz的一階偏導(dǎo)數(shù).五、應(yīng)用題1 .設(shè)有一圓柱體，它的底半徑以0.1cm/s的速率增大，而高度以0.2cm/s的速率在減少,試求當(dāng)?shù)装霃綖?00cm,高為120cm時(shí).圓柱體體積的變化率；圓柱體表面積的變化率.習(xí)題5.5一、判斷題（對的劃,錯的劃“X”）2 .可微的多元函數(shù)在點(diǎn)P0處沿梯度正反方向的方向?qū)?shù)都最大.（）3 .可微的多元函數(shù)在點(diǎn)P0處沿梯度（不為零）垂

8、直方向的方向?qū)?shù)等于零.（）二、填空題1 .函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P（1,0）處沿P到Q（2,1）的方向?qū)?shù)是.2 .設(shè)z=3x.設(shè)z=arctan(xy),貝Ugradz=yixj1x2y2+2y2,則|gradz|（,2）|=.三、選擇題1 .若z=3x2yxy四、計(jì)算題+8在A（1,2）處沿A到B（3,0）方向的方向?qū)?shù)一=（lA52B5亞2'2C.1,求函數(shù)u=xy2+yz3+3在點(diǎn)A（2,1,1）處的梯度及其在點(diǎn)A處沿向量l=（1,2,2）的方向?qū)?shù).五、應(yīng)用題1.設(shè)某金屬板上的電壓分布為V=50-2x24y2,求在點(diǎn)（1,-2）處:沿哪個方向電壓升高得最快？沿哪個方向電壓下降

9、得最快？上升或下降的速率各為多少？2 .設(shè)一金屬球體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度離球心的距離成反比，證明球體內(nèi)任意（異于球心的）點(diǎn)處沿著指向球心的方向上升得最快.習(xí)題5.6、判斷題（對的劃“一，錯的劃“X”）X=t,1.曲線y=t-1一2.3y-9x的極大值和極小值分別是,在點(diǎn)（1,1,1）處的切線方程是）一11=義±2=三.（）123、z=t5；C.5,-31；D.22y=x.,2.曲線y在點(diǎn)（2,4,3）處的法平面萬程是x+2y+2z7=0.（）z=2x-1.,2,2.,1 .函數(shù)z=（x-1）+（y+1）的極（填“大”或“小”）值是2 .對角線長為2J3的長方體的最大體積是.三、選擇題1.球

10、面x2+y2+z2=6在（1,-1,2）處的切平面方程和法線方程分別是31,5.A. 2x-2y+4z-12=0,B. 2x+2y-4z+12=0,C. 2x-2y+4z-12=0,D. 2x+2y-4z+12=0,E. 函數(shù)z=x3-y3+3x2+A.-5,31；B.31,x-1y1z-2=,1-12x-1y1z-2,1-12x1y-1z2=;1-12x+1y-1z+2四、計(jì)算題2.2.2，,_1.求橢球面x+2y+z=1上平行于平面x-3y+z+9=0的切平面萬程2.求函數(shù)f(x,y)=3x2y+y33x23y2+2的極值和極值點(diǎn).3.求函數(shù)f(x,y)=e"y在閉區(qū)域(x,y)

11、|x2+4y2<1上的最值.五、應(yīng)用題1 .在半徑為r的球內(nèi)接一長方體，問長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大?復(fù)習(xí)題五、判斷題(對的劃“一,錯的劃“X”)2 .若limf(x,y)=A,則limf(x,y)=A.x-0y03 .可微的多元函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).3 .若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在,則三二x：zdx+dy是z的全做分.()z4 .如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的微分存在，則二x二y:z,均連續(xù).-y5 .可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(%,y0)處沿著gradf(%,y0)方向有最大的增長率，且大小為|gradf(x°,y°)|.

12、二、填空題6 .函數(shù)z=ln(x3&dz11.設(shè)z=x+siny,x=cost,y=t，貝U=dt+y2-4)的定義域是7 .設(shè)f(x,y)=lg(x+2y-1),則f(41,30)=.28 .lim(x2xy+1)=.x2y1、一22一.9 .設(shè)z=x2xy+3y，貝Uzxy=一，2310 .已知z=xy，貝Udz=,-3xt,12.曲線y=t2,在t=1時(shí)的切線方程是,法平面方程2z=t2+t.J是.13 .旋轉(zhuǎn)拋物面z=2x2+2y21在點(diǎn)(1,2,9)處的切平面方程是法線方程是.三、選擇題14 .z=In，x2-y的定義域是2222.A.(x,y)|xAy;B.(x,y)|x占

13、y；C.(x,y)|x<y；d.(x,y)|x<y.15.函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處又y的偏導(dǎo)數(shù)是f(x().x,yoy)-f(xo,y。)C.lim.x-0xf(x0+Ax,y°)f(x°,y°).B.她。()f(x°：x,y°y)-f(x°,y°)；16.如果f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則A. 0;B.-2C.D.lim.y-0f2f(x,y).x:yf(x,y),xf(x°,y°y)-f(x°,y°)D.：2f(x,y):y:x17.函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x。，yo)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可微分的A.充分但不必要條件;C.必要且充分條件；B.必要但不充分條件；D.既不充分也不必要條件.18.設(shè)z二,1-,則下列結(jié)論中正確的是A.在xoy平面上連續(xù)；C.在圓周x2+y2=1上間斷;四、計(jì)算題B.在xoy平面上，只有(0,1)、(1,0)為間斷點(diǎn);D.在x2+y2M1內(nèi)連續(xù).19 .設(shè)z=uarctan(uv),uv=xey,求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù).20 .設(shè)zx=xey,x=cost,y