帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題矩形”有界磁場(chǎng)中的臨界問題【例 1】如圖所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)充滿方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在 ad 邊中點(diǎn) O,方向垂直磁場(chǎng)向里射入一速度方向跟 ad 邊夾角 0=30、大小為 v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為 m,電量為 q,ad 邊長(zhǎng)為 L,ab 邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，求r（1）粒子能從 ab 邊上射出磁場(chǎng)的 vo大小范圍。*XKX（2）若粒子速度不受上述 V0大小的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)乂 XXN動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。解析：（1）假設(shè)粒子以最小的速度恰好從左邊偏轉(zhuǎn)出來時(shí)的速度為 vi,圓心在 Oi點(diǎn)，如圖（甲），軌道半徑為 R

2、i,對(duì)應(yīng)圓軌跡與 ab 邊相切于 Q 點(diǎn)，由幾何知識(shí)得：Ri+Rising0.5Lv2Bl由牛頓第二定律得qv1B=m幺；得v1=9匹R1m假設(shè)粒子以最大速度恰好從右邊偏轉(zhuǎn)出來，設(shè)此時(shí)的軌道半徑為 R2,圓心在 O2點(diǎn)，如圖（乙），對(duì)應(yīng)圓軌跡與 dc 邊相切于 P 點(diǎn)。由幾何知識(shí)得：R2=L由牛頓第二定律得qv2B=m至；得v2=蚪R2m粒子能從 ab 邊上射出磁場(chǎng)的 vo應(yīng)滿足吸 v*3mm（2）如圖（丙）所示，粒子由 O 點(diǎn)射入磁場(chǎng)，由5子在磁場(chǎng)內(nèi)足仃軌跡對(duì)應(yīng)圓心角為：-二-二32vmv.2二m由qvB=m,得R=,T=RqBqBtm5-m3qB【練習(xí) 1】如圖所示，寬度為 d 的有界勻強(qiáng)

3、磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,MM和 NN是它的兩條邊界線，現(xiàn)有質(zhì)量 m、電荷量為 q 的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場(chǎng)射入，要使粒子不能從邊界 NN射出，粒子最大的入射速度 v 可能是（）,qBdC.小于-2m-22qBdB.小于m-,工（62qBdD.小于m解析：BDQ“角形磁場(chǎng)區(qū)”情景下的臨界問題例 2如圖所示，在坐標(biāo)系 xOy 平面內(nèi)，在 x=0 和 x=L 范圍內(nèi)分布著勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)， 磁場(chǎng)的下邊界 AB 與 y 軸成 45,其磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,電場(chǎng)的上邊界為 x 軸， 其電場(chǎng)強(qiáng)度為 E.現(xiàn)有一束包含著各種速率的同種粒子由 A 點(diǎn)垂直 y 軸射入磁場(chǎng)，帶電粒子的比荷為 q/m.一部分粒子通過

4、磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后由邊界 AB 射出進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域.不計(jì)粒子重力，求：(1)能夠由 AB 邊界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后由 y 軸射出電場(chǎng)，射出點(diǎn)與原點(diǎn)的最大距離.解：( (1)由于 AB 與初速度成 45,所以粒子由 AB 線射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與初速度成 45。 角.粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率越大，圓周半徑越大.速度最大的粒子剛好由 B 點(diǎn)射出.2v由牛頓第一TH律qvB=mR由幾何關(guān)系可知 r=L,得v=9BLm(2)粒子從 B 點(diǎn)垂直電場(chǎng)射入后，在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng).在電場(chǎng)中，由牛頓第二定律 Eq=ma一，12此粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)L=-at

5、22d=vt,彳#d-BL.2qL,mE【例 3】如圖所示，M、N 為兩塊帶異種電荷正對(duì)的金屬板，其中 M 板的表面為圓弧面,P 為 M 板中點(diǎn)；N 板的表面為平面，Q 為 N 板中點(diǎn)的一個(gè)小孔.PQ 的連線通過圓弧的圓心且與 N 板垂直.PQ 間距為 d,兩板間電壓數(shù)值可由從三條代表性電場(chǎng)線.帶電量為+q,質(zhì)量為m的粒子,Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為界線，它與 N 板的夾角為最大值時(shí)，粒子恰垂直打在不計(jì)粒子重力，求：(1)兩板間電壓的最大值“=45,孔 Q 到板的下端CD 板上.0 到某最大值之間變化， 圖中只畫了從點(diǎn)P 由靜止經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔 B,方向垂直紙面向外，C

6、D 為磁場(chǎng)邊 C 的距離為 L.當(dāng) M、N 兩板間電壓取(2)CD 板上可能被粒子打中的區(qū)域長(zhǎng)度 x;粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間解：M、以圓心在N 兩板間電壓取最大值時(shí),tm.粒子恰垂直打在CD 板上，所C 點(diǎn)，如圖所示.CH=QC=L,故半徑 Ri=L又qv1B=2VIm一RIqUm12二一mv12得Um=嚕-2m(2)設(shè)軌跡與 CD 板相切于 K 點(diǎn)，半徑為 R2在AKC 中：sin45*=L-R2得R2=、2一1L因 KC 長(zhǎng)等于R2=(J21L,所以，CD 板上可能被粒子打中的區(qū)域長(zhǎng)度 x 為 HK:x=R1-R2f2-2L(3)打在 QE 段之間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，均為半周期

7、：1二mtm=-T=2qB三、“圓形磁場(chǎng)區(qū)”情景下的臨界問題【例 4】(2012,揭陽(yáng)調(diào)考)如圖，相距為 R 的兩塊平行金屬板 M、N 正對(duì)放置，&、S2分別為 M、N 板上的小孔，s1、電、O 三點(diǎn)共線且水平，且 S2O=R。以 O 為圓心、R 為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在大小為 B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。收集板 D 上各點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為 2R,板兩端點(diǎn)的連線垂直 M、N 板。質(zhì)量為 m、帶電量為+q 的粒子，經(jīng)所無初速進(jìn)入 M、N 間的電場(chǎng)后，通過 S2進(jìn)入磁場(chǎng)。粒子重力不計(jì)。(1)若粒子恰好打在收集板 D 的中點(diǎn)上，求 M、N 間的電壓值 U;(2)求粒子

8、從SI到打在 D 的最右端經(jīng)歷的時(shí)間 to1C解：( (1)粒子從 Si到達(dá) S2的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得qU=mv222v粒 子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=mR當(dāng)粒子打在收集板 D 的中點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑 r=R 解得:qB2R22m磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v二吧m粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間3qB粒子在電場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間t1R23m0.5v-3qB粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間t2( (-JT%3R一3v_二m3qB(2)根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r=&2Rf-R2=Q3R,得粒子進(jìn)入答案：C度的大小為 B.許多相同的離子，以相同的速率 v,

9、由 O 點(diǎn)沿紙面向各個(gè)方向（y0）射入磁場(chǎng)區(qū)域.不計(jì)離子所受重力，不計(jì)離子間的相互影響.圖中曲線表示離子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域邊界，其中邊界與 y 軸交點(diǎn)為 M,邊界與 x 軸交點(diǎn)為 N,且 OM=ON=L.由此可判斷（D）A.這些離子是帶負(fù)電的B.當(dāng)離子沿 x 軸正方向射入磁場(chǎng)時(shí)會(huì)經(jīng)過 N 點(diǎn)粒子從 S1 到打在收集板 D 上經(jīng)歷的時(shí)間為t=t1+t2+t3=3m3qB【例 4】 核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫， 為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)，通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該

10、區(qū)域內(nèi)，設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為 Ri=0.5m,外半徑 Q=1.0m,磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=1.0T,若被束縛帶電粒子的比荷為q/m=4.0X107C/kg,中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度，試求：（1）若粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，則不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為多 X-大？（2）若粒子速度方向不受限制，解析：（1）軌跡如圖（甲）所示。設(shè)粒子的軌道半徑為 ri.由幾何知識(shí)得 ri2+Ri2=（R2ri）2得r1=0.375m由牛頓第二定律得 vi=1.5M07m/s要使粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為 vi=1.5X07m/s（2）設(shè)粒子的軌道半徑為 r2,如圖八八Xx則粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為多大

11、？/xXMX、XXVXXJ/XX丁一、XAxw由幾何知識(shí)得r2=R2-=0.25m22V2由qv2B=m2得 V2=I.0M07m/s.即所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為/XX，、XxxK：p；:xx)i.0M07m/s。課后作業(yè)：1、（臨界問題）如圖所示，ABC 為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為a 的等邊三角形，磁場(chǎng)垂直紙面向外，比荷為邊，則磁感應(yīng)強(qiáng)度 Be/m 的電子以速度 VO從 A 點(diǎn)沿 AB 方向射入，現(xiàn)欲使電子能經(jīng)過 BC的取值應(yīng)為（）A.BC.BJ3mvoae3mv0aeB.D.2mvoB-Tae2、（臨界）如圖所示,在 x 軸上方的空間存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)C/?C.

12、這些離子的比荷為-=TmLBD.當(dāng)離子沿 y 軸正方向射入磁場(chǎng)時(shí)會(huì)經(jīng)過 N 點(diǎn)1解析：根據(jù)左手定則，離子帶正電，A 項(xiàng)錯(cuò)誤；由題圖可知，離子軌道半徑為 QL,再根據(jù)2mvq2vqvB=丁，m=國(guó)，2L3、在光滑絕緣水平面上，一輕繩拉著一個(gè)帶電小球繞豎直方向的軸 O 在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)方向豎直向下，且范圍足夠大，其俯視圖如圖所示，若小球運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷開，則關(guān)于繩子斷開后，對(duì)小球可能的運(yùn)動(dòng)情況的判斷錯(cuò)誤的是（）A.小球仍做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但半徑減小B.小球仍做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變 C.小球做順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變 D.小球做順

13、時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑減小解析：A 繩子斷開后，小球速度大小不變，電性不變.由于小球可能帶正電也可能帶負(fù)電，若帶正電，繩斷開后仍做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力減小或不變（原繩拉力為零），則運(yùn)動(dòng)半徑增大或不變.若帶負(fù)電，繩子斷開后小球做順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩斷前的向心力與帶電小球受到的洛倫茲力的大小不確定，向心力變化趨勢(shì)不確定，則運(yùn)動(dòng)半徑可能增大，可能減小，也可能不變.4、如圖所示，在屏 MN 的上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.P 為屏上的一小孔.PC 與 MN 垂直.一束質(zhì)量為 m、電荷量為一 q 的粒子（不計(jì)重力），以相同的速率 v,從 P 處沿垂直

14、于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域.粒子入射方向在與磁場(chǎng)內(nèi)，且散開在與 PC 的夾角為。的范圍內(nèi).則在屏 MN 上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為（5、如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B=0.60T,磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板 ab,板面與磁場(chǎng)方向平行，在距 ab 距離 l=16cm 處，有一個(gè)點(diǎn)狀的“放射源 S,它向各個(gè)方向發(fā)射 a 粒子，a 粒子的速度都是v=3.0X106m/s,已知a粒子的比荷=5.0X107C/kg,現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的 a 粒子，求 ab 上被 aC項(xiàng)錯(cuò)誤B 垂直的平面B.C.D.2mvqB2mvcos(qB2mvf1sin()qB2mvf

15、1cos0)qB解析：由圖可知，沿 PC 方向射入的帶負(fù)電的粒子打在 MN 上的R 點(diǎn)，離 P 點(diǎn)最遠(yuǎn),PR=2mBv;沿兩邊界線射入磁場(chǎng)的粒子打在 MN 上的 Q 點(diǎn)，離 P一、l 一一一八 2mvcos 憶，.點(diǎn)取近，PQ=2rcos0=.所以打在 MN 上區(qū)域的長(zhǎng)度為qBPR-PQ=2mv1-cosO八、/QqB,D 選項(xiàng)正確.C箕XXX%.XK&粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度.解析：a 粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用 R 表示軌道半徑，2有 qvB=mR,由此得 R=腎，代入數(shù)值得 R=10cm,可見，Rl2R.因朝不同方向發(fā)射的 a 粒子的圓軌跡都過 S,由此可知

16、，某一圓軌跡在圖中 N 左側(cè)與ab 相切，則此切點(diǎn) Pi就是“粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn).NPi=正2_R2=8cm再考慮 N的右側(cè).任何a粒子在運(yùn)動(dòng)中離 S的距離不可能超過2R,以2R為半徑、S 為圓心作圓，交 ab 于 N 右側(cè)的 P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn).由圖中幾何關(guān)系得 NP2=y2R2-l2=12cm,所求長(zhǎng)度為 PiP2=NPi+NP2,代入數(shù)值得 PiP2=20cm.6、(2010 年課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，在 0WxWa、0WyW 范圍內(nèi)有垂直于 xOy 平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B.坐標(biāo)原點(diǎn) O 處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶正電粒

17、子，它們的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面內(nèi)，與 y 軸正方向的夾角分布在 090范圍內(nèi).已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于 a/2 至 Ua 之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一.求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的速度的大??；(2)速度方向與 y 軸正方向夾角的正弦.解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為 v,速度方向與 y 軸正方向夾角為2據(jù)洛倫茲力提供向心力 qvB=mV由得 R=mVRqB因弓Ra,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡與磁場(chǎng) 2上邊界相切，如圖所示 OCA=由幾何關(guān)系知 RsinkRaRsinkaRcos 感2又 sin2a+

18、coS2a=i由式得 R=(2乎)a6 一,6i0.7、如圖所示，在坐標(biāo)系 xOy 中，第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng) a 和 b,OP 為分界線，在區(qū)域 a 中，磁感應(yīng)弓雖度為雖度為2B,方向垂直紙面向里；在區(qū)域 b 中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,方向垂直紙面向外，P 點(diǎn)坐標(biāo)為(41,31).一質(zhì)量為 m,電荷量為 q 的帶正電的粒子從 P 點(diǎn)沿 y 軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域 b,經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子恰能經(jīng)過原點(diǎn) O,不計(jì)粒子重力.(sin37=0.6,cos37=0.8).求：(1)粒子從 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的時(shí)間最少是多少？(2)粒子運(yùn)動(dòng)的速度可能是多少？解析：( (i)設(shè)粒子的入射速度為 V,用 Ra

19、、Rb、Ta、Tb分別表示粒2呼，sina2mma 的粒子最后離開磁C得:2mv0E二(2 分)1,2,3,).8、如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在直線 x=210至 Uy 軸區(qū)域內(nèi)存在著兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中 x 軸上方的電場(chǎng)方向沿 y 軸負(fù)方向，x 軸下方的電場(chǎng)方向沿 y 軸正方向。在電場(chǎng)左邊界上 A(21o,1)至 UC(210,0)區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為 m 的粒子。從某時(shí)刻起由 A 點(diǎn)到 C 點(diǎn)間的粒子，依次連續(xù)以相同的速度 vo沿 x 軸正方向射入電場(chǎng)。若從 A 點(diǎn)射入的粒子，恰好從 y 軸上的 A(0,10)沿 x 軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如圖。不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。(1)求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E;(2)求在 AC 間還有哪些位置的粒子，通過電場(chǎng)后也能沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)？(3)若以直線 x=210上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于 xOy 平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿 x 軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過直線 x=210與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是多大？相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 是多大？從 A 點(diǎn)射出的粒子，由 A 到 A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 T,根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡和對(duì)稱性可得1qET2y 軸方向21。=-(-)父2(1 分)2