D114函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)49963學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D114函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)49963第一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。其中( 在 x 與 x0 之間)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱(chēng)為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :第1頁(yè)/共19頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱(chēng)當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)

2、, 0)(xxf在第2頁(yè)/共19頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿(mǎn)足:證明證明:令)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有第3頁(yè)/共19頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .第4頁(yè)/共19頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處

3、的值 ;第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開(kāi)方法展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式0. 的函數(shù)展開(kāi)第5頁(yè)/共19頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿(mǎn)足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 第6頁(yè)/共19頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿(mǎn)足! ) 1( nn0第7頁(yè)/共19頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。類(lèi)似可推出:),(

4、x),(x第8頁(yè)/共19頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例3. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)榘?x 換成)11(x, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). 第9頁(yè)/共19頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂第10頁(yè)/共19頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。展成解解: 的冪級(jí)數(shù). 第11頁(yè)/共19頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。分別展成 x，x+1的冪

5、級(jí)數(shù). 解解: 231x第12頁(yè)/共19頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: 第13頁(yè)/共19頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式x2!21x式的函數(shù) .第14頁(yè)/共19頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。x11當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x第15頁(yè)/共19頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。作業(yè) P266 11 (1) , (3) , (4) , (5) ; 12 ; 14 第16頁(yè)/共19頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。第17頁(yè)/共19頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn) 五十六分。)1 (lnxx