論有效教學(xué)背景下《圖形和變換》教材的挖掘藝術(shù)

1、學(xué)科論文：初中數(shù)學(xué)擷尋常之材 筑精彩之路論有效教學(xué)背景下圖形和變換教材的挖掘藝術(shù)【內(nèi)容摘要】在有效教學(xué)背景下，靜態(tài)的教材需要教師的藝術(shù)挖掘。本文結(jié)合教學(xué)理論和相關(guān)案例，分別闡述了操作感悟、上串下聯(lián)、突出應(yīng)用、多向思考四種關(guān)于浙教版數(shù)學(xué)七年級下冊圖形和變換教材的挖掘藝術(shù)，并從知識技能增長、系統(tǒng)建構(gòu)流暢、情感需求調(diào)動(dòng)、持續(xù)進(jìn)步發(fā)展四個(gè)方面闡述了有效教學(xué)的內(nèi)涵?！娟P(guān)鍵詞】有效教學(xué) 圖形變換 挖掘藝術(shù) 數(shù)學(xué)教材隨著新課程改革的不斷深入，有效教學(xué)已成為廣大一線教師的共識與追求。何為有效教學(xué)？國內(nèi)學(xué)者認(rèn)為，有效教學(xué)是師生遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律，以最優(yōu)的速度和效率促進(jìn)學(xué)生在知識技能、過程方法、情感態(tài)度與價(jià)值

2、觀上獲得整合、協(xié)調(diào)，獲得可持續(xù)的進(jìn)步與發(fā)展，從而有效地實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需求而組織實(shí)施的教學(xué)活動(dòng)。同時(shí)，基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）解讀也指出：所謂“有效”，主要是指通過教師在一段時(shí)間的教學(xué)之后，學(xué)生所獲得的具體的進(jìn)步或發(fā)展。也就是說，學(xué)生有無進(jìn)步或發(fā)展是教學(xué)是否有效的唯一指標(biāo)。據(jù)此定義，不難發(fā)現(xiàn)，作為知識載體的課本教材，也應(yīng)當(dāng)從靜態(tài)的材質(zhì)或加工、或挖掘成利于學(xué)生發(fā)展的動(dòng)態(tài)資源。那么，如何采擷尋常的課本教材、構(gòu)筑精彩的數(shù)學(xué)課堂呢？下面，不妨讓我們以浙教版數(shù)學(xué)七年級下冊第2章圖形和變換的教材為例，談?wù)勗谟行Ы虒W(xué)背景下教材的挖掘藝術(shù)。一、操作感悟、彌合差距，讓學(xué)生在知識技

3、能上促“質(zhì)”“量”雙增“讓學(xué)生做數(shù)學(xué)，在操作中學(xué)習(xí)，在操作中感悟”，這是新課程提倡的數(shù)學(xué)教學(xué)理念之一。一堂稱得上是有效的好課，不僅能讓教師展示教學(xué)風(fēng)采，同時(shí)也是學(xué)生感悟新知的舞臺。因此，教師要善于挖掘教材中的可操作內(nèi)容，通過有效的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感悟新知、培養(yǎng)智能，力求在有限的課堂時(shí)間內(nèi)彌合教材與學(xué)生實(shí)際水平之間的差距，促進(jìn)知識技能的“質(zhì)”“量”雙增。案例1-1：探索軸對稱圖形的性質(zhì)【教材原型】2.1軸對稱圖形，教材40頁“合作學(xué)習(xí)”（如圖1-1）圖1-1【課堂實(shí)錄】完成“合作學(xué)習(xí)“第1題后圖1-2BCBCAA（1）我們認(rèn)識了這么多漂亮的軸對稱圖形，那么，你能否在彩色卡紙上也剪出一個(gè)軸對稱圖形

4、呢（設(shè)成果圖形如圖1-2所示）？；（2）請你在所裁剪的圖形輪廓線上任找三對對稱點(diǎn),并把每一對對稱點(diǎn)用虛線連接。觀察這些虛線與對稱軸，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生猜想、討論或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證，教師選取部分圖形實(shí)物展示，由實(shí)物的主人說說自己的發(fā)現(xiàn)!得不在同一條直線上的三條虛線相互平行，對稱軸垂直平分每一條虛線。（3）對照相關(guān)概念，你能用數(shù)學(xué)語言說一說嗎?（軸對稱圖形的對稱軸（實(shí)線）垂直平分連結(jié)兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段（虛線）；對于這個(gè)實(shí)驗(yàn)得來的結(jié)論，我們?nèi)绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)建模？（4）（正當(dāng)學(xué)生以為大功告成的時(shí)候，師又發(fā)話了）剛才，我們連結(jié)了每一對對稱點(diǎn)，現(xiàn)在，請把這些對稱點(diǎn)交叉相連，試試你又能發(fā)現(xiàn)什么？我們知道，從整體上說，

5、教材內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)識水平是一致的，但具體到不同學(xué)校的一個(gè)班級的不同學(xué)生來說，就會(huì)出現(xiàn)差距。這種差距的彌合是有效教學(xué)的任務(wù)之一。彌合差距，經(jīng)驗(yàn)說法就是吃透“教材”和吃透“學(xué)生”。就教材而言，我注意到，從“合作學(xué)習(xí)”的第1題關(guān)于生活圖形的認(rèn)識到第2題抽象的數(shù)學(xué)圖形，中間少了一座“橋”的過渡，形式上的割裂容易讓學(xué)生產(chǎn)生突兀感；并且，第2題的教學(xué)設(shè)計(jì)在教學(xué)參考書上是這么描述的：（1）題憑直觀觀察完成，（2）題用推理的方法完成，這里所指的“推理方法”即根據(jù)軸對稱圖形的定義去證明兩條線段重合、兩個(gè)角重合。據(jù)此，我仿佛從教材里看到了課堂上學(xué)生表述的困難，尤其是如我校這樣地處城郊結(jié)合部的學(xué)生?；仡^再去審視課堂

6、實(shí)錄，不難看出，“剪一個(gè)軸對稱圖形”的操作恰如架起了一座從第1題過渡到第2題的“橋”，而“橋”后的分步設(shè)問又讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，朝著明確的探索方向發(fā)現(xiàn)了預(yù)設(shè)的本質(zhì)問題。這種操作感悟的結(jié)果一方面是教材得到了“挖掘”，另一方面是學(xué)生在知識技能上獲得了如下的“質(zhì)”“量”雙增：1.1實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：從所操作的實(shí)物圖形中，感悟自己所需要的新知，并進(jìn)行測量或折疊等實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；1.2表述新知：對照相關(guān)概念，逐步學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)語言闡述“軸對稱圖形的對稱軸（實(shí)線）垂直平分連結(jié)兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段（虛線）”，形成對直觀圖形的抽象理解，無限接近真相；1.3彌合差距：在上述案例中，教師對于教材的挖掘與學(xué)生實(shí)際水平的彌合體現(xiàn)在以下

7、兩個(gè)方面： 對一部分學(xué)生而言，僅憑操作去探得軸對稱圖形性質(zhì)的做法恐怕不能回答他們“真的是這樣嗎？一定是這樣嗎”的疑惑。于是，教師提出應(yīng)數(shù)學(xué)建模，并細(xì)化為以下步驟進(jìn)行：圖1-3ABCD我們要尋找的這個(gè)數(shù)學(xué)模型必須符合什么要求？（生：軸對稱圖形）如圖1-3，AD平分BAC，AB=AC，四邊形ABCD是軸對稱圖形嗎？ 你認(rèn)為應(yīng)該連結(jié)哪一對對稱點(diǎn)？AD與CB的關(guān)系？這樣，這個(gè)教學(xué)過程就確保了學(xué)生能真正經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程。他們有可能體會(huì)到，在充滿生活味的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，還蘊(yùn)涵著濃郁的數(shù)學(xué)味，軸對稱圖形性質(zhì)的探索過程原來可以是一個(gè)知識技能、過程方法、情感態(tài)度逐步豐實(shí)的有效學(xué)習(xí)過程。B·圖1-4

8、·BO·AA·12 僅僅依據(jù)教材，本題可以就此打住了。但是，教師卻敏銳地挖掘到了書本不曾有的另一條精彩結(jié)論軸對稱圖形對稱點(diǎn)交叉相連的連線必交于對稱軸上的同一點(diǎn)。對于成績一般的學(xué)生，這一結(jié)論可以在上面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和表述新知的基礎(chǔ)上，通過畫圖直觀感知；而對于學(xué)有余力的學(xué)生，教師分明是“吃透”了他們不會(huì)滿足于前者，原有數(shù)學(xué)水平的明顯差距很可能會(huì)讓他們真的“較勁”去打破沙鍋問到底，那么，課后就“不得不”調(diào)動(dòng)第一章全等三角形的知識儲(chǔ)備證“三點(diǎn)共線”而得了（證明如下）。證明：如圖1-4，連結(jié)AB交直線于點(diǎn)O，連結(jié)OA'、OB由軸對稱和線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AB,O

9、A=OA,OB=OB' AOBAOBAOB=AOB 1+2+AOB =1+2+AOB=180°B、O、A三點(diǎn)共線 即AB和 AB交于直線上的同一點(diǎn)二、上串下聯(lián)、適當(dāng)變通，讓學(xué)生在系統(tǒng)建構(gòu)中如行云流水圖2-1-1從建構(gòu)主義的角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生與教材（文本）及教師產(chǎn)生交互作用，自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動(dòng)。總攬教材，雖然初中階段的不同數(shù)學(xué)知識之間充滿了內(nèi)在的聯(lián)系，但在教材編寫中由于考慮學(xué)習(xí)難度或討論問題的一致性等因素，有時(shí)會(huì)將具有直接聯(lián)系的內(nèi)容放在不同學(xué)冊的不同章節(jié)，或是即使在同一章節(jié)也以塊狀的形式出現(xiàn)。因此，有效教學(xué)非常需要教師按照知識體系，按照學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，對教材內(nèi)容進(jìn)行上

10、串下聯(lián)、適當(dāng)變通等形式的藝術(shù)挖掘，以幫助學(xué)生逐步完成數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)建構(gòu)，并力求這個(gè)建構(gòu)過程能如行云流水般自然、流暢。案例2-1：平移變換與軸對稱變換的關(guān)系【教材原型】書本43頁作業(yè)題第3題,如圖2-1-1【課堂實(shí)錄】這是一次聽課活動(dòng)，事先我參閱了教學(xué)參考書，發(fā)現(xiàn)2.3平移變換的主要教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生理解圖形平移變換的性質(zhì)以及會(huì)按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過平移變換后的像。一般的，我們會(huì)在課末增加12個(gè)作圖題或讀圖題對上述目標(biāo)是否達(dá)成加以確認(rèn)，但這次聽課經(jīng)歷完全改變了我原來的想法：L1L2圖2-1-2.作一個(gè)三角形經(jīng)直線L1成軸對稱變換后的像（顯然，他把教材上的圖形與對稱軸的間隔做了調(diào)整）。我有點(diǎn)不以

11、為然：這些做“爛”了的題目，臨近課末提它還有什么意義？可這位老師似乎很“傻”，他還要求學(xué)生作第一次的像再經(jīng)直線L2成軸對稱變換后的像（已知直線L1 L2）。他在磨時(shí)間等下課嗎？“觀察兩次變換后的像，你發(fā)現(xiàn)了什么？”冷不丁的，一聲提問飄然而進(jìn)。再接著，一句又一句震耳發(fā)饋的發(fā)問接鍾而來?！澳阏J(rèn)為像2是由原圖形經(jīng)過平移而來，那平移的方向和距離各是什么？“把一個(gè)圖形經(jīng)過兩次軸對稱變換，有時(shí)也可以用平移變換來解釋，這說明，圖形的這些變換之間是有_的？”生立即集體接口：“圖形的這些變換之間是有聯(lián)系的?！庇谑?，我在自己的聽課筆記上寫下了這么一段話：低起點(diǎn)、高落點(diǎn)是義務(wù)教育階段有效教學(xué)的本質(zhì)要求。但一直以來，

12、我們都有一個(gè)共識，那就是課堂定一個(gè)低起點(diǎn)容易，找一個(gè)高落點(diǎn)為難?？山裉欤医K于明白，不是后者為難了我們，而是因?yàn)槲覀兦饬怂?。象這位執(zhí)教老師設(shè)置的三道題，你多半不會(huì)贊同它們難度有多大，但你肯定無法否認(rèn)它們挖掘得深。就是這樣簡單的三道題，讓授教者看似無心拈來，學(xué)習(xí)者卻愈覺精彩。尤其是那句經(jīng)典的結(jié)束語（原來，圖形的這些變換之間是有聯(lián)系的），雖只寥寥數(shù)語，卻在學(xué)生面前畫出了一副如行云流水般落筆的軸對稱平移變換的上串下聯(lián)之建構(gòu)美圖，讓人回味雋永，綿綿不絕。L1L2圖2-1-3有感于此，我認(rèn)為，在2.4旋轉(zhuǎn)變換課末小結(jié)，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生如此系統(tǒng)歸納：當(dāng)兩條對稱軸平行時(shí)，兩次軸對稱變換相當(dāng)于一次平移變換

13、；當(dāng)兩條對稱軸相交時(shí)，兩次軸對稱變換就相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)變換（如圖2-1-3）。案例2-2：2.5相似變換【教材原型】書本55頁“做一做”（2）,如圖2-2-1ABCACB圖2-2-2圖2-2-1【課堂實(shí)錄】學(xué)生完成教材指定作圖后，如圖2-2-2，師：若把圖形與圖形相似記做，則剛才所得的像與原三角形可記為；若把相似變換中放大或縮小的倍數(shù)記為，根據(jù)相似變換的性質(zhì)，可得等式=1/2；圖中有哪些角相等？反之，你認(rèn)為滿足什么條件的兩個(gè)三角形相似?圖中的ABC一定要畫在如圖的位置嗎？若抽去網(wǎng)格，你能否作出符合條件的ABC？課堂發(fā)現(xiàn)，學(xué)生頗感興趣地帶著自己原有的知識背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)了上述適當(dāng)變通的數(shù)學(xué)活動(dòng)，

14、對于問這類在九年級上冊才涉及的相似三角形的記法、性質(zhì)及判定掌握得很快，而對于如問這樣具有相當(dāng)挑戰(zhàn)性的問題則出現(xiàn)了一時(shí)半會(huì)的“冷場”?？墒?，只要教師舍得給時(shí)間，基礎(chǔ)較好的學(xué)生就必將在教師提供的這樣一個(gè)充滿探索、創(chuàng)造的教材挖掘平臺上收獲知識、提高能力、建構(gòu)于“無痕”：借助問，通過測量作圖，得到如圖2-2-3的兩種符合條件圖形的并非難事（實(shí)際上，只要在ABC所在的平面上任取一點(diǎn)，再取該點(diǎn)與各對應(yīng)點(diǎn)連線的一半，則所畫的三角形即為滿足條件的三角形（如圖2-2-2的），但這種方法在大眾化的學(xué)校生源面前，現(xiàn)階段還是不講為宜）。 圖2-2-3三、突出應(yīng)用、體驗(yàn)成功，讓學(xué)生在知識價(jià)值里“動(dòng)”情感需求課堂教學(xué)是一

15、個(gè)有機(jī)的整體，認(rèn)知活動(dòng)、情感活動(dòng)、實(shí)踐活動(dòng)和人際交往活動(dòng)不是相互對立、彼此割裂的四個(gè)教學(xué)過程，而是同一個(gè)教學(xué)過程的四個(gè)側(cè)面，它們是相互交融的。有效教學(xué)要求教師在實(shí)際教學(xué)過程中，既讓學(xué)生有“身”的物質(zhì)參與，也要有“心”的情感需求，做到感性與理性的統(tǒng)一。但是，雖然目前初中數(shù)學(xué)圖形和變換的教材也編制了不少的應(yīng)用型問題，可從功效來看，無一例外只是為了體現(xiàn)“理論聯(lián)系實(shí)際”的原則，普遍存在著分量過輕、范圍過窄、思考過淺等不足，缺乏能使學(xué)生從中體驗(yàn)深層次成功感的學(xué)習(xí)內(nèi)容。因此，在這一章節(jié)的教學(xué)中，教師可大膽地以教材為載體，通過挖掘、加工和再創(chuàng)造，增補(bǔ)一些應(yīng)用意識突出的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中真正懂得數(shù)學(xué)

16、是有用的，自己正在學(xué)習(xí)的正是“必要的數(shù)學(xué)”，是“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，從而調(diào)動(dòng)內(nèi)在的情感需求，主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極學(xué)習(xí)。案例3-1：軸對稱變換的應(yīng)用河岸·BA·圖3-1-2圖3-1-1【教材原型】書本42頁“做一做”第1題,如圖3-1-1【課堂實(shí)錄】1.完成上題2.出示問題：如圖3-1-2，為解決兩個(gè)村莊A和B人們的飲水問題，決定在一條筆直的河岸上建立一個(gè)供水站P ，當(dāng)供水站 P的位置在哪里時(shí)，能使所鋪設(shè)的管道AP + PB最短？溫馨提示：當(dāng)你解題有困難時(shí)，可以參照第1題，看看會(huì)有什么啟發(fā)？案例3-2：平移變換的應(yīng)用清晨，愛鍛煉的小明正沿著一個(gè)五邊形廣場小道跑步。當(dāng)他第一次回到原來的位

17、置時(shí)，他的身體方向共轉(zhuǎn)過了多少度？你是如何計(jì)算的？（學(xué)生們一開始認(rèn)為是求五邊形的內(nèi)角和，糾正后普遍采用了三角形的內(nèi)角和與互補(bǔ)的知識推得360度）圖3-3-1師：“你能用今天的知識解決嗎？”沉寂過后，只見利用多媒體由五個(gè)外角平移拼成的周角躍然于眼前！ 案例3-3：旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用【教材原型】教材48頁“做一做”第1題,如圖3-3-1【課堂實(shí)錄】如圖，（1）經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換，可由射線OP得到射線OQ ？（如圖3-3-2）（2）若把POQ沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得射線OQ與射線OA重合，請畫出POQ經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的像；（如圖3-3-3）（3）觀察圖3-3-4，這個(gè)變換過程可以驗(yàn)證哪一條數(shù)學(xué)結(jié)論？圖3-3-2Q

18、POQA圖3-3-3AQPOQA圖3-3-4AQBPOPB看得出來，案例3-1通過“造對稱”解決了看似不能解決的實(shí)際問題，挖掘了教材的實(shí)踐性，使能力培養(yǎng)寓于知識的運(yùn)用之中；案例3-2則通過“平移拼圖”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了多邊形的外角和等于360度，增補(bǔ)了教材的趣味性，寓教于樂，力求讓學(xué)生處于要學(xué)、愛學(xué)、好學(xué)的狀態(tài)之中。可見，案例3-1、案例3-2對于教材內(nèi)容，并沒有照搬變換幾何的理論，而是突出了用變換的思想方法處理生活問題，體現(xiàn)了圖形變換的工具性作用。而在案例3-3中，所采擷的教材內(nèi)容（1）讓學(xué)生定向地回憶了本節(jié)的新知旋轉(zhuǎn)變換；精心挖掘的內(nèi)容（2）又幫助鞏固了旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì)；而內(nèi)容（3），則激發(fā)了

19、學(xué)生進(jìn)行饒有興趣的探索學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了沉淀在腦海深處的數(shù)學(xué)結(jié)論“同角的余角相等”居然能在圖形變換中得到全新的解釋。這是一種怎樣的學(xué)習(xí)感受？它們，不僅滿足了學(xué)生對知識“懂”的需求，“用”的愿望，更重要的是，它們還讓學(xué)生體驗(yàn)了源自于學(xué)習(xí)過程的一種叫做“成功”或“喜悅”的情感。四、啟迪思維、多向思考，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)里獲持續(xù)發(fā)展有人說，教學(xué)有三重境界，分別為授之以業(yè)、授之以法、授之以道。不同的的教學(xué)境界，對學(xué)生的影響是長遠(yuǎn)且不同的。對數(shù)學(xué)教師而言，著眼于人文性發(fā)展的“授之以道”固然非一隅之功，但個(gè)人的教學(xué)眼光絕不能僅僅停留在應(yīng)試教育的“授之以業(yè)（學(xué)業(yè)）”上，還需放遠(yuǎn)目光把“授之以法”與平常的教學(xué)行為融合

20、起來，對教材內(nèi)容做到精挖細(xì)選，讓教學(xué)行為做到啟迪思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生持續(xù)發(fā)展所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，例如多向思考、多種策略地解決問題。案例4-1OBA圖4-1-2POBA圖4-1-3. 圖4-1-1【教材原型】如同案例3-3，教材48頁“做一做”第1題，如圖4-1-1【課堂實(shí)錄】已知：如圖4-1-2，AOB=900，且OA=OB，經(jīng)過怎樣的變換，可由線段OA得到線段OB？生隨口回答：把線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，可得線段OB；或把線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，可得線段OA。師：有沒有另外的圖形變換？生：可以先平移線段OA，使點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，再把OA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再向左平移。不過這樣太麻煩

21、了，還是一次旋轉(zhuǎn)來得簡單。師：那么，有沒有別的旋轉(zhuǎn)方式？如不再是從O到O，從A到B？生（立刻興奮起來）：有，A到O，O到B！師（含笑）：那你試試，用尺規(guī)作圖的方式找出它們的旋轉(zhuǎn)中心，并說出旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度（如圖4-1-3） 案例4-2【教材原型】教材62頁目標(biāo)與評定第9題，如圖4-2-1【課堂實(shí)錄】已知兩個(gè)等圓A和B如圖4-2-2所示，你認(rèn)為它們屬于何種變換？生1：軸對稱變換；師：請確定它們的對稱軸 生2：平移變換，把A向右平移線段AB長度，即得B ；A.B圖4-2-3圖4-2-1圖4-2-2.A.B生3：相似變換（全等）；生4：旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)中心在線段AB的中點(diǎn)，順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180&#

22、176;（如圖4-2-3）；師：大家的看法跟他一樣嗎？一陣思考過后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：若定為旋轉(zhuǎn)變換，則旋轉(zhuǎn)中心可以是直線上的任一點(diǎn)！基礎(chǔ)教育是為學(xué)生終身持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)的教育。數(shù)學(xué)教育的價(jià)值并非是單純地通過積累數(shù)學(xué)事實(shí)來實(shí)現(xiàn)的，它更多的是通過學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、通過數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成來實(shí)現(xiàn)。以上這二則教學(xué)案例的共同特點(diǎn)可以概括為：簡單而不單調(diào)，重復(fù)而不枯燥。簡單，是說兩個(gè)片段均是由學(xué)生熟知的基本圖形（如線段和等圓）構(gòu)成；重復(fù)，是指這二案例的教學(xué)，都是采取一次又一次地讓學(xué)生反復(fù)尋找“圖形變換”的方式。既然如此，為什么又會(huì)讓人覺得內(nèi)涵豐富、有效達(dá)成呢？除了教師語言得當(dāng)、引導(dǎo)到位外，就是在案例4-1中，教師變教材原型中的“射線”為線段，通過“有沒有別的旋轉(zhuǎn)方式”之引導(dǎo)，啟迪學(xué)生進(jìn)行多向思考，從而在后續(xù)的“尺規(guī)作圖找出旋轉(zhuǎn)中心”環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)逆向解答。這一獨(dú)到的教材挖掘藝術(shù)讓本陷平淡泥濘的課堂瞬間精彩了起來，既教給了知識，更提升了學(xué)生的方法能力。在案例4-2中，教師取材62頁目標(biāo)與評定第9題，同樣“放手”變換方式、提倡多向思考。結(jié)果，學(xué)生對該問題思考的角度不同，解答的方向自然也不相同。當(dāng)軸對稱變換、平移變換、相似變換和