對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分(第二類(lèi)曲線(xiàn)積分)

1、一、一、問(wèn)題問(wèn)題的提出的提出二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念三、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分(第二類(lèi)第二類(lèi) 曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分)oxyABL一、問(wèn)題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線(xiàn)所作的功變力沿曲線(xiàn)所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取

2、極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線(xiàn)弧向

3、光滑曲線(xiàn)弧的一條有的一條有到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱(chēng)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分）或稱(chēng)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分）積分積分的曲線(xiàn)的曲線(xiàn)上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線(xiàn)弧在有向曲線(xiàn)弧數(shù)數(shù)則稱(chēng)此極限為函則稱(chēng)此極限為函的極限存在的極限存在類(lèi)似地定義類(lèi)似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被積積函函數(shù)數(shù)其其中中yxQyxP.叫叫積積分分弧弧段段L2.

4、存在條件：存在條件：.,),(),(第二類(lèi)曲線(xiàn)積分存在第二類(lèi)曲線(xiàn)積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線(xiàn)弧在光滑曲線(xiàn)弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推廣推廣 空間有向曲線(xiàn)弧空間有向曲線(xiàn)弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分分

5、成成如如果果把把則則有向曲線(xiàn)弧有向曲線(xiàn)弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線(xiàn)弧是有向曲線(xiàn)弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線(xiàn)積分則曲線(xiàn)積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且

6、連在曲線(xiàn)弧在曲線(xiàn)弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()()

7、,(),()()(),(),( 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直線(xiàn)線(xiàn)段段軸軸到到點(diǎn)點(diǎn)沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)的的上上

8、半半圓圓周周針針?lè)椒较蛳蚶@繞行行、圓圓心心為為原原點(diǎn)點(diǎn)、按按逆逆時(shí)時(shí)半半徑徑為為為為其其中中計(jì)計(jì)算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變變到到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 注注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1

9、()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點(diǎn)點(diǎn)，這這里里有有向向折折線(xiàn)線(xiàn)的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)為為其其中中計(jì)計(jì)算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對(duì)對(duì) x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy.

10、 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0變變到到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同徑不同而積分結(jié)果相同.zxyyzxzydd2d)(222tx 2ty 3tz 例例4、計(jì)算、計(jì)算為：為：，t從從0變到變到1的一段弧。的一段弧。，zx

11、yzxyddd2222222azyx0zaxyx22例例5、計(jì)算、計(jì)算為：為：與與的交線(xiàn)。的交線(xiàn)。四、四、 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧為為,),( 為為處的切線(xiàn)向量的方向角處的切線(xiàn)向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則（可以推廣到空間曲線(xiàn)上（可以推廣到空間曲線(xiàn)上 ） ,),( 為為處的切線(xiàn)向量的方向角處的切線(xiàn)向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA rdA可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,

12、dzdydxdstrd 有向曲線(xiàn)元；有向曲線(xiàn)元；處處的的單單位位切切向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx LyyxQxyxPd),(d),(L2xy )0 , 0() 1 , 1 (例、把例、把化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，其中化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，其中為沿拋物線(xiàn)為沿拋物線(xiàn)從從到到的一段弧。的一段弧。Lyyxxxyd)(d2L2xy )0 , 0() 1 , 1 () 1 , 0(例、計(jì)算例、計(jì)算，其中，其中1)沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)從從到到2)沿從沿從經(jīng)經(jīng)到到為為的一段弧。的一段弧。)0 , 0() 1 , 1 (的折線(xiàn)段。的折線(xiàn)段。Lyyxxyxd)()d(2222L)0 , 2(A|1 |1xy)0 , 0(例、

13、計(jì)算例、計(jì)算，其中，其中為：從為：從沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)到到。四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分的概念、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分的計(jì)算3、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當(dāng)當(dāng)曲曲線(xiàn)線(xiàn)L的的參參數(shù)數(shù)方方程程與與參參數(shù)數(shù)的的變變化化范范圍圍給給定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常數(shù)數(shù)），試試問(wèn)問(wèn)如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示為為順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?、逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳颍?？思考題解答思考題解答曲線(xiàn)方向由參數(shù)的變化方向而定曲線(xiàn)方向由參數(shù)的變化方向而定.例例如如L：taxcos ，tay

14、sin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變變到到 2時(shí)時(shí)，L取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?反反之之當(dāng)當(dāng)t從從 2變變到到 0時(shí)時(shí)，L取取順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?一一 、 填填 空空 題題 : :1 1、 對(duì)對(duì) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的 曲曲 線(xiàn)線(xiàn) 積積 分分 與與 曲曲 線(xiàn)線(xiàn) 的的 方方 向向 有有 關(guān)關(guān) ；2 2、 設(shè)設(shè)0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在 公公 式式 dyyxQdxyxPL),(),( dtt

15、ttQtttP)()(,)()()(,)(中中 , ,下下 限限對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) , ,上上 限限 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) ；4 4、 兩兩 類(lèi)類(lèi) 曲曲 線(xiàn)線(xiàn) 積積 分分 的的 聯(lián)聯(lián) 系系 是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓

16、周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界( (按按 逆時(shí)針?lè)较蚶@行逆時(shí)針?lè)较蚶@行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時(shí)針?lè)较蝠埿邪茨鏁r(shí)針?lè)较蝠埿? )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中為為有有向向閉閉折折線(xiàn)線(xiàn)ABCD, ,這這里里 的的CBA,依依次次為為點(diǎn)點(diǎn)( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,

17、其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的正正方方形形正正向向邊邊界界線(xiàn)線(xiàn) . .三、三、 設(shè)設(shè)z軸與重力的方向一致軸與重力的方向一致, ,求質(zhì)量為求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位的質(zhì)點(diǎn)從位置置),(111zyx沿直線(xiàn)移到沿直線(xiàn)移到),(222zyx時(shí)重力所作時(shí)重力所作的功的功. .四、四、 把對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分把對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成對(duì)弧長(zhǎng)的積分對(duì)弧長(zhǎng)的積分, , L其其中中為為: :1 1、 在在xoy面內(nèi)沿直線(xiàn)從點(diǎn)面內(nèi)沿直線(xiàn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；2 2、 沿拋物線(xiàn)沿拋物線(xiàn)2xy 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圓周沿上半圓周xyx222 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1).(1,1).練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、