醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案解析

1、精品文檔第一章 數(shù)據(jù)的描述和整理一、學(xué)習(xí)目的和要求1. 掌握數(shù)據(jù)的類型及特性；2. 掌握定性和定量數(shù)據(jù)的整理步驟、顯示方法；3. 掌握描述數(shù)據(jù)分布的集中趨勢、離散程度和分布形狀的常用統(tǒng)計(jì)量；4. 能理解并熟練掌握樣本均值、樣本方差的計(jì)算；5. 了解統(tǒng)計(jì)圖形和統(tǒng)計(jì)表的表示及意義；6. 了解用 Excel 軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)作圖、頻數(shù)分布表與直方圖生成、統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算內(nèi)容提要一）數(shù)據(jù)的分類數(shù)據(jù)類型定性數(shù)據(jù)（品質(zhì)數(shù)據(jù)）定量數(shù)據(jù)定類數(shù)據(jù)（計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)）定序數(shù)據(jù)（等級(jí)數(shù)據(jù)）數(shù)值數(shù)據(jù)（計(jì)量數(shù)據(jù)）表現(xiàn)形式類別（無序）類別（有序）數(shù)值（×÷ ）對(duì)應(yīng)變量定類變量定序變量數(shù)值變量（離散變量、連續(xù)變量）主要

2、統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算各組頻數(shù)， 進(jìn)行列聯(lián)表分析、 2 檢驗(yàn)等非參數(shù)方法計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析等參數(shù)方法常用統(tǒng)計(jì)圖形條形圖，圓形圖（餅圖）直方圖，折線圖，散點(diǎn)圖，莖葉圖，箱形圖二）常用統(tǒng)計(jì)量1、描述集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量名稱公 式（原始數(shù)據(jù)）公 式（分組數(shù)據(jù)）意義均值x1nx xi n i 1x1 k m fx mi f i ni1反映數(shù)據(jù)取值的平均水 平，是描述數(shù)據(jù)分布集中 趨勢的最主要測度值 ,中位數(shù)Mexn 1， 當(dāng)n為奇數(shù) (n21)M e 11(xn x n ), 當(dāng)n為偶數(shù) 2 (n2 )(n2 1)中位數(shù)所在組： 累積頻數(shù)超過 n/2 的那 個(gè)最低 組是典型的位置

3、平均數(shù)， 不受極端值的影響眾數(shù)Mo數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的觀察值眾數(shù)所在組 :頻數(shù)最大的組測度定性數(shù)據(jù)集中趨勢，對(duì)于定量數(shù)據(jù)意義不大2、描述離散程度的統(tǒng)計(jì)量名稱公 式（原始數(shù)據(jù)）公 式（分組數(shù)據(jù)）意義極差RR = 最大值 - 最小值R最高組上限值最低組下限值反映離散程度的最簡單測度值，不能反映中間數(shù)據(jù)的離散性總體方差22 1 N (x x)22 N i 1 (xi x)22 1 k 22(mi x)2 fiN i 1反映每個(gè)總體數(shù)據(jù)偏離其總體均 值的平均程度，是離散程度的最 重要測度值 , 其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與 觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱總體標(biāo)準(zhǔn)差22N1 i 1(xi x)21NN1 i1(mi x)2

4、fi樣本方差S21nS2 1(xi x) 2n 1i 12 1 k 2S2(mi x)2 fin 1i 1反映每個(gè)樣本數(shù)據(jù)偏離其樣本均值的平均程度，是離散程度的最樣本標(biāo)準(zhǔn)差SS S2SS2重要測度值 , 其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱1n1n2 (xi x)i11 k 2 (mi x) f i n 1 i 1變異系數(shù)CV= S100%反映數(shù)據(jù)偏離其均值的相對(duì)偏CV|x|差，是無量綱的相對(duì)變異性測度反映樣本均值偏離總體均值的平樣本標(biāo)準(zhǔn)誤SxSSxn均程度，在用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)測度偏差3 、描述分布形狀的統(tǒng)計(jì)量名稱公 式（原始數(shù)據(jù)）公式（分組數(shù)據(jù)）意義反映數(shù)據(jù)分布的非對(duì)稱性偏度nS(x

5、i x)3k(mi x) 3 fiSk=0 時(shí)為對(duì)稱；Skk(n1)(n 2)S3Ski1Sk >0 時(shí)為正偏或右偏；nS3Sk <0 時(shí)為負(fù)偏或左偏n(n1) (xi x)43 (xi x)22 (n 1)反映數(shù)據(jù)分布的平峰或尖Ku4(n 1)(n2)(n3)S4峰程度峰度（原始數(shù)據(jù)）Ku=0 時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)；Kuk4(mi x)4 fiKu >0 時(shí)為尖峰分布；K i 13（分組數(shù)據(jù)）Ku3（分組數(shù)據(jù)）nSKu <0 時(shí)為扁平分布在分組數(shù)據(jù)公式中， mi， fi 分別為各組的組中值和觀察值出現(xiàn)的頻數(shù)。三、綜合例題解析例 1 證明：各數(shù)據(jù)觀察值與其均值之差的平方和（稱為

6、離差平方和）最小，即對(duì)任意常數(shù) C，有可編輯nn(xi x)2(xi C)2i1證一 ：設(shè)由函數(shù)極值的求法，對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)， n f (C) 2 (xi i1令 f (C)=0 ，得唯一駐點(diǎn)i1n2f (C)(xi C)2i1得C)n2 xi 2nC, f (C) 2n i11nxi=xCni1x時(shí)f (C)y有最小值，其最小值為由于 f (x) 2n 0，故當(dāng) Cnf (x)(xi x)2 。i1證二：因?yàn)?對(duì)任意常數(shù) C 有n n n n n(xi2x)2(xi C)222xi nx( xi2 2C xi nC 2)1i n1i1i 1 i 12 nx2Ci1xi nC2n(x2 2CxC2

7、)n(xC)20nn 22 故有(xi x)2(xi C)2i 1 i 1四、習(xí)題一解答1 在某藥合成過程中，測得的轉(zhuǎn)化率( %)如下：94.392.892.792.693.392.991.892.493.492.692.293.092.992.292.492.292.892.493.992.091.890.893.593.693.093.093.494.292.893.292.292.593.693.992.491.893.893.692.192.0（1）取組距為 0.5 ，最低組下限為 90.5 ，試作出頻數(shù)分布表；（2）作頻數(shù)直方圖和頻率折線圖；（3）根據(jù)頻數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均

8、值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 解：（1）所求頻數(shù)分布表：轉(zhuǎn)化率的頻數(shù)分布表轉(zhuǎn)化率分組頻數(shù)頻率累積頻率90.5 10.0250.02591.0 00.000.02591.5 30.0750.1092.0 110.2750.37592.5 90.2250.6093.0 70.1750.77593.5 70.1750.9594.0 94.520.051.002 ）頻數(shù)直方圖：直方圖精品文檔81可編輯頻率折線圖：轉(zhuǎn)化率頻率折線圖3 ）由頻數(shù)分布表可得mifini190 .75 1 91.25 094 .25 24037134092 .825轉(zhuǎn)化率分組組中值頻數(shù)mi90.5 90.75191.0 91.25091.

9、5 91.75392.0 92.251192.5 92.75993.0 93.25793.5 93.75794.0 94.594.252S2 n11 (mi x)2 fi n 1i 1 i i= 1 (90.75 92.825) 2×1+(91.25 92.825) 2×0+ +(94.25 3992.825) 2 ×2=0.584或者 S2n11(imi 2 finx2)1 2 22294.252 2 40 92.762 ) 0.584319(90.752 1 91.252 0SS2 = 0.584 0.76422測得 10 名接觸某種病毒的工人的白細(xì)胞（ 10

10、 9/L ）如下：7.1 ， 6.5 ，7.4 ，6.35 ，6.8 ，7.25 ，6.6 ，7.8 ，6.0 ，5.95（1）計(jì)算其樣本均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)（2 ）求出該組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值；（3 ）計(jì)算其偏度。10解：（1） xi 7.1 6.5 5.95 67.75 ，n=10標(biāo)準(zhǔn)誤 Sx0.60940i110xi2 7.12i16.525.952462.351n67 .75樣本均值 xxi6.775ni11021方差 Sn1( xi 22 nx )1(462.3510 6.7752 ) 0.371n1 i 19標(biāo)準(zhǔn)差 S S2 = 0.371 0.6090.193變異系

11、數(shù) CV= S 100%= 0.609 100%=8.99% ；|x | 6.775（2 ）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值公式為xi x xi 6.775 uii S 0.609對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值為0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355n (xi x)3(n 1)(n 2)S3=0.2043. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分組數(shù)據(jù)如下表所示按月人均支出分組（元）200 以下家庭戶數(shù)占總戶數(shù)的比例（ % ）1.520018.250046.8800 1000 以上25.38.2合計(jì)100試計(jì)算（ 1 ）該市平均每戶月人均支出的

12、均值和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）并指出其月人均支出的中位數(shù)與眾數(shù)所在組。解：（1）由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分組（元）組中值比例（ % ）200 以下1001.5200 35018.2500 65046.8800 90025.31000 以上11008.2精品文檔則x15mini1fi1(100100 1.5 35018.21100 8.2) 687 .321522S2(mi finx2)n 1 i11(10021.52350 2 18.221100 228.2 5 687.32)99 52468 .39SS252468.39 229.06 ；2) 由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分組（元）比例（ % ）累積比例（ %

13、 ）200 以下1.51.5200 18.219.7500 46.866.5800 25.391.81000 以上8.2100中位數(shù)所在組，即累積比例超過 50 的那個(gè)最低組，即為 500 組眾數(shù)所在組是頻數(shù)即比例最大的組，也是 500 組4設(shè) x1, x2, ，xn和 y1, y2, ，yn為兩組樣本觀察值，它們有下列關(guān)系：yixi abi=1,2, ,n可編輯其中 a、b 為常數(shù)且 b 0，求樣本均值 x 與 y及樣本方差 Sx2和Sy2之間的關(guān)系解： yyii1ni1xib1b(1ni1xin1(yii1y)n1i1n1i1naxab2 n 1i 1(xix)2b2 Sx 。五、思考與練

14、習(xí)（一）填充題1 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以分為數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)、據(jù)等三類，其中 數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)屬于定性數(shù)據(jù)。2 常用于表示定性數(shù)據(jù)整理結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖有、 ；而 、 、 、 等是專用于表示定量數(shù)據(jù) 的特征和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)圖。3. 用于數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)計(jì)分析的常用統(tǒng)計(jì)軟件有 等。4. 描述數(shù)據(jù)集中趨勢的常用測度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述數(shù)據(jù)離散程度的常用測度值主要 有 、 、 、 等，其中最重要的二）選擇題1. 各樣本觀察值均加同一常數(shù) c 后 （）A樣本均值不變，樣本標(biāo)準(zhǔn)差改變B 樣本均值改變，樣本標(biāo)準(zhǔn)差不變C 兩者均不變D. 兩者均改變2 關(guān)于樣本標(biāo)準(zhǔn)差，以下哪項(xiàng)是錯(cuò)誤的（ ）。A反映樣本觀

15、察值的離散程度B 度量了數(shù)據(jù)偏離樣本均值的大小C 反映了均值代表性的好壞D 不會(huì)小于樣本均值3 比較腰圍和體重兩組數(shù)據(jù)變異度大小宜采用（ ）A變異系數(shù)（ CV ）C極差（ R）B 方差（ S2）D 標(biāo)準(zhǔn)差（ S ）三）計(jì)算題1. 在某次實(shí)驗(yàn)中，用洋地黃溶液分別注入 10 只家鴿內(nèi)，直至動(dòng)物死亡。將致死 量折算至原來洋地黃葉粉的重量。其數(shù)據(jù)記錄為（單位： mg/kg ）97.3 ，91.3 ， 102 ，129 ，92.8 ，98.4 ，96.3 ，99.0 ，89.2 ，90.1 試計(jì)算該組數(shù)據(jù)的樣本均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)。六、思考與練習(xí)參考答案（一）填充題1. 定類，定序，數(shù)值

16、，定類，定序2. 條形圖、圓形圖；直方圖、頻數(shù)折線圖、 莖葉圖、箱形圖3. SAS 、SPSS 、Excel4. 均值、眾數(shù)、中位數(shù)，均值，極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn) 差（二）選擇題1. B ； 2.D ；3.A（三）計(jì)算題1均值 98.54 、方差 132.27 、標(biāo)準(zhǔn)差 11.501 、標(biāo)準(zhǔn)誤 3.637 、變異系數(shù) 11.67%精品文檔第二章 隨機(jī)事件與概率、學(xué)習(xí)目的和要求1. 掌握事件等的基本概念及運(yùn)算關(guān)系；2. 熟練掌握古典概率及計(jì)算；3. 理解統(tǒng)計(jì)概率、主觀概率和概率的公理化定義；4. 熟練掌握 概率 的加法公式、乘法公式及計(jì)算；5. 理解并掌握條件概率與事件獨(dú)立性的

17、概念并進(jìn)行計(jì)算；6. 掌握并應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算。、內(nèi)容提要一）基本概念概念符號(hào)概率論的定義集合論的含義隨機(jī)試驗(yàn)（試驗(yàn)）E具有以下特征的觀測或試驗(yàn)：1 試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)地進(jìn)行2 試驗(yàn)的所有結(jié)果事先已知， 且不止一個(gè)3 每次試驗(yàn)恰好出現(xiàn)其中之一， 但試驗(yàn)前 無法預(yù)知到底出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。樣本空間試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合，即所有基全集本事件的全體基本事件（樣本點(diǎn)）試驗(yàn)的每個(gè)不可再分的可能結(jié)果，即樣本空間的元素元素隨機(jī)事件（事件）A試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果，是由基本事件組成的樣本空間的子集子集必然事件在試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件全集不可能事件在試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，不含任何

18、基本事件空集二）事件間的關(guān)系關(guān)系符號(hào)概率論的定義集合論的含義包含AB事件 A 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 的發(fā)生A是B 的子集相等A=BA B 而且 B AA與B 相等和（并）A+B(AB)事件 A 與 B 中至少有一個(gè)事件發(fā)生A與B 的并積（交）AB(AB)事件 A 與 B 同時(shí)發(fā)生A與B 的交差A(yù)B事件 A 發(fā)生同時(shí) B 不發(fā)生A與B 的差互不相容AB=事件 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生A與B 不相交對(duì)立A事件 A 不發(fā)生A 的補(bǔ)集 （余集 ）三）事件的運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算律公式交換律A+B =B+A ， AB = BA結(jié)合律(A+B )+C=A+(B+C )，(AB)C=A(BC)分配律(A+B )C

19、=AC+ BC， A+(BC )=( A+B )(A+C )差積轉(zhuǎn)換律A B AB A AB對(duì)立律A A= ，A+ A=德·摩根對(duì)偶律A B AB ， AB A B四) 概率的定義類型定義公式古典概率P(A)= m A所含的基本事件數(shù)P(A)= n基本事件總數(shù)統(tǒng)計(jì)概率P(A) = p ( f n A nA )n公理化定義(基本性質(zhì) )對(duì)樣本空間中任意事件 A 對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，滿足公理 1(非負(fù)性)：0 P(A)1公理 2(規(guī)范性)：P( )1 ， P( )0公理 3(可加性)：若 A1,A2, A,n,兩兩互不相容，P(A1+A2+An+ )= P(A1)+ P(A2)+

20、+ P(An)+ 則稱 P(A)為隨機(jī)事件 A 的概率。五) 概率的計(jì)算公式名稱計(jì)算公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)若 A、B 互不相容( AB= )：P(A+B)=P(A)+P(B)對(duì)立事件公式P(A)=1P(A)；P(A ) =1P(A)事件之差公式P(AB)= P(A)P(AB)若 B A, P(A B)= P(A) P(B)條件概率公式P(B| A) P(AB), (P(A)>0) P(A)乘法公式若 P(A)>0, P(AB)=P(A)P(B| A) 若 P(B )>0, P(AB)=P(B)P(A|B )當(dāng) P(A1A2An-1 )>0

21、 時(shí)，有P(A1A2An )=P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An| A1A2 An-1 )獨(dú)立事件公式A、B 相互獨(dú)立： P(AB)=P(A)P(B)A1, A2, , An 相 互 獨(dú) 立 ： P(A1A2 An)= P(A1)P(A2) P(An)全概率公式若 A1, A2, , An 為完備事件組 *，對(duì)事件 B nP BP(Ai)P(B| Ai )i1逆概率公式（貝葉斯公式）若A1, A2, , An為完備事件組 *，P(B)>0P(Aj )P(B|Aj)P(Aj |B) n j jP(Ai)P(B| Ai)i1*完備事件組A1, A2, , An 1.

22、 A1, A2, , An互不相容且 P(Ai)>0(i=1, 2, , n)；2. A1+A2+An=三、綜合例題解析例 1 從某魚池中取 100 條魚，做上記號(hào)后再放入該魚池中?，F(xiàn)從該池中任意捉 來 50 條魚，發(fā)現(xiàn)其中有兩條有記號(hào)，問池內(nèi)大約有多少條魚？解 ：設(shè)池內(nèi)大約有 n 條魚，令A(yù)=從池中捉到有記號(hào)魚 則從池中捉到有記號(hào)魚的概率100P(A)=n由統(tǒng)計(jì)概率的定義知，它近似于捉到有記號(hào)魚的頻率 fn (A) = 2 ，即50100 2n 50解之得 n =2500 ，故池內(nèi)大約有 2500 條魚。例 2 口袋里有兩個(gè)伍分、三個(gè)貳分和五個(gè)壹分的硬幣，從中任取五個(gè)，求總值超過一角的

23、概率。解一： 令 A=總值超過一角 ，現(xiàn)將從 10 個(gè)硬幣中任取 5 個(gè)的每種取法作為每個(gè) 基本事件，顯然本例屬于古典概型問題，可利用組合數(shù)來解決。所取 5 個(gè)硬幣總值超 過一角的情形，其幣值由大到小可根據(jù)其中有 2 個(gè)伍分、有 1 個(gè)伍分和沒有伍分來考慮。則P(A)2 3 1 2 2 1 3 2C2C8 C2C3 C5 C2C3C5C150126=0.5252解二 ：本例也可以先計(jì)算其對(duì)立事件A= 總值不超過一角 考察 5 個(gè)硬幣總值不超過一角的情形，其幣值由小到大先根據(jù)壹分硬幣、貳分硬 幣的不同個(gè)數(shù)來計(jì)算其有利情形的組合數(shù)。則C55 C54C15 C53(C32 C31C 12 ) C52

24、C33126P(A) 1 P(A) 1 5 5 5 5 53 3 2 5 3 1 =0.5C10252或 P(A) 1 P(A) 1 C8 C(2 C55 C3C5) 1 126 =0.5C150252例3 將 n個(gè)人等可能地分配到 N(nN)間房中去，試求下列事件的概率：(1 )A=某指定的 n 間房中各有一人 ；(2 )B=恰有 n 間房，其中各有一人 ；（3）C=某指定的房中恰有 m （mn）個(gè)人。解： 把 n 個(gè)人等可能地分配到 N 間房中去，由于并沒有限定每一間房中的人數(shù)， 故是一可重復(fù)的排列問題，這樣的分法共有 Nn 種。（1 ）對(duì)事件 A ，對(duì)指定的 n 間房，第一個(gè)人可分配到該

25、 n 間房的任一間，有 n 種分法；第二個(gè)人可分配到余下的 n1 間房中的任一間，有n1 種分法，以此類推， 得到 A 共含有 n !個(gè)基本事件，故P(A)n!2 ）對(duì)事件 B ，因?yàn)?n 間房沒有指定，所以可先在 N 間房中任意選出 n 間房（共可編輯有 CNn 種選法），然后對(duì)于選出的某 n 間房，按照上面的分析，可知 B 共含有 CNn · n ！ 個(gè)基本事件，從而P(B) CNN nn!3 ）對(duì)于事件 C，由于 m 個(gè)人可從n 個(gè)人中任意選出，故有 Cnm 種選法，而其余n m 個(gè)人可任意地分配到其余的 N 1間房中，共有 （N1）n-m種分配法，故 C 中共含有 Cnm&#

26、183;（N1）n-m 個(gè)基本事件，因此P(C)Cnm( N 1) nNnmCnm(N1)m(1 N1)n m注意：可歸入上述“分房問題”來處理的古典概型的實(shí)際問題非常多，例如：1）生日問題： n 個(gè)人的生日的可能情形，這時(shí) N=365 天（n365 ）；2 ）乘客下車問題：一客車上有 n 名乘客，它在 N 個(gè)站上都停，乘客下車的各種可能情形；3 ）印刷錯(cuò)誤問題： n 個(gè)印刷錯(cuò)誤在一本有 N 頁的書中的一切可能的分布（ n 不超過每一頁的字符數(shù)） ；(4 )放球問題：將 n 個(gè)球放入 N 個(gè)盒子的可能情形。 值得注意的是，在處理這類問題時(shí)，要分清什么是“人” ，什么是“房” ，一般不 能顛倒。

27、例 4(1994 年考研題)設(shè) A，B 為兩事件，且 P(A)=p，P(AB)=P(AB)，求 P(B)。 解：由于P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB),現(xiàn)因?yàn)?P(AB )= P(AB)，則P( AB) 1 P(A) P(B) P(AB)又 P(A)=p ，故P(B) 1 P(A) 1 p 。 注意：事件運(yùn)算的德·摩根律及對(duì)立事件公式的恰當(dāng)應(yīng)用。例 5 設(shè)某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一何流泛濫時(shí)，該地區(qū)即被淹沒。 已知某時(shí)期河流甲、乙泛濫的概率分別為 0.2 和 0.3 ，又當(dāng)河流甲泛濫時(shí)，“引起”河 流乙泛濫的概率為 0.

28、4 ，求(1) 當(dāng)河流乙泛濫時(shí)，“引起”河流甲泛濫的概率；(2) 該時(shí)期內(nèi)該地區(qū)被淹沒的概率。解：令 A=河流甲泛濫 ，B =河流乙泛濫 由題意知P(A)=0.2 ，P(B)=0.3 ，P(B | A)=0.4再由乘法公式P(AB)=P(A)P(B | A)=0.2 ×0.4=0.08 ，則( 1 )所求概率為P( AB) 0.08P(A |B) 0.267P( B)0.32 )所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =0.2+0.3 0.08=0.42 。例 6 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件 A 和 B 都不發(fā)生的概率為 1/9 ， A 發(fā)生 B 不發(fā)生 的概率與 B 發(fā)生

29、A 不發(fā)生的概率相等，求 P(A)。解： 由題設(shè)可知因?yàn)?A 和 B 相互獨(dú)立，則P(AB) = P(A)P(B)，再由題設(shè)可知1P(AB) P(A)P(B) 9 ，P(AB) P(AB)又因?yàn)镻(AB) P(AB)，即P(AB) = P(BA)，由事件之差公式得P(A) P(AB) P(B) P(AB)則有 P(A) = P(B)，從而有P(A) P(B)故有2 1 1(P(A)即 P(A) 1 P(A) 。 例 7( 1988 年考研題) 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假設(shè)各箱含 0， 1， 2 只 殘次品的概率相應(yīng)為 0，0.8，0.1 和 0.1 ，一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售

30、貨 員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地查看 4 只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則 9, P(A) 3退回。試求1）顧客買下該箱的概率；2）在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率解：由于玻璃杯箱總共有三類，分別含 0， 1， 2 只殘次品。而售貨員取的那一箱可以是這三類中的任一箱，顧客是在售貨員取的一箱中檢查的，顧客是否買下這一箱 是與售貨員取的是哪一類的箱子有關(guān)系的，這類問題的概率計(jì)算一般可用全概率公式解決，第二問是貝葉斯公式也即條件概率問題。首先令A(yù)=顧客買下所查看一箱 ；B =售貨員取的箱中恰好有 i 件殘次品 ，i=0，1，2。顯然，B0，B1，B2 構(gòu)成一組完備事件組。且P(B0)

31、 0.8, P( B1) 0.1,P(B2) 0.1,4,P(AB2)5P(AB0 ) 1,P(AB1) C149C204C148 12C240 191）由全概率公式，有2P(A)P(Bi)P(ABi) 0.8 1 0.1i00.112 0.94192）由逆概率公式，得P(B0 A) P(B0)P(AB0)P(A)0.80.940.85注意 ：本題是典型的全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用。例 8 （小概率事件原理）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中某事件 A 發(fā)生的概率為 ，試證明，不論 >0如何小，只要不斷獨(dú)立重復(fù)地做此試驗(yàn)，事件 A 遲早會(huì)發(fā)生的概率為 1 。證：令A(yù)i=第 i 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生, i

32、=1,2,3, 由題意知，事件 A1, A2, ,An, 相互獨(dú)立且P(Ai)= ，i=1,2,3,則在 n 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率P( A1 A2An )=1 P( A1A2 An)n=1 P(A1)P(A2) P(An) 1 (1 )n當(dāng) n+, 即為事件 A 遲早會(huì)發(fā)生的概率P( A1 A2An)= lim 1 (1 )n =1 。四、習(xí)題二解答 1考察隨機(jī)試驗(yàn)：“擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)” 。如果設(shè) i= 擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 i , i=1,2, ,6試用 i 來表示該試驗(yàn)的基本事件、樣本空間和事件 A =出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) 和事件 B=點(diǎn)數(shù) 至少是 4 。解：基本事件： 0

33、，1，2，3，4， 5， 6。樣本空間 = 0 ，1，2，3，4，5，6。事件 A=1 ，3，5；B=4 ，5，6。2用事件 A、B 、C 表示下列各事件：(1) A 出現(xiàn)，但 B、C 不出現(xiàn)；(2 )A、B 出現(xiàn)，但 C 不出現(xiàn)；(3) 三個(gè)都出現(xiàn)；(4) 三個(gè)中至少有一個(gè)出現(xiàn)；(5) 三個(gè)中至少有兩個(gè)出現(xiàn)；(6) 三個(gè)都不出現(xiàn)；(7) 只有一個(gè)出現(xiàn)；(8) 不多于一個(gè)出現(xiàn)；（ 9 ）不多于兩個(gè)出現(xiàn)。解：（1） ABC （2） ABC （3） ABC（4）ABC A BC A BC ABC ABC ABC ABC 或 A+B+C 或A BC（5）ABC AB C ABC ABC（ 6 ） A

34、BC 或 （A+B+C）或 A B C（ 7 ） ABC + ABC + ABC（ 8 ） ABC + ABC + ABC + ABC（9）ABC ABC A BC ABC ABC ABC ABC 或 ABC 或 ABC3從 52 張撲克牌中，任取 4 張，求這四張花色不同的概率。解：現(xiàn)將從 52 張撲克牌中任取 4 張的每種取法作為每個(gè)基本事件，其結(jié)果與順 序無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題。m C13 C13C13 C1313P 4 0.1055 。nC54252 51 50 49/ 4!4在一本標(biāo)準(zhǔn)英語詞典中共有 55 個(gè)由兩個(gè)不同字母組成的單詞， 現(xiàn)從 26 個(gè)英 文字母中任取兩

35、個(gè)字母排成一個(gè)字母對(duì)，求它恰是上述字典中單詞的概率。解：現(xiàn)將從 26 個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母件的每種取法作為每個(gè)基本事件，其 結(jié)果與順序有關(guān)，故可用排列數(shù)來解決該古典概型問題。m 55 n A2265526 250.0846 。5某產(chǎn)品共 20 件，其中有 4 件次品。從中任取 3 件，求下列事件的概率。（ 1 ）3 件中恰有 2 件次品；（ 2 ） 3 件中至少有 1 件次品；（ 3） 3 件全是次品；（4 ） 3 件全 是正品。解：現(xiàn)將從 20 件產(chǎn)品中任取 3 件的每種取法作為每個(gè)基本事件，其結(jié)果與順序（1）P(A)m n21C4C1160.0842 ；C3C20（2）P(B)1P(B

36、)mC1361 1136nC230或 P(B) m12C14C126C 2C1C 3C0C4C16C4C163nC20（3）P(C)mC4330.0035；nC230（4）P(D)mC13630.4912。nC2306房間里有10個(gè)人，分別佩戴著 1記錄其紀(jì)念章號(hào)碼，試求： （1 ）最小號(hào)碼為無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題1 0.4912 0.50880.5088 ；10 號(hào)的紀(jì)念章，現(xiàn)等可能地任選三人，5 的概率；（2 ）最大號(hào)碼為 5 的概率P(B)C11C3101200.05。解：設(shè) A=任選三人中最小號(hào)碼為 5， B =任選三人中最大號(hào)碼為 51 ）對(duì)事件 A，所選的三人只能從

37、 510 中選取，而且 5 號(hào)必定被選中12m C11C52 1P（A）1 3 50.0833 ；n C130 127 某大學(xué)學(xué)生中近視眼學(xué)生占 22% ，色盲學(xué)生占 2% ，其中既是近視眼又是色 盲的學(xué)生占 1% ?，F(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽查一人，試求： （1）被抽查的學(xué)生是近視眼 或色盲的概率；（2 ）被抽查的學(xué)生既非近視眼又非色盲的概率。解 ：設(shè)A=被抽查者是近視眼 ，B=被抽查者是色盲 ；由題意知， P（A）=0.22 ，P（B ）= 0.02 ，P（AB ）= 0.01 ，則1) 利用加法公式，所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.22+0.02 0.01=0.23

38、；( 2 )所求概率為P( AB )=P(A B)=1P(A+B)=10.23 =0.77 。注意：上述計(jì)算利用了德·摩根對(duì)偶律、對(duì)立事件公式和(1 )的結(jié)果。8設(shè) P(A)=0.5 ，P(B )=0.3 且 P(AB )=0.l 。求：(1)P(A+B)；(2)P(A +B)。 解：(1)P(A+B )=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.3 0.1=0.7 ；(2) P(A+B)= P(A)+P(B)P(AB)=1P(A)+P(B)P(BA)=1P(A) +P(B)P(B) P(AB )= 1 P(A) + P(AB)=1 0.5+0.1=0.6 。 注意：上述計(jì)算利用了加

39、法公式、差積轉(zhuǎn)換律、對(duì)立事件公式和事件之差公式。 9假設(shè)接受一批藥品時(shí)，檢驗(yàn)其中一半，若不合格品不超過2 ，則接收，否則拒收。假設(shè)該批藥品共 100 件，其中有 5 件不合格，試求 該批藥品被接收 的概率。 解：設(shè) A=50 件抽檢藥品中不合格品不超過 1 件 ，據(jù)題意，僅當(dāng)事件 A 發(fā)生時(shí)，該批藥品才被接收，故所求概率為50 1 49m C95 C5C95P(A) 95 505 95 0.1811。nC10010 設(shè) A,B 為任意兩個(gè)事件，且 P(A)>0，P(B)>0 。證明：(1) 若 A與 B 互不相容，則 A 和 B 不獨(dú)立；(2) 若 P(B|A )=P(B| A)，

40、則 A 和 B 相互獨(dú)立。證明：(1)用反證法。假定 A和 B 獨(dú)立，因?yàn)橐阎?A 與 B 互不相容，則AB= ，P(AB )= P( )=0故 P(A) P(B)= P(AB)=0但由已知條件 P(A)>0，P(B)>0 得 P(A) P(B )>0 ，由此導(dǎo)出矛盾，所以若 A 與 B 互不相容，則 A和B 不獨(dú)立2) 由已知 P(B|A )=P(B| A)，又P(B |A)P(AB)P(A)P(B| A)P(AB)P(A)P(AB) P(AB)P(A) P(A)P(B A) P(B) P(AB)1 P(A) 1 P(A)即P(AB)1P(A) = P(A)P(B)P(AB

41、)P(AB)P(AB)P(A)= P(A)P(B)P(A)P(AB)P(AB) = P(A)P(B)這即 A 和 B 相互獨(dú)立2）又證：由已知P(B|A )=P(B| A) P(AB) P(B A) P(B) P(AB)P(A) 1 P(A) 1 P(A)P(B| A)1P(A) = P(B)P(AB )P(B| A)P(B| A)P(A) = P(B)P(AB)P(B|A)P(AB) = P(B)P(AB)P(B| A) = P(B)這即 A 和 B 相互獨(dú)立11 已知 P(A)=0.1 ，P(B)=0.3 ，P(A | B)=0.2 ，求：(1)P(AB)；(2)P(AB)；3) P(B|

42、 A)；(4)P( AB )；(5)P( A | B )。解：(1)P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3 × 0.2=0.062)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.1+0.3 0.06=0.34 ；3)P(B| A)P(AB)P(A)0.060.10.6；4) P(AB)=P(AB)=P(A)P(AB)=0.1 0.06=0.04 ；(5) P(A|B) P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.34 0.9429 。P(B) 1 P(B) 1 P(B) 1 0.312 某種動(dòng)物活到 12 歲的概率為 0.8 ，活到 20 歲的概率為 0.4 ，問

43、現(xiàn)年 12 歲 的這種動(dòng)物活到 20 歲的概率為多少？解：設(shè) A=該動(dòng)物活到 12 歲，B=該動(dòng)物活到 20 歲；由題意知P(A)=0.8 ， P(B )=0.4顯然該動(dòng)物“活到 20 歲”一定要先“活到 12 歲”，即有B A，且 AB=B，則所求概率是條件概率P(B |A) P(AB) P(B) 0.4 0.5。P(A) P(A) 0.813 甲、乙、丙三人各自獨(dú)立地去破譯一密碼，他們能譯出該密碼的概率分別是1/5 ，2/3 ，1/4 ，求該密碼被破譯的概率。解：設(shè) A=甲譯出該密碼 ，B=乙譯出該密碼 ，C=丙譯出該密碼 . 由題意知， A，B，C 相互獨(dú)立，而且P(A)=1/5 ，P(

44、B)=2/3 ，P(C)=1/4則密碼被破譯的概率為413P(A+B +C)=1 P( A BC ) =1 P(A)P(B)P(C)=1=0.8534或 P(A+B+C )=P(A)+P(B)+ P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC )=P(A)+P(B)+ P(C)P(A) P(B)P(A) P(C)P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C)1211211211214=0.8 。5 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 514 有甲乙兩批種籽， 發(fā)芽率分別為 0.8 和0.7 ，在兩批種籽中各任意抽取一粒， 求下列事件的概率：(1)兩粒種籽都能發(fā)芽；(2)至少有

45、一粒種籽能發(fā)芽； (3)恰好 有一粒種籽能發(fā)芽。解 ：設(shè)A=甲種籽能發(fā)芽 , B =乙種籽能發(fā)芽 則由題意知， A 與 B 相互獨(dú)立，且有P(A)=0.8 ，P(B )=0.7 ，則所求概率為(1) P(AB)=P(A)P(B)=0.8 ×0.7=0.56 ；(2) P(A+B ) =1P(A B)=1P(AB )=1 P( A)P(B ) =1 0.2 ×0.3=0.96 ；(3) P(AB AB)=P(A)P(B) P(A)P(B)=0.8 ×0.3+0.2 ×0.7=0.38 。15 設(shè)甲、乙兩城的通訊線路間有 n 個(gè)相互獨(dú)立的中繼站，每個(gè)中繼站中

46、斷的 概率均為 p ，試求：(1)甲、乙兩城間通訊中斷的概率； (2 )若已知 p=0.005 ，問在 甲、乙兩城間至多只能設(shè)多少個(gè)中繼站，才能保證兩地間通訊不中斷的概率不小于 0.95 ？解：設(shè) Ak=第 k 個(gè)中繼站通訊中斷 , k =1,2, ,n，則 A1, A2, , An 相互獨(dú)立， 而且有 P(Ak)=p, k =1,2, ,n。( 1 )所求概率為P(A1+ A2+ An)=1P(A1 A2An )=1 P( A1A2 An)=1P(A1)P(A2) P(An)=1(P(A1)n 1(1p)n；( 2 )設(shè)甲、乙兩城間至多只能設(shè) n 個(gè)中繼站，由題意，應(yīng)滿足P( A1 A2 A

47、n)=(1p)n0.95 ，即(10.005) n 0.950.995 n 0.95n log 0.995 0.95=ln0.95/ln0.995=10.233故 n =10 ，即甲、乙兩城間至多只能設(shè) 10 個(gè)中繼站。16 在一定條件下，每發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率是 0.6 ，現(xiàn)有若干門這樣的 炮獨(dú)立地同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈， 問欲以 99% 的把握擊中飛機(jī)， 至少需要配置多少門這樣 的炮？解：設(shè)至少需要配置 n 門炮。再設(shè)Ak=第 k 門炮擊中飛機(jī) , k =1,2, ,n，則 A1, A2, , An 相互獨(dú)立，而且有P(Ak)=0.6, k =1,2, ,n 。由題意，應(yīng)有P(A1+ A2

48、+ An)= 1 P( A1A2 An )=1 P(A1)P(A2) P(An) =1 (P(A1)n 10.4 n0.99即0.4 n 0.01 ，則有n log 0.4 0.01=ln0.01/ln0.4=5.026故 n=6 ，因此至少需要配置 6 門炮。17 甲袋中有 3只白球， 7只紅球， 15 只黑球；乙袋中 10 只白球，6 只紅球， 9 只黑球?，F(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。解：設(shè)以 A1、A2、A3 分別表示從甲袋中任取一球?yàn)榘浊颉⒓t球、黑球；以 B1、B2、B3 分別表示從乙袋中任取一球?yàn)榘浊颉⒓t球、黑球。 則所求兩球顏色相同的概率為P(A1B1+ A2B2+

49、A3 B3)= P(A1)P(B1)+ P( A2)P(B2)+ P(A3)P( B3)3 10 7 6 15 9 20725 25 25 25 25 25 6250.3312。65% 、35% ，且甲、乙兩18 在某地供應(yīng)的某藥品中，甲、乙兩廠的藥品各占 廠的該藥品合格率分別為 90% 、80% ，現(xiàn)用 A1、A2分別表示甲、乙兩廠的藥品， B 表示合格品，試求： P(A1)、P(A2)、P(B| A1)、P(B|A 2)、P(A1B)和 P(B)。 解：由題中已知條件可得P(A1)=0.65 ，P(A2)=0.35 ，P(B| A1)=0.9 ，P(B|A 2)=0.8 ，P(A1B)=

50、P(A1 )P(B | A1)= 0.65 × 0.9=0.585 ，P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.65 × 0.9+0.35 × 0.8=0.865 。19 某地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，其所轄的三個(gè)小區(qū)A1，A2，A3 的人口比例為9 7 4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在這三個(gè)小區(qū)的發(fā)病率依次為 4， 2， 5，求 該地甲種疾病的發(fā)病率。解：設(shè)以 A1、A2、A3表示病人分別來自小區(qū) A1、A2、A3，以B 表示患甲種疾病。 則由題意知974P(A1)= 9 ，P(A2)= 7 ，P(A3)= 4 ，20 20 20P(B| A1)=0.004 ，P(B|A 2)=0.002 ，P(B|A 3)=0.005 ， 則該地甲種疾病的發(fā)病概率為P(B)= P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) 974= 0.004 0.002 0.005 0.0035=3.5 。20 20 2020 若某地成年人中肥胖者 (A1)占有 10 ，中等者(A 2)占 82 ，瘦小者(A3) 占 8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為 20 ，10 ，5。(1) 求該地成年人患高血壓的概率； ( 2 )若知某人患高血壓病，他最可能屬于哪種體型？解