數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法在管理決策運(yùn)用中的實(shí)際案例分析

1、決策理論與方法課程報(bào)告數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法在管理決策運(yùn)用中的實(shí)際案例分析目錄第一章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析簡介第二章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法模型2.1 基礎(chǔ)知識2.2 C2R模型22.3 模型求解方法4第三章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法案例53.1 工程建設(shè)項(xiàng)目評標(biāo)方法63.2 環(huán)保項(xiàng)目評價(jià)733科研評價(jià)8第四章總結(jié)104.1 DEA方法的優(yōu)點(diǎn)104.2 DEA方法的缺陷12參考文獻(xiàn)12第一章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析簡介數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentAnalysis）.簡稱DEA,是由美國著名運(yùn)籌學(xué)家A.Chames等人于1978年首先提出的。是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型評價(jià)具有多個輸入、多個輸出的。部門”或“單位”（稱為決策單元，簡記DMU

2、）間的相對有效性（稱為DEA有效）的一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法。數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)是這一學(xué)科形成的柱石，優(yōu)化是其研究的主要方法，而DEA的廣泛應(yīng)用是它能得以迅速發(fā)展的動力。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績效相對有效性的特殊工具方法，常被用來衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營單位的相對效率。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多

3、項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。如運(yùn)營單位有多種投入要素（員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時間和廣告投入），同時也有多種產(chǎn)出要素（利潤、市場份額和成長率）。在這些情況下，很難讓管理者知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運(yùn)營單位效率高，哪個單位效率低。DEA方法在處理多輸入，特別是多輸出問題能力上具有絕對優(yōu)勢。第二章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法模型2.1 基礎(chǔ)知識（1）決策單元（DMU）：我們把具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進(jìn)行評價(jià)，這些部門、企業(yè)或時期稱為。評價(jià)的依據(jù)是決策單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。（2）投入指標(biāo)：指決策單元在經(jīng)濟(jì)和管理活動中需要耗費(fèi)

4、的經(jīng)濟(jì)量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。（3）產(chǎn)出指標(biāo)：指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟(jì)活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。（4）指標(biāo)數(shù)據(jù)：指實(shí)際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評價(jià)決策單元的相對效率，即評價(jià)部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。2.2 C?R模型設(shè)有n個部門（企業(yè)），稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示。這樣，由n個決策單元構(gòu)成的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評價(jià)系統(tǒng)，可以做如下表示：設(shè)：n個決策單元（口上=123.】），每個決策

5、單元有相同的p項(xiàng)投入（輸入）Q=12,p）,每個決策單元有相同的q項(xiàng)產(chǎn)出（輸出）（r=l,2,，q）oX1J第j決策單元的第i項(xiàng)投入%第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出Q)%及+%風(fēng)vilxlk+-+vprkpki-1即：效率指標(biāo)14等于產(chǎn)出加權(quán)之和除以投入加權(quán)之和，表示第k個決策單元多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟(jì)效率?？梢赃m當(dāng)?shù)剡x擇權(quán)系數(shù)u、v,使得hk<lD建立評價(jià)第ko個決策單元相對有效性的C?R模型。設(shè)第t個決策單元的投入向量和產(chǎn)出向量分別為：%=（。，也，一，、尸，*二（加，以廣，加）丁效率指標(biāo)1七=限0,在效率評價(jià)指標(biāo)AWl（k=l,2,n）的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權(quán)系數(shù)U和V,

6、使得加達(dá)到最大值，構(gòu)造優(yōu)化模型（分式規(guī)劃）%，Y>0,j=l,2,.,q;i=l,2,.,p上述模型中xgy#為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到），*刈為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)嶼為變量，以如所有決策單元的效率指標(biāo)為約束，以第ko個決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評價(jià)第ko個決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。記4=（%,j,xj,x=（%,七,yj，則有矩陣形式（P）Maxl=也(3)VT-XnIT1.VtWl,(k=l,2,.”n)s.t.<V-XkU,VN0作ChamesCooper變換，轉(zhuǎn)化為一個等價(jià)的線性規(guī)劃模型。1VXo,tv=公tU=/z故將模

7、型轉(zhuǎn)化為maxhj0-/zTyos.t.wTxj-y>0J=1,2,.nS.t.<WTXq=1w>0,/>0其對偶問題為寫成向量形式Max。.nns.tJZ%yjs+=yoJ=1一十s2°，s»°，4泠°，6無約束2.3模型求解方法在評價(jià)決策單元是否為DEA有效時，如果利用原線性規(guī)劃問題:maxh=/zTJ。/zTy-，Xj<ost，=1j=l,2,.,n69>0,/>00.0需要判斷是否存在最優(yōu)解3*,滿足：d>0,4°>0,11=/°%=1利用對偶線性規(guī)劃niin0Zx/j+s

8、ie%j=l?X4-s+=xj=ix.>0,S-,S+>0需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足：與一=。，5+=。4=1無論是對于線性規(guī)劃還是對于對偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes和Co叩er引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。Chames通過引入具有非阿基米德無窮小Me,從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計(jì)算和技術(shù)上的困難,建立了具有非阿基米譙無窮小量都兀、模型。令£是非阿基米德無窮小量，它是一個小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。S§+OS-夕先myJ-1=+=O.曾一

9、同同O6nXy>->-mis.t.nEmnsJ=l4s+尸一最優(yōu)解為明職s0*,s°-注：對于VaO及VNAO,都彳N*£Ya,則曲口為非阿基米德無窮小量設(shè)模型(D)的最優(yōu)解為為°、如、s°6°,分三種情況進(jìn)一步討論：。°=1,且s°=0、s0+=O:決策單元ko為DEA有效。其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元ko的生產(chǎn)活動(Xo,Yo)同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。所謂技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動(Xo,Yo),從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用，投入要素達(dá)到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價(jià)指標(biāo)1io=Vp=Vd=00=

10、1o。°=1,但至少有某個&°一>0或者至少有某個學(xué)°+>0：決策單元"為弱DEA有效。其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元ko不是同時技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。若某個小>0,表示第i種投入指標(biāo)有小沒有充分利用：若某個鳥°+>0,表示第j種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有靖+的不足。0°V1：決策單元區(qū)不是DEA有效。其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元ko的生產(chǎn)活動(Xo,Yo)既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模收益最佳。第三章數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法案例53.1 工程建設(shè)項(xiàng)目評標(biāo)方法山假定一待建工程項(xiàng)目，對應(yīng)的技術(shù)、經(jīng)濟(jì)綜合指標(biāo)設(shè)為XI,X2，,Xi

11、n;Y1,Y2,，Ys;其中Xi表示負(fù)向指標(biāo),Yi表示正向指標(biāo)。有n個投標(biāo)商，用xij表示第j個承包商的第i個負(fù)向指標(biāo)值，方表示第j個承包商的第r個正向指標(biāo)值(i=1,2,，m;r=12,sJ=1,2,n),以負(fù)向指標(biāo)做為輸入指標(biāo)，正向指標(biāo)做為輸出指標(biāo)。現(xiàn)有6個承包商進(jìn)行投標(biāo)，其各項(xiàng)指標(biāo)如下：表3.1承包商各項(xiàng)指標(biāo)承包商年生產(chǎn)能力投標(biāo)能)履約保險(xiǎn)系數(shù)凈資產(chǎn)負(fù)債率(%)收益利息率(%)資產(chǎn)利潤率)可獲信貸(力元)運(yùn)營資本收益率(%)11.83.22.543.75.294.3810006908721.62.82.138.34.589.288006702632.86.15.1120.53.054.0

12、420003905442.55.44.0140.72.551.23150030.215132.21.8225.62.029.59600233161.41.91.5214.31.914.3550018.95各指標(biāo)中，凈資產(chǎn)負(fù)債率和收益利息率為負(fù)向指標(biāo)，其余為正向指標(biāo)。DEA評價(jià)結(jié)論與指標(biāo)量綱無關(guān)，不必對上述各指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理?，F(xiàn)以凈資產(chǎn)負(fù)債率XI、收益利息率X2為輸入指標(biāo)，以年生產(chǎn)能力Y1、投標(biāo)能力Y2、履約保險(xiǎn)系數(shù)Y3、資產(chǎn)利潤率Y4、可獲信貸Y5、運(yùn)營資本收益率Y6為輸出指標(biāo),利用I：程建設(shè)項(xiàng)目評標(biāo)模型，由MATLAB6.1軟件中的線性規(guī)劃程序可分別計(jì)算出6個承包商的效率值和優(yōu)先序，結(jié)果

13、于表3.2。表3.2各承包商模型效率值承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6模型效率值1001001001000.852007749排序111103發(fā)現(xiàn)求得的承包商1、2、3、4效率值均為1,無法進(jìn)行排序，故引入一個虛擬決策單元，替代評價(jià)決策單元，令Xj=minxry=maxy.,（i=1,2,.,mr=1,2,3,.,s）;A+i=（%仔,，勺）t，X+i=（%，*，匕）二稱X同和Y»i為輸入、輸出的決策單元，并且作為這n個承包商決策單元的虛擬決策單元，使原來的各個決策單元相對這個決策單元變得非有效，這樣就達(dá)到了進(jìn)一步比較各決策單元差異程度的目的。把虛擬決策單元并入

14、到實(shí)際的n個決策單元中，就可得到基于虛擬決策單元的工程建設(shè)項(xiàng)目評標(biāo)的DEA模型：maxh%=£%1=1"m$Z男飛-2叫工=1,2,n+l;j工jo）1=1r=lm1=1見>0jix>0（i=1,2,，m;r=l,2,.,s）可以驗(yàn)證這一模型（P'）的相關(guān)DEA理論都是成立的于是利用該模型進(jìn)行計(jì)算得到下表表3.3P，模型下各承包商效率計(jì)算承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6P，模型效率值0.87640962606333067860441105000排序1465得到各承包商的優(yōu)劣順序依次為：2,1,4,3,6,5o故應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇承包商2。

15、3.2 環(huán)保項(xiàng)目評價(jià)現(xiàn)有10個環(huán)境保護(hù)項(xiàng)目一一燃燒固體廢棄物發(fā)電的項(xiàng)目，需要對其進(jìn)行有效性的評價(jià)。各項(xiàng)目的設(shè)備、工藝水平相當(dāng)，其他項(xiàng)目指標(biāo)如下表表3.4環(huán)保項(xiàng)目指標(biāo)項(xiàng)目煤炭資金供燃燒的廢輸出電能飛灰利項(xiàng)目18727190404354326113257.66265175項(xiàng)目2549611232174789.7212378.54184502項(xiàng)目385.5018499924935.7013108.85256364項(xiàng)目4969318053169170081606743243237項(xiàng)目59742180741888315416249.79275278項(xiàng)目6651296877368111215472.151

16、73760項(xiàng)目76909115843986694415763.83198696項(xiàng)目8688612314164568.9210492.73208135項(xiàng)目97665104325393473816532.11211251項(xiàng)目1073.2114416357392431123065234746于是將輸入選定為煤炭（XI）、資金（X2）、供燃燒的廢物（X3）,輸出選定為輸出電能（力）、飛灰（丫2）。將每一個項(xiàng)目當(dāng)做一個決策單元，運(yùn)用dR模型計(jì)算出不同環(huán)保項(xiàng)目有效性數(shù)值，如下表表3.5各項(xiàng)目相對效率值項(xiàng)目項(xiàng)目1項(xiàng)目2項(xiàng)目3項(xiàng)目4項(xiàng)目5項(xiàng)目6項(xiàng)目7項(xiàng)目8項(xiàng)目9項(xiàng)目10相對效率值0.7048100000.70

17、46077500.7573100001.00000.85981.00000.8908從上表中，可以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)目2、6、7、9有效性均為L說明這些項(xiàng)目是相對有效率的，而項(xiàng)目1、3、4、5、8、10有效性均小于1,說明是非DEA有效的，需要改進(jìn)或者加強(qiáng)控制。33科研評價(jià)4四家體育科研所在三年期間有不同的資源投入（平均值）和不同的產(chǎn)出（省部級課題、發(fā)表專著、期刊文章和培養(yǎng)研究生人數(shù)）見下表3.6。項(xiàng)目國家體科所北京體科所湖北體科所北京體育大學(xué)體科所投入投入資金（萬元）285216.2327.5721.04高學(xué)歷（人）12.3812.834851541高職稱（人）106764210411040產(chǎn)出課題（篇

18、）4.813463.67332專著（部）4312.71459565期刊文章（篇）253014.801750160培養(yǎng)學(xué)生（人）4102.702.30840模型變量:A,B,C,D分別為各科研所的權(quán)重;E為待定的比例系數(shù)，求Min:E約束條件之一:產(chǎn)出約束，組合體科所產(chǎn)出N待評價(jià)體科所的產(chǎn)出4.81A+3.46B+3.67C+3.32D>3.464.31A+2.71B+4.59C+5.65D>2.71253A+14.8B+17.5C+16.0D>14.84.1A+2.7B+2.3C+8.4DN2.7約束條件之二:投入約束，組合體科所投入£待評價(jià)體科所的投入*待定比例系

19、數(shù)28.52A+16.23B+27.57C+21.04D<16.23E12.38A+12.87B+34.85C+15/1DW12.87E10.67A-H5.42B+10.41C+10.4D&6.42E約束條件之三:權(quán)重之和為1A+B+C+D=1A,B,C,D,E>0通過計(jì)算得出結(jié)果如下表3.7、表3.8表3.7北京體科所計(jì)算結(jié)果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資金28.555216.23275721040.00000高學(xué)歷123812.8734.8515410.00000高職稱106764210.4110400.00000產(chǎn)出課題4.81346363323.46000

20、專著4.312.714.59565171000期刊文章253014.80175016014.80培養(yǎng)學(xué)生4102702.308402.70權(quán)重0.001000.000001目標(biāo)函數(shù)1表3.8湖北體科所計(jì)算結(jié)果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資金28,5552162327.5721040003.58高學(xué)歷12.38128734.8515410001744高職稱10.6764210.411040000000產(chǎn)出課題4.8134636332346000專著4312.714595652710.00期刊文章25.30148017.5016.01480016培養(yǎng)學(xué)生4102.702308402703

21、70權(quán)重02120.26000005271目標(biāo)函數(shù)090524從表3.7中可看出目標(biāo)函數(shù)值為1,表明北京體科所位于有效邊界上，其用適量資源投入，獲得較高的產(chǎn)出，工作效率是相對有效的。從表3.8可看出，目標(biāo)函數(shù)小于1,表明湖北體科所不在有效邊界上，是相對非有效的。計(jì)算結(jié)果解釋為:組合體科所由21.2%國家體科所,26%北京體科所及北京體育大學(xué)體科所52.7%構(gòu)成，用了少于90.524%的資源獲得不少于湖北體科所的產(chǎn)出。組合體科所少使用資金3.58萬元,高學(xué)歷17.44人，多產(chǎn)出期刊文章0.16人,培養(yǎng)學(xué)生3.70人。第四章總結(jié)DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍己擴(kuò)展到美國軍用£機(jī)

22、的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面,目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項(xiàng)目評價(jià)）：研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效）.DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評價(jià)。自從數(shù)據(jù)包絡(luò)法提出至今，其應(yīng)用范|制日漸廣泛。例如它被廣泛應(yīng)用于學(xué)校、醫(yī)院、鐵路、銀行等公共服務(wù)部門的運(yùn)行效率的評估實(shí)證研究。DEA作一種新的效率評估方法，與以前的傳統(tǒng)方法相比有很多優(yōu)點(diǎn)。首先，DEA方法可以用于對具有多投入、多產(chǎn)出的多個決策單兀的生產(chǎn)（或經(jīng)營）績效性進(jìn)行評價(jià)，而且應(yīng)用時可以避免像

23、傳統(tǒng)方法那樣因?yàn)楦髦笜?biāo)量綱的不同而尋求權(quán)重因素所帶來的諸多困難，其評價(jià)結(jié)果相對而言比較客觀；其次，DEA模型中投入、產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)重可以建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，然后根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)而產(chǎn)生，而不是事先給定投入與產(chǎn)出的權(quán)重權(quán)重系數(shù)，因此它不受人為主觀因素的影響，可避免在權(quán)重的分配時評價(jià)者的主觀意愿對評價(jià)結(jié)果的造成人為的影響。另外，數(shù)據(jù)包絡(luò)法是一種典型的非參數(shù)估計(jì)方法，應(yīng)用該方法評價(jià)時無須設(shè)定評價(jià)函數(shù)的具體形式，投入產(chǎn)出采用隱函數(shù)的形式表示，不同決策單元的評價(jià)函數(shù)其參數(shù)可以變動，針對各個決策單元都將通過數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的手段給出最優(yōu)的投入產(chǎn)出函數(shù)，從而利用計(jì)算簡化。數(shù)據(jù)包絡(luò)法評價(jià)的是決策單元的相對有效性，其生產(chǎn)前沿面可以看成是最優(yōu)決策單元的投入與產(chǎn)出所組成的一個包絡(luò)面,如果對應(yīng)被評價(jià)的決策單元在該生產(chǎn)前面上，則稱之為DEA有效，否則，稱之為非DEA有效以決策單元（DMU）各輸入輸出的權(quán)重向量為變量，從最有利于決策的角度進(jìn)行評價(jià)，從而避免了人為因素確定各指標(biāo)的權(quán)重而使得研究結(jié)果的客觀性收到影響。這種方法