數(shù)學建模——存儲模型

1、存儲模型摘要本文建立的是在產品需求穩(wěn)定不變，生產準備費和產品貯存費為常數(shù)、生產能力無限的條件下的存貯模型。在不允許缺貨和允許缺貨的這兩種情況下，為了簡化模型的建立，我們采用了連續(xù)的變量來更加合理地來描述問題。模型的求解是一個以每天的平均費用作為目標函數(shù)來求解的優(yōu)化模型。本文主要是通過數(shù)學中的微積分知識，借助Matlab程序實現(xiàn)，來求目標函數(shù)的極值問題，從而求得總費用最小的方案。首先，在模型一中我們提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產品需求穩(wěn)定不變、生產準備費和產品貯存費為常數(shù)、生產能力無限、不允許缺貨以及確定生產周期和產量的情況下，使總費用最小的模型。這個模型中，通過對得到的目標函數(shù)進行

2、分析求解，可以得出經濟訂貨批量公式（EQQ公式），驗證了模型一的準確性。其次，模型二中考慮當缺貨的損失費不超過不允許缺貨導致的準備費和貯存費時，提出了允許缺貨的貯存模型。根據貯存量函數(shù)和周期之間的關系，得到適用于模型二的目標函數(shù)。止匕外，在模型二的求解中，當函數(shù)中的變量都各自趨于某一定值時，可以近似認為不允許缺貨模型是缺貨模型的特例。總而言之，本文中的存貯模型是在總費用中增加購買貨物本身的費用時，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量的優(yōu)化模型，并且證明了在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結果都與原來的一樣，充分考慮了模型的優(yōu)化。關鍵詞：不允許缺貨；允許缺貨；訂貨周期；訂貨批量；matlab程序一、問題

3、重述在我們的周邊有一家配件廠，據我們得知，該廠為裝配線生產若干種部件時因更換要付生產準備費（與生產數(shù)量無關），同一部件的產量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付貯存費?，F(xiàn)已知某一部件的日需求量為100件，生產準備費5000元，貯存費每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，試求在以下兩種情況下來安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（稱為生產周期），每次產量多少，可使總費用最小。（1）不允許出現(xiàn)缺貨（2）允許出現(xiàn)缺貨二、問題分析在第（1）問時，我們不如先來試算一下以下幾種情況的結果：若每天生產一次，每次100件，則我們可知，此時無貯存費，生產準備費5000元，每天費用為5000元；若10天生產一次，

4、每次1000件，則我們可知，此時貯存費為900+800+100=4500元，生產準備費5000元，總計9500元，平均每天費用為950元；若50天生產一次，每次5000件，則我們可知，此時貯存費為4900+4800+100=122500元，生產準備費5000元，總計127500元，平均每天費用為2550元；從以上的計算看，生產周期短、產量少，會使貯存費小，準備費大；而周期長、產量多，會使貯存費大，準備費小。所以必然存在一個最佳的周期，使總費用最小。我們可知，這應該算是一個優(yōu)化模型我們應先建立一個不允許缺貨的存貯模型，即在產品需求穩(wěn)定不變，生產準備費和產品貯存費為常數(shù)、生產能力無限、不允許缺貨下

5、的確定生產周期和常量，使總費用最小的模型。而在第（2）問中，需改進一下第一問的條件，在短時間可以缺貨的情況下，雖然這會造成一定的損失，但如果損失費不超過不允許缺貨導致的準備費和貯存費的話，我們可優(yōu)化一下第一個模型，建立一個更全面的模型。三、模型假設為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設生產周期T和產量Q均為連續(xù)量。根據問題性質，我們作如下假設：1.產品每天的需求量為常數(shù)r；2,每次生產準備費為ci,每天每件產品貯存費為02；3.生產能力為無限大（相對于需求量），當貯存量降到零時，Q件產品立即生產出來供給需求；4,在第（1）問中，不允許缺貨；5,在第（2）問中，允許缺貨，每天每件產品缺貨損失費為C3

6、,但缺貨數(shù)量需在下次生產（或訂貨）事補足。四、符號說明符號意義r產品每天的需求量Ci每次生產準備費C2每天每件產品貯存費q(t)相應時間t下的貯存量Q每次的產量T生產周期C每天平均最小費用五、模型的建立與求解5.1模型一的建立：不允許缺貨的存貯模型先考察這樣的問題，配件廠為裝配線生產若干部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要付生產準備費(與生產數(shù)量無關)同一部件的產量大與需求時因積壓資金、占用倉庫要付貯存費.將貯存量表示為時間t的函數(shù)q(t),t=0生產Q件，貯存量q(0)=Q,q(t)以需求率r遞減，直到q(T)=0,如圖13示，顯然有Q=rt.(1)圖1不允許缺貨模型的貯存量q(t)一個周

7、期內的貯存費c21rq(t)dt,其中積分恰等于圖中三角形A的面積&工川.因-02為一個周期的準備費是G,再注意到(1)式，得到一周期的總費用為C=gQQT.2=gCzrT2.2于是每天的平均費用是C(T)=CT=c1.TqrT.2.(3)式即為這個優(yōu)化模型的目標函數(shù)5.2 模型一的求解:求T使(3)最小.容易得到代入(1)式得到T二2ciqr,Q=(5)(6)由(3)式算出最小的總費用為C-2cle2r.(4),(5)式是經濟學中著名的經濟訂貨批量公式(EOS式)4由(4),(5)式可以看到，當準備費G增加時，生產周期和產量都變大；當準備費c2增加時，生產周期和產量都變?。划斝枨罅縭

8、增加時，生產周期變小而產量變大.這些定性的結果都是符合常識的.得到的模型用于計算開始的問題：以C=依酒=5000,c2=1,r=100代入(4) (6)式可得T=10天，T=1000元，這里得到的費用C與前面計算的950>，、，-1兀有微小的差別，是因為假設函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時，多計算了c2(100-100t)dt.5.3 模型一的結果分析討論參數(shù)q,c2,r有微小變化時對生產周期的影響.用相對改變量衡量結果對參數(shù)的敏感程度，T對g的敏感程度記為S(Tc),TTdTc1S(Ty而.由(4)式容易得到S(T,g)=1/2，作類似的定義可得的S(T,g)=-1/2,S(T,r)=1/2.即g增加

9、了1%,T增加了0.5%,而c2或r增加了1%,T減少0.5%.G,Q,r的微小變化對生產周期T的影響是很小的.5.4 模型二的建立：允許缺貨的存貯模型在某些情況下用戶允許短時間的缺貨，雖然這會造成一定的損失，但是如果損失費不超過不允許缺貨的準備費和貯存費的話，允許缺貨就應該是可以采取的策略。因貯存量不足造成缺貨時，可認為貯存量函數(shù)q(t)為負值，如圖2，周期仍記作T,Q是周期初的貯存量，當1=工時4代)=0,于是有Q=r1.(8)在Ti到T的這段缺貨時段內需求率r不變，q(t)按原斜率繼續(xù)下降。由于規(guī)定缺貨量補足，所以在t=T時數(shù)量為R的產品立刻到達，使下周期的貯存量恢復到Q。圖2允許缺貨模

10、型的貯存量q(t)與建立不允許缺貨模型時類似，一個周期內的貯存費時C2乘以圖22中三角形A的面積，缺貨損失費時C3乘以圖2中三角形B的面積.計算這兩塊面積，并加上準備費G,得到一周的總費用為2._C=gC2QT1/2Csr(T-Ti)/2.(9)利用（8）式將模型的目標函數(shù)一一每天的平均費用一一記作T和Q的二元函數(shù)-22cc2Qc3(rT-Q)C(T,Q)=士-T2rT2rT(10)5.5模型二的求解:利用微分法求T和Q使C（T,Q）最小，令/T=0,E%=0，可得（為了與不允許徐缺貨模型相區(qū)別，最優(yōu)解記作T=Q2,c2Qc3(11)注意到每周期的供貨量R=rT',有2c1rc2c3(

11、12)(13)與不允許缺貨模型的結果（4）,（5）式比較不難得到T,Q'=Q,R=Q.(14)由（13）式，九>1,故式（14）給出T>九T,Q'<Q,R>Q,即允許缺貨時周期及供貨量應增加，周期初的貯存量減少，缺貨損失費q越大（相對于貯存費c2）,九越小，T,越接近T,Q，R越接近Q.當c3TM時九于是T'tT,Q'tQ,RtQ這個結果合理么（考慮c3Ts的意義）.由此不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例六、模型評價與推廣本文中所建立的模型是從工廠原料需求的實際出發(fā)建立的最優(yōu)規(guī)劃模型，在需求量穩(wěn)定的前提下討論了兩個簡單的存貯模型：不允許缺貨模型和允許缺貨模型。前者適用于一旦出現(xiàn)缺貨會造成重大損失的情況（如煉鐵廠對原料的需求），后者適用于像商店購貨之類的情形，缺貨造成的損失可以允許和估計。問題一中提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產品需求穩(wěn)定不變、生產準備費和產品貯存費為常數(shù)、生產能力無限、不允許缺貨以及確定生產周期和產量的情況下，使總費用最小的模型。問題二則考慮當在某些情況下用戶允許短時間的缺貨，雖然這會造成一定的損失，但是如果損失費不超過不允許缺貨的準備費和貯存費的話，允許缺貨所對應的數(shù)學模型。模型的擴展性良好，能夠解決多