課件——IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 1、基本概念、基本概念2、最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)，最小與最大相、最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)，最小與最大相位超前系統(tǒng)位超前系統(tǒng) 3、全通系統(tǒng)、全通系統(tǒng) 4、用模擬濾波器設(shè)計(jì)、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的映射方數(shù)字濾波器的映射方法：沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法法：沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法5、實(shí)例：用巴特沃思或切比雪夫低通濾波設(shè)、實(shí)例：用巴特沃思或切比雪夫低通濾波設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、帶阻等數(shù)字濾波器計(jì)低通、帶通、高通、帶阻等數(shù)字濾波器6.16.1基本概念基本概念數(shù)字濾波器是線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)字濾波器是線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)1、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)內(nèi)容：、數(shù)字濾波器

2、設(shè)計(jì)內(nèi)容：（1）根據(jù)要求確定濾波器的性能要求；）根據(jù)要求確定濾波器的性能要求；（2）用）用因果穩(wěn)定的離散線性移不變的系統(tǒng)函數(shù)逼近其性因果穩(wěn)定的離散線性移不變的系統(tǒng)函數(shù)逼近其性能要求（包括能要求（包括IIR和和FIR系統(tǒng)函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)）；（3）用算法實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)函數(shù)（包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)、）用算法實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)函數(shù)（包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)、有效數(shù)字的處理等）；有效數(shù)字的處理等）；（4）實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)（軟件或硬件等）實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)（軟件或硬件等）本課程主要討論性能逼近或本課程主要討論性能逼近或系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)。2 2、描述濾波器的基本參數(shù)、描述濾波器的基本參數(shù)見圖見圖6-2(1)譜帶譜帶:

3、在濾波器的在濾波器的幅值頻譜幅值頻譜中，有通帶、阻帶和過渡中，有通帶、阻帶和過渡帶之分帶之分通帶：通帶：以帶內(nèi)的幅值大小來表示，幅值較大或接近最大以帶內(nèi)的幅值大小來表示，幅值較大或接近最大值的帶為通帶值的帶為通帶阻帶：阻帶：幅值較小或接近最小值的帶為阻帶幅值較小或接近最小值的帶為阻帶過渡帶：過渡帶：在通帶和阻帶之間變化的帶為過渡帶在通帶和阻帶之間變化的帶為過渡帶 (2)容限容限:在各帶內(nèi)的幅值可波動(dòng)，但不能超過允許的限在各帶內(nèi)的幅值可波動(dòng)，但不能超過允許的限度。該度。該容許的波動(dòng)量容許的波動(dòng)量或系數(shù)是容限或系數(shù)是容限可用容限和衰減系數(shù)表示可用容限和衰減系數(shù)表示通帶和阻帶的通帶和阻帶的容限容限分

4、別為分別為a a1、a a2；通帶和阻帶的通帶和阻帶的衰減系數(shù)衰減系數(shù)用分貝表示用分貝表示 1=-20lg(1-a a1)， 2=-20lg(a a2)(1-a a1)是通帶的是通帶的最小幅值最小幅值，a a2是阻帶的是阻帶的最大幅值最大幅值3 3、數(shù)字濾波器按頻率特性分低通、高通、帶通、帶阻、數(shù)字濾波器按頻率特性分低通、高通、帶通、帶阻、全通等。其理想幅頻響應(yīng)全通等。其理想幅頻響應(yīng)- - , , 或或00,2,2 圖圖6.16.102|H|高通02|H|帶通02|H|全通02|H|低通02|H|帶阻4、頻率換算關(guān)系、頻率換算關(guān)系采樣頻率為采樣頻率為fs，數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的各頻率，數(shù)字濾波器設(shè)

5、計(jì)中的各頻率f換算為換算為數(shù)數(shù)字角頻率字角頻率 =2=2 f/fs根據(jù)奈奎斯特定理，濾波器的頻率特性只能限于根據(jù)奈奎斯特定理，濾波器的頻率特性只能限于| | | s/2=s/2= 也稱為折疊頻率也稱為折疊頻率5、數(shù)字濾波器的三個(gè)參量、數(shù)字濾波器的三個(gè)參量系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù)是H(z)，z平面單位圓上的頻響是平面單位圓上的頻響是 H(ej )頻率特性參量：頻率特性參量：幅幅(度平方度平方)頻響應(yīng)頻響應(yīng),相頻特性相頻特性,群延時(shí)響應(yīng)群延時(shí)響應(yīng)(1)幅度平方響應(yīng)幅度平方響應(yīng)(意義意義) 單位沖擊響應(yīng)是實(shí)數(shù)單位沖擊響應(yīng)是實(shí)數(shù),H(z)和和H*(z)滿足共軛對(duì)稱條件滿足共軛對(duì)稱條件,則則若若z是是H(z)

6、的極點(diǎn)的極點(diǎn),則則1/z是是H*(z)的極點(diǎn)的極點(diǎn),必存在必存在;其零極點(diǎn)是其零極點(diǎn)是共軛對(duì)稱的，且以單位圓為鏡像對(duì)稱共軛對(duì)稱的，且以單位圓為鏡像對(duì)稱2*1()()()()()( )()jjjjjjz eH eH eHeH eH eH z H z系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的選取：系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的選?。簽槭篂槭笻(z)是可實(shí)現(xiàn)的是可實(shí)現(xiàn)的(收斂收斂)系統(tǒng)，只取系統(tǒng)，只取單位圓內(nèi)的極單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為點(diǎn)作為H(z)極點(diǎn)；極點(diǎn)；而零點(diǎn)可在而零點(diǎn)可在z平面的任意位置，故平面的任意位置，故只取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為只取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為H(z)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。如果選如果選z平面單位圓內(nèi)的零點(diǎn)為平面單位圓內(nèi)的零點(diǎn)為H(z

7、)H*(z)的零點(diǎn)，則的零點(diǎn)，則得得最小相位延遲最小相位延遲濾波器。濾波器。(2) (2) 相位響應(yīng)相位響應(yīng)( (意義意義) )因因 所以所以 （6.5）又又又有又有 （6.6）)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctgejejjjeeHeH* jezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHje1*ln21ln21ln21(3)(3)群延遲響應(yīng)群延遲響應(yīng)波波Acos( t= )中，波的位置和狀態(tài)參量是相位，幅值表征中，波的位置和狀態(tài)參量是相位，幅值表征能量；群延時(shí)是濾波器平均延遲的度量，為相位對(duì)角頻能量；群延時(shí)是濾波器平均延遲的度量

8、，為相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值 （6.7）化為化為 （6.8）因因所以所以dedejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()(|)(|ln)(lnjjjejeHeH)(lnIm)(jjeHe又有又有 （6.9）同樣可化為同樣可化為 （6.10）注意：注意：當(dāng)濾波器為線性相位響應(yīng)特性當(dāng)濾波器為線性相位響應(yīng)特性(相位與頻率成比相位與頻率成比例例)時(shí)，則通帶內(nèi)群延遲特性為時(shí)，則通帶內(nèi)群延遲特性為常數(shù)常數(shù)。)(lnIm)(jjeHddejjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(l

9、nIm)(IIRIIR濾波器設(shè)計(jì)中的逼近問題濾波器設(shè)計(jì)中的逼近問題( (任務(wù)任務(wù)) )IIR系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)(與與FIR的區(qū)別的區(qū)別) （6.11）IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì): 求出濾波器各系數(shù)求出濾波器各系數(shù)ak、bk，使其在規(guī)定，使其在規(guī)定頻率上逼近所要求的頻率上逼近所要求的(幅、相幅、相)特性。特性。z平面上逼近就得數(shù)字濾波器，平面上逼近就得數(shù)字濾波器，s平面上逼近就是模擬平面上逼近就是模擬濾波器。濾波器。NkkkMkkkzazbzH101)(數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法：（1）先設(shè)計(jì)一個(gè)）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的合適的模擬濾波器，然后變換成滿足模擬濾波器，然后變換成滿足指標(biāo)要求的

10、數(shù)字濾波器。指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器。(有現(xiàn)成的模擬濾波器及其公式，方便準(zhǔn)確有現(xiàn)成的模擬濾波器及其公式，方便準(zhǔn)確)（2）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法。）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法。IIR的設(shè)計(jì)計(jì)算較復(fù)雜，不考試；但須掌握設(shè)計(jì)過程和的設(shè)計(jì)計(jì)算較復(fù)雜，不考試；但須掌握設(shè)計(jì)過程和方法方法6.26.2最小或最大相位延時(shí)或超前系統(tǒng)最小或最大相位延時(shí)或超前系統(tǒng)( (四種系統(tǒng)四種系統(tǒng)) )任何線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為任何線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(cm,dK為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)) （6.12）系統(tǒng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng) （6.13）NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111100)()()1

11、 ()1 ()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH對(duì)對(duì)H(ej )/K進(jìn)行研究：進(jìn)行研究：因因h(n)是實(shí)數(shù)序列，是實(shí)數(shù)序列，K為實(shí)數(shù)，只產(chǎn)生固定相位，不影響為實(shí)數(shù)，只產(chǎn)生固定相位，不影響相頻譜的相頻譜的分布特性分布特性。H(ej )/K的模的模 （6.14）其相位其相位(三部分三部分) （6.15）11|()|()|()|MjmjmNjkkecH eKed各零矢量模的連乘積各極矢量模的連乘積11()argargarg()jMMjjmkmmH eecedNMK若若mi、mo、pi、po為單位圓內(nèi)外的零、極點(diǎn)數(shù)，為單位圓內(nèi)外的零、極點(diǎn)數(shù)，則

12、則M=mi+mo，N=pi+po說明零極矢量：說明零極矢量：零（極）矢是指零（極）點(diǎn)指向零（極）矢是指零（極）點(diǎn)指向z平面單平面單位圓上頻率點(diǎn)的矢量。位圓上頻率點(diǎn)的矢量。(ej =零極矢零極矢+cm或或dk)零極點(diǎn)分布對(duì)相角的影響（對(duì)應(yīng)四種特殊系統(tǒng)）零極點(diǎn)分布對(duì)相角的影響（對(duì)應(yīng)四種特殊系統(tǒng)）(1)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域?yàn)閱挝粓A內(nèi)的一個(gè)圓的外部因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域?yàn)閱挝粓A內(nèi)的一個(gè)圓的外部,故故全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，pi=N，po=0 從從0到到2 時(shí)，僅單位圓內(nèi)零極點(diǎn)對(duì)相角有時(shí)，僅單位圓內(nèi)零極點(diǎn)對(duì)相角有2 影響影響。故。故 變化變化2 時(shí)時(shí), D2, D2，則，則輻角變化量輻角變化

13、量 增加時(shí)，輻角變化為負(fù)，稱為增加時(shí)，輻角變化為負(fù)，稱為相位延時(shí)系統(tǒng)。相位延時(shí)系統(tǒng)。2()arg2 2 ()222jiiioH empNMKmMmDD (a)當(dāng)全部當(dāng)全部零點(diǎn)零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，在單位圓內(nèi)，mi=M，mo=0，有，有其其相位變化最小，稱為最小相位系統(tǒng)相位變化最小，稱為最小相位系統(tǒng)。(b)當(dāng)全部當(dāng)全部零點(diǎn)零點(diǎn)在單位圓外，即在單位圓外，即mi=0，mo=M，有，有這時(shí)相位變化最大，又是負(fù)數(shù)，即這時(shí)相位變化最大，又是負(fù)數(shù)，即最大相位延時(shí)系統(tǒng)最大相位延時(shí)系統(tǒng)，仍然是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。仍然是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。2()arg0jH eKDD2()arg2jH eMKDD (2)逆因果逆因果(超前超前)穩(wěn)

14、定系統(tǒng)，穩(wěn)定系統(tǒng)，極點(diǎn)全在單位圓外極點(diǎn)全在單位圓外pi=0，po=N當(dāng)當(dāng) 從從0變到變到2 時(shí)，時(shí)，D2D2，則，則輻角變化輻角變化量量一般一般NM，相位的變化是正數(shù)，稱為，相位的變化是正數(shù)，稱為相位超前系統(tǒng)。相位超前系統(tǒng)。2()arg22 ()jiH emNMKDD(a)全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，mi=M，mo=0，有，有這時(shí)相位變化最大，稱這時(shí)相位變化最大，稱最大相位超前系統(tǒng)最大相位超前系統(tǒng)(逆因果穩(wěn)定逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng))。(b)全部零點(diǎn)在單位圓外時(shí)，全部零點(diǎn)在單位圓外時(shí)，mi=0，mo=M， 有有 =2 (N-M)這時(shí)相位超前最小，稱這時(shí)相位超前最小，稱最小相位超前系統(tǒng)

15、最小相位超前系統(tǒng)(逆因果穩(wěn)定逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng))。02()arg22jH eNpKDD02()arg2 ()joH epmKDD表表6.16.1四種系統(tǒng)與其因果性、穩(wěn)定性、零點(diǎn)、極點(diǎn)的四種系統(tǒng)與其因果性、穩(wěn)定性、零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系。關(guān)系。( (略略) )最小相位系統(tǒng)很重要最小相位系統(tǒng)很重要(通信和圖象處理通信和圖象處理)，性質(zhì)，性質(zhì)有有(1)H(ej )相同的系統(tǒng)中，其負(fù)相位最大相同的系統(tǒng)中，其負(fù)相位最大(相位最小相位最小)(2)最小相位系統(tǒng)能量集中在最小相位系統(tǒng)能量集中在n=0附近。附近。(3)|H(ej )|相同的各序列，最小相位序列的相同的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大最大(脈沖

16、信號(hào)的拖尾小，希望的脈沖信號(hào)的拖尾小，希望的)。(4)在幅度響應(yīng)在幅度響應(yīng)|H(ej )|相同的系統(tǒng)中，有唯一的最小相相同的系統(tǒng)中，有唯一的最小相位延時(shí)系統(tǒng)。位延時(shí)系統(tǒng)。(5)級(jí)聯(lián)級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)，將最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)反射到單位圓，將最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)反射到單位圓外，可構(gòu)成幅度響應(yīng)相同的非最小相位延時(shí)系統(tǒng)外，可構(gòu)成幅度響應(yīng)相同的非最小相位延時(shí)系統(tǒng)6.36.3全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)（1）定義：）定義：系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度在所有頻率均為系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度在所有頻率均為1(或某或某較大數(shù)較大數(shù))的系統(tǒng)的系統(tǒng)滿足滿足|Hap(ej )|=1的的一階全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)為為 （6.16）式中式中a為實(shí)數(shù)為實(shí)

17、數(shù)零極點(diǎn)如圖零極點(diǎn)如圖6.31|0,1)(11aazazzHapa1/a0-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)高階全通系統(tǒng)：高階全通系統(tǒng)：由多個(gè)一階系統(tǒng)組成由多個(gè)一階系統(tǒng)組成(包含實(shí)零點(diǎn)包含實(shí)零點(diǎn)/實(shí)極點(diǎn)實(shí)極點(diǎn)一階系統(tǒng)、復(fù)零點(diǎn)一階系統(tǒng)、復(fù)零點(diǎn)/復(fù)極點(diǎn)對(duì)一階系統(tǒng)復(fù)極點(diǎn)對(duì)一階系統(tǒng))復(fù)零點(diǎn)復(fù)零點(diǎn)/極點(diǎn)的全通節(jié)系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)的全通節(jié)系統(tǒng)函數(shù)（6.17）a為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)零極點(diǎn)如圖零極點(diǎn)如圖6.41|0,11*1aazaza a1/a1/a* *0-1-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)1 1復(fù)零極點(diǎn)全通系統(tǒng)的特點(diǎn)復(fù)零極點(diǎn)全通系統(tǒng)的特點(diǎn): :(1)(1)零極點(diǎn)在共軛反演或以單位圓為鏡的

18、鏡像位置零極點(diǎn)在共軛反演或以單位圓為鏡的鏡像位置(2)h(n)(2)h(n)是實(shí)數(shù)，復(fù)零點(diǎn)或極點(diǎn)以共軛對(duì)出現(xiàn)，其共軛是實(shí)數(shù)，復(fù)零點(diǎn)或極點(diǎn)以共軛對(duì)出現(xiàn)，其共軛零極點(diǎn)也是系統(tǒng)的零極點(diǎn)，必存在兩個(gè)一階全通節(jié)零極點(diǎn)也是系統(tǒng)的零極點(diǎn)，必存在兩個(gè)一階全通節(jié)(3)(3)級(jí)聯(lián)可組成二階級(jí)聯(lián)可組成二階實(shí)系數(shù)實(shí)系數(shù)全通子系統(tǒng)，其形式如下全通子系統(tǒng)，其形式如下a1/a*0-1Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)11/aa*1|,11)(1111azaazazazzHapN階全通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的模都為階全通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的模都為1。證明：證明：N階全通系統(tǒng)函數(shù)為階全通系統(tǒng)函數(shù)為(零極點(diǎn)及單位圓鏡象對(duì)稱決定零極

19、點(diǎn)及單位圓鏡象對(duì)稱決定)式中式中當(dāng)當(dāng)z=ej 時(shí)，滿足時(shí)，滿足 D(ej )=D*(e-j ) （6.21）故故 |H(ej )|=1 （6.22）)()(11)(1) 1(111) 1(111*111zDzDzzdzdzdzzdzddzaazzHNNNNNNNNNkkNkNNNNzdzdzdzD)1(111.1)(（2 2）全通系統(tǒng)的應(yīng)用）全通系統(tǒng)的應(yīng)用1)任何任何因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的(非最小相位延時(shí)非最小相位延時(shí))系統(tǒng)的系統(tǒng)的H(z)都可表示都可表示為全通系統(tǒng)為全通系統(tǒng)Hap(z) 和最小相位延時(shí)系統(tǒng)和最小相位延時(shí)系統(tǒng)Hmin(z)的級(jí)聯(lián)的級(jí)聯(lián) （6.23）這樣，這樣，H(z)和和Hmin

20、(z)幅頻響應(yīng)相同，相頻特性不同幅頻響應(yīng)相同，相頻特性不同： （6.26）相位是兩子系統(tǒng)的相位和相位是兩子系統(tǒng)的相位和 argH(z)=argHmin(z)+argHap(z)可用簡(jiǎn)單的最小相位延時(shí)系統(tǒng)表征原因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用簡(jiǎn)單的最小相位延時(shí)系統(tǒng)表征原因果穩(wěn)定系統(tǒng) (主要主要是幅頻特性相同是幅頻特性相同, 相位特性不關(guān)心時(shí)用相位特性不關(guān)心時(shí)用)min( )( )( )apH zHzHz| )(| )(| )(| )(|minminjjapjjeHeHeHeH例證：例證：因果穩(wěn)定非最小相位延時(shí)系統(tǒng)因果穩(wěn)定非最小相位延時(shí)系統(tǒng) （6.24）設(shè)設(shè)1/z0和和1/z0*是單位圓外的兩零點(diǎn)，是單位圓外的兩

21、零點(diǎn)，H1(z)零點(diǎn)在單位圓零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，則內(nèi)，則 （6.25）因因|z0|1，故，故H1(z)(1-z*0z-1)(1-z0z-1)是最小相位延時(shí)是最小相位延時(shí)(全部全部零極點(diǎn)在單位圓內(nèi)零極點(diǎn)在單位圓內(nèi))，而其余項(xiàng)是一階全通級(jí)聯(lián)。故，而其余項(xiàng)是一階全通級(jí)聯(lián)。故6.23式成立。式成立。)()()()(*01011zzzzzHzH*1111*00100*110011*1100100*110011( )( ) () ()11( ) (1) (1)11z zz zH zH zzzzzz zz zzzzzH zz zz zz zz z說明說明:分解為全通和最小相位延時(shí)子系統(tǒng)的分解為全通和最小相位延時(shí)

22、子系統(tǒng)的方法是方法是：因：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必在單位圓內(nèi)，而零點(diǎn)分為果穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必在單位圓內(nèi)，而零點(diǎn)分為單位圓內(nèi)外兩部分；單位圓內(nèi)的零點(diǎn)單位圓內(nèi)外兩部分；單位圓內(nèi)的零點(diǎn)(包括圓外包括圓外點(diǎn)在圓內(nèi)的鏡像點(diǎn)在圓內(nèi)的鏡像)為最小相位延時(shí)系統(tǒng)的零點(diǎn)，為最小相位延時(shí)系統(tǒng)的零點(diǎn)，單位圓外的零點(diǎn)為全通系統(tǒng)的零點(diǎn)單位圓外的零點(diǎn)為全通系統(tǒng)的零點(diǎn)2)若濾波器是不穩(wěn)定的，可級(jí)聯(lián)全通函數(shù)使其為穩(wěn)定系若濾波器是不穩(wěn)定的，可級(jí)聯(lián)全通函數(shù)使其為穩(wěn)定系統(tǒng)：不穩(wěn)定濾波器在單位圓外有極點(diǎn)，由統(tǒng)：不穩(wěn)定濾波器在單位圓外有極點(diǎn)，由原系統(tǒng)的單原系統(tǒng)的單位圓外極點(diǎn)作為全通系統(tǒng)的零點(diǎn)構(gòu)建位圓外極點(diǎn)作為全通系統(tǒng)的零點(diǎn)構(gòu)建；再與原濾波器；

23、再與原濾波器級(jí)聯(lián)，幅值譜不變級(jí)聯(lián)，幅值譜不變(不影響幅頻性不影響幅頻性)，級(jí)聯(lián)后零極點(diǎn)抵消，級(jí)聯(lián)后零極點(diǎn)抵消，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。例：例：原濾波器有原濾波器有單位圓外極點(diǎn)單位圓外極點(diǎn)對(duì)對(duì) z=r-1ejq q ， |r|1級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)則單位圓外極點(diǎn)抵消，幅度性不變，但系統(tǒng)穩(wěn)定則單位圓外極點(diǎn)抵消，幅度性不變，但系統(tǒng)穩(wěn)定1111( )11jjapjjzrezreHzrezre zqqqq3)作為作為相位均衡器相位均衡器(群延時(shí)均衡器群延時(shí)均衡器):不改變幅頻特性時(shí)，不改變幅頻特性時(shí)，可得線性相位?？傻镁€性相位。(略略)一般，一般，IIR濾波器的相位是非線性的濾波器的相位是非線性的設(shè)全通

24、濾波器為設(shè)全通濾波器為Hap(z)，原，原IIR系統(tǒng)為系統(tǒng)為Hd(z)級(jí)聯(lián)后，級(jí)聯(lián)后，H(z)為為其頻譜為其頻譜為相位關(guān)系相位關(guān)系( )( )( )apdH zHz Hz()()()()()()()apdjjjjjjapdapdH eHeHeHeHee( )( )( )apdy 按定義按定義 - 得得在通帶，用全通系統(tǒng)的群延時(shí)逼近原在通帶，用全通系統(tǒng)的群延時(shí)逼近原IIR系統(tǒng)群延時(shí)的非系統(tǒng)群延時(shí)的非線性負(fù)值，抵消其非線性部分，使通帶的群延時(shí)滿足線性負(fù)值，抵消其非線性部分，使通帶的群延時(shí)滿足0 0常數(shù)常數(shù)(線性相位系統(tǒng)線性相位系統(tǒng))逼近誤差的平方值逼近誤差的平方值要求要求: 全通系統(tǒng)逼近后的誤差越

25、小越好。這是優(yōu)化設(shè)計(jì)全通系統(tǒng)逼近后的誤差越小越好。這是優(yōu)化設(shè)計(jì)(尋找困難尋找困難)( )( )dd ( )( )( )apd 22200( )( )( )apde 6.4模擬濾波器轉(zhuǎn)換模擬濾波器轉(zhuǎn)換(設(shè)計(jì)設(shè)計(jì))IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器成熟的模擬濾波器較多，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單規(guī)范；根據(jù)成熟的模擬濾波器較多，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單規(guī)范；根據(jù)已有模擬已有模擬濾波器濾波器可設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器基本方法：基本方法：把模擬濾波器把模擬濾波器Ha(s) 的的s平面映射到平面映射到z平面平面的的所需數(shù)字濾波器所需數(shù)字濾波器H(z)。基本要求：基本要求：1) Ha(s)的頻響能模仿的頻響能模仿H(z)的頻響的頻響(即頻率軸

26、對(duì)應(yīng)即頻率軸對(duì)應(yīng),s的虛軸的虛軸j 映射到映射到s的單位圓的單位圓)2) 因果穩(wěn)定系統(tǒng)的因果穩(wěn)定系統(tǒng)的Ha(s)能映射成因果穩(wěn)定的能映射成因果穩(wěn)定的H(z)模擬濾波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考爾模擬濾波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考爾(橢圓型橢圓型)等等(低通低通)根據(jù)不同根據(jù)不同頻帶變換頻帶變換，從已有模擬到數(shù)字濾波器的，從已有模擬到數(shù)字濾波器的方法方法有有:方法方法1: 1)用用模擬頻帶轉(zhuǎn)換法模擬頻帶轉(zhuǎn)換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型型(低、高、帶、帶阻頻譜低、高、帶、帶阻頻譜)的模擬濾波器；的模擬濾波器；2)再用模擬再用模擬到數(shù)字的映射方法，轉(zhuǎn)換為相應(yīng)數(shù)字濾波器到

27、數(shù)字的映射方法，轉(zhuǎn)換為相應(yīng)數(shù)字濾波器.方法方法2: 1)用模擬映射到數(shù)字法，將模擬轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的數(shù)用模擬映射到數(shù)字法，將模擬轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器；字濾波器；2)再用再用數(shù)字頻帶變換法數(shù)字頻帶變換法，將數(shù)字的，將數(shù)字的(不滿足不滿足頻譜要求頻譜要求)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為所需所需數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器.方法方法3: 對(duì)嚴(yán)格帶限的數(shù)字濾波器對(duì)嚴(yán)格帶限的數(shù)字濾波器(低通或帶通低通或帶通)，通過頻，通過頻率變換，可將率變換，可將1)模擬頻帶轉(zhuǎn)換和模擬頻帶轉(zhuǎn)換和2)模擬轉(zhuǎn)換數(shù)字的過程模擬轉(zhuǎn)換數(shù)字的過程合為一步完成合為一步完成。共有關(guān)鍵步驟：共有關(guān)鍵步驟：1)模擬到數(shù)字的變換；模擬到數(shù)字的變換；2)頻帶轉(zhuǎn)換頻帶轉(zhuǎn)換其

28、中，其中，模擬到數(shù)字的映射方法模擬到數(shù)字的映射方法：沖激響應(yīng)不變法、雙線：沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法、階躍響應(yīng)不變法。性變換法、階躍響應(yīng)不變法。1 1 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法（1）變換基本原理）變換基本原理使數(shù)字濾波器的單位使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)的單位沖激響應(yīng)ha(t) 。即用。即用ha(t)的抽樣作為的抽樣作為h(n) （6.27）用用2.53式得抽樣式得抽樣z變換與模擬拉氏變換的關(guān)系變換與模擬拉氏變換的關(guān)系 （6.28）)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsT變換關(guān)系變換關(guān)系z(mì)=esT，s=(

29、lnz)/T與與2.5節(jié)一致，如圖節(jié)一致，如圖6.7：1)S平面的每個(gè)平面的每個(gè)2 /T寬橫條重疊映射到寬橫條重疊映射到Z平面，體現(xiàn)平面，體現(xiàn)Z的的相位對(duì)相位對(duì)S虛軸有虛軸有2 j/T的周期性；的周期性；2)S虛軸虛軸j 映射到映射到z單位圓，虛軸每段單位圓，虛軸每段2 /T的線段重復(fù)映的線段重復(fù)映射到單位圓的一周；射到單位圓的一周；3)S各橫條的左半邊映射到各橫條的左半邊映射到Z單位圓內(nèi)單位圓內(nèi),其右半邊映射到單其右半邊映射到單位圓外位圓外4)該周期性使沖擊響應(yīng)不變法不代表該周期性使沖擊響應(yīng)不變法不代表S到到Z的簡(jiǎn)單變換的簡(jiǎn)單變換(2)(2)模擬濾波器的數(shù)字化模擬濾波器的數(shù)字化按沖擊響應(yīng)不變

30、法，按沖擊響應(yīng)不變法，變換過程：變換過程：模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng)Ha(s)拉氏反拉氏反變換得變換得ha(t)對(duì)模擬響應(yīng)抽樣得對(duì)模擬響應(yīng)抽樣得h(n)再取再取z變換變換據(jù)極點(diǎn)特點(diǎn)、據(jù)極點(diǎn)特點(diǎn)、s和和z平面關(guān)系平面關(guān)系求變換關(guān)系求變換關(guān)系：A、設(shè)模擬濾波器設(shè)模擬濾波器Ha(s) 只有單階極點(diǎn)，展開成部分分式只有單階極點(diǎn)，展開成部分分式（分母階次一般大于分子階次）（分母階次一般大于分子階次） （6.32）沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)ha(t) 是是Ha(s)的拉氏反變換，再對(duì)的拉氏反變換，再對(duì)ha(t)抽樣得抽樣得 （6.33）NkkkassAsH1)(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)(

31、)()()()(對(duì)對(duì)h(n)求求z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)比較比較Ha(s)和和H(z)：1)s單極點(diǎn)單極點(diǎn)s=sk變換到變換到z上上z= exp(skT)處單極點(diǎn)處單極點(diǎn);2)兩部分分式系數(shù)相同兩部分分式系數(shù)相同Ak3)若模擬濾波器穩(wěn)定若模擬濾波器穩(wěn)定(Resk0)，變換后的極點(diǎn)在單位，變換后的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)圓內(nèi)|exp(skT)|1，數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器也穩(wěn)定也穩(wěn)定NkTsknnTsNkknnTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk110110111)()()()(4)這可保證兩者極點(diǎn)間有代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系；這可保證兩者極點(diǎn)間有代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系；但不能保證整個(gè)但

32、不能保證整個(gè)s與與z平面有這種關(guān)系，如零點(diǎn)沒該關(guān)平面有這種關(guān)系，如零點(diǎn)沒該關(guān)系，而是隨系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)sk及系數(shù)及系數(shù)Ak變化變化5)由由6-31式知式知,數(shù)字濾波器的幅值頻率響應(yīng)還與抽樣間數(shù)字濾波器的幅值頻率響應(yīng)還與抽樣間隔隔T成反比。當(dāng)抽樣頻率高時(shí)，濾波器增益會(huì)太高，成反比。當(dāng)抽樣頻率高時(shí)，濾波器增益會(huì)太高，需對(duì)其進(jìn)行修正需對(duì)其進(jìn)行修正(一般不希望頻響特性隨抽樣頻率變一般不希望頻響特性隨抽樣頻率變化化)。修正方法修正方法： （6.35）則有則有 （6.36）及及 （6.37）因因ha(t) 是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，Ha(s)極點(diǎn)是共軛的；若極點(diǎn)是共軛的；若sk是極點(diǎn)，則是極點(diǎn)，則s

33、k*也也是極點(diǎn)；是極點(diǎn)；Ha(s) 變成變成H(z)的關(guān)系為的關(guān)系為)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(2()()(),jaakH eHjjkHjTTT*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez例例6.1設(shè)模擬濾波器系統(tǒng)為設(shè)模擬濾波器系統(tǒng)為用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。解：解：直接用直接用6.36式得數(shù)字濾波器系統(tǒng)為式得數(shù)字濾波器系統(tǒng)為設(shè)設(shè)T1(不影響設(shè)計(jì)過程不影響設(shè)計(jì)過程)，則，則2211( )4313aHssss)( )111()TTTTTTTTzeeH zezezzeez e

34、1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬與數(shù)字濾波器的頻響為模擬與數(shù)字濾波器的頻響為|Ha(j )|、|H(ej )|如圖如圖6.8說明：說明：模擬濾波器模擬濾波器不是充分帶限不是充分帶限的，轉(zhuǎn)換后有頻譜的，轉(zhuǎn)換后有頻譜混混疊失真疊失真222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee (3)(3)混疊失真混疊失真由映射關(guān)系知，由映射關(guān)系知，z=ej 時(shí)，時(shí)，s=j /T數(shù)字和模擬濾波器的頻響關(guān)系數(shù)字和模擬濾波器的頻響關(guān)系 （6.29）說明：說明：數(shù)字濾波器的頻響是模擬頻響的周期延拓?cái)?shù)字濾波器的頻響是模擬頻響的周期延拓(抽樣

35、抽樣)，僅當(dāng)模擬頻響是帶限且于折疊頻率內(nèi)時(shí)，即僅當(dāng)模擬頻響是帶限且于折疊頻率內(nèi)時(shí)，即 （6.30）才不產(chǎn)生混疊失真才不產(chǎn)生混疊失真(否則有混疊失真否則有混疊失真)即有即有| | 時(shí)時(shí) )2(1)(TkjHTeHakj)(1)(TjHTeHaj2| , 0)(saTjH注意：減少失真注意：減少失真1）模擬頻響在折疊頻率以上的衰減越快、小，混疊）模擬頻響在折疊頻率以上的衰減越快、小，混疊失真越小；失真越?。?）當(dāng)增加抽樣頻率）當(dāng)增加抽樣頻率fs，數(shù)字系統(tǒng)頻響的延拓周期間，數(shù)字系統(tǒng)頻響的延拓周期間距大，可減小混疊效應(yīng)；距大，可減小混疊效應(yīng)；3）在沖擊響應(yīng)不變法中，當(dāng)指標(biāo)用）在沖擊響應(yīng)不變法中，當(dāng)指標(biāo)

36、用 給定時(shí)，若給定時(shí)，若 c不變，減小不變，減小T不能解決混疊問題。不能解決混疊問題。(原因：原因：若模擬截若模擬截止頻率大于止頻率大于 /T， c大于大于 ；若；若 c不變，不變，T減小，模減小，模擬截止頻率按比例增大，始終大于折疊頻率，出擬截止頻率按比例增大，始終大于折疊頻率，出現(xiàn)混疊失真現(xiàn)混疊失真)沖激不變響應(yīng)法特點(diǎn)：沖激不變響應(yīng)法特點(diǎn)：1)數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)模仿模擬沖激響應(yīng)模仿模擬沖激響應(yīng)，時(shí)域逼沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近良好；模擬頻率和數(shù)字頻率呈近良好；模擬頻率和數(shù)字頻率呈線性關(guān)系。線性關(guān)系。2)只只適應(yīng)限帶模擬濾波器適應(yīng)限帶模擬濾波器，高通和帶阻不適合；可加，高通和帶阻不適合

37、；可加保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率的成分。保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率的成分。2 2、雙線性變換法、雙線性變換法沖擊響應(yīng)不變法中，數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng)不變法中，數(shù)字濾波器的h(n)與對(duì)應(yīng)模擬與對(duì)應(yīng)模擬ha(t)的的抽樣抽樣ha(nT)一致，是時(shí)間域的模仿一致，是時(shí)間域的模仿因抽樣，及因抽樣，及Z=es1T特點(diǎn)（重復(fù)），數(shù)字頻譜有周期性延拓，特點(diǎn)（重復(fù)），數(shù)字頻譜有周期性延拓，可能有混疊失真可能有混疊失真。該失真是變換（抽樣）產(chǎn)生的。該失真是變換（抽樣）產(chǎn)生的。采用雙線性變換可克服混疊現(xiàn)象采用雙線性變換可克服混疊現(xiàn)象。（1 1）變換原理）變換原理雙線性變換法：雙線性變換法：使數(shù)字濾波器的頻響與模

38、擬頻響一致使數(shù)字濾波器的頻響與模擬頻響一致的變換法，的變換法，s與與z平面有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系平面有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系方法：方法：1)先把先把s平面壓縮到某一中介平面壓縮到某一中介s1平面的橫帶里平面的橫帶里(- /T, /T)；2)再用標(biāo)準(zhǔn)變換再用標(biāo)準(zhǔn)變換z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)將此橫帶變換到整個(gè)z平面。平面。這樣這樣s與與z平面有一一對(duì)應(yīng)，消除混疊。平面有一一對(duì)應(yīng)，消除混疊。具體變換如下：具體變換如下：1) s到中介到中介s1平面變換平面變換s整個(gè)整個(gè)j 軸壓縮到軸壓縮到S1的的(- /T, /T) 段，變換關(guān)系段，變換關(guān)系 （6.50）即即 =變到變到 1 1 /T T， =0變到變到 1=0

39、6.50式再式再 寫成寫成)2tan(1T22221111112cos2sinTjTjTjTjeeeeTTjj 再擴(kuò)展到整個(gè)再擴(kuò)展到整個(gè)s和和s1平面，即令平面，即令 則則（6.51）2)再再s1平面以平面以標(biāo)準(zhǔn)變換標(biāo)準(zhǔn)變換映射到映射到z平面平面 （6.52）Tsez111,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees111111112122223)兩者合并得兩者合并得s到到z的單值映射關(guān)系的單值映射關(guān)系（6.53、6.54）或或 注意：注意：進(jìn)一步，為模擬濾波器的某一進(jìn)一步，為模擬濾波器的某一頻率頻率與數(shù)字濾波與數(shù)字濾波器的任一頻率對(duì)應(yīng)，引入待定系數(shù)器的任一頻率對(duì)應(yīng)，引入待定系

40、數(shù)c；即；即6.50，6.51式式變成變成 （6.55） （6.56）1111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1仍將仍將z=es1T 代入代入6.56式，得式，得（6.57）（6.58）上兩式是上兩式是s到到z平面的單值映射關(guān)系，平面的單值映射關(guān)系，該變換稱為雙線該變換稱為雙線性變換。性變換。1111zzcsscscz（2 2）系數(shù)）系數(shù)c c的確定的確定不同的不同的c可調(diào)節(jié)不同頻帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系。可調(diào)節(jié)不同頻帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有兩種確定方法有兩種確定方法:1）兩濾波器在兩濾波器在低頻處低頻處有明確有明確對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即低頻時(shí)關(guān)系，即低頻時(shí) 1 1 。當(dāng)當(dāng) 1

41、1較小時(shí)，有較小時(shí)，有由由6.55式及式及 1 1得得故故 c=2/T（6.59）此時(shí)兩者低頻特性近似此時(shí)兩者低頻特性近似。11tan()22TT112Tc 2）數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的特定頻率特定頻率 c與模擬原型的特定頻率與模擬原型的特定頻率 c對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)因因s1到到z變換時(shí)，有變換時(shí)，有 = 1T，則有，則有故故 （6.60）此時(shí)，特定的模擬和數(shù)字頻率處的頻響嚴(yán)格相等，此時(shí)，特定的模擬和數(shù)字頻率處的頻響嚴(yán)格相等，可可準(zhǔn)確控制截止頻率的位置準(zhǔn)確控制截止頻率的位置。)2tan()2tan(1ccccTc2cotccc（3 3）逼近情況說明）逼近情況說明( (簡(jiǎn)簡(jiǎn)) )雙線形變換滿足模擬到數(shù)字變

42、換的雙線形變換滿足模擬到數(shù)字變換的2點(diǎn)要求：點(diǎn)要求：1）z=ej 代入代入6.57式式 （6.61）說明說明s虛軸虛軸j 與與z單位圓單位圓ej 對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)。2）sssj 代入代入6.58因此因此知知: 1)s s0(左面左面)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)|z|0對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)|z|1；(3)s s=0對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)|z|=1。滿足要求可實(shí)現(xiàn)變換滿足要求可實(shí)現(xiàn)變換jjceecsjj)2tan(11jcjcscscz)()(ss2222)()(|ssccz（4 4）特點(diǎn)）特點(diǎn)( (簡(jiǎn)簡(jiǎn)) )變換前后的頻率關(guān)系變換前后的頻率關(guān)系 （6.62）如如p242圖圖6.12?？芍嚎芍?）兩頻率是單值映射，兩頻率是單值映射，避免了頻響

43、混疊避免了頻響混疊現(xiàn)象現(xiàn)象(優(yōu)優(yōu))；2）但在零頻附近，呈近似線性關(guān)系；頻率增加時(shí)，存但在零頻附近，呈近似線性關(guān)系；頻率增加時(shí)，存在在非線性關(guān)系非線性關(guān)系 (不足不足) 。)2tan(c0 0 /c 非線性產(chǎn)生的非線性產(chǎn)生的問題問題是：是： i)線性相位系統(tǒng)變換后不能保持相位線性性；線性相位系統(tǒng)變換后不能保持相位線性性； ii)該非線性該非線性要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型，要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型，否則有畸變（否則有畸變（頻率不均勻伸縮引起。一般模擬濾波器頻率不均勻伸縮引起。一般模擬濾波器是分段常數(shù)的，經(jīng)雙線性變換后仍是分段常數(shù)型，但是分段常數(shù)的，經(jīng)雙線性變換后仍是分段常數(shù)型

44、，但在分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)仍有畸變）。在分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)仍有畸變）。解決辦法：解決辦法：對(duì)頻率加對(duì)頻率加預(yù)畸變預(yù)畸變來校正畸變。來校正畸變。一般是先確定要設(shè)計(jì)濾波器的數(shù)字頻帶分布，對(duì)所設(shè)一般是先確定要設(shè)計(jì)濾波器的數(shù)字頻帶分布，對(duì)所設(shè)計(jì)計(jì)數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的濾波器的臨界頻率點(diǎn)臨界頻率點(diǎn)，用頻率變換關(guān)系，用頻率變換關(guān)系將臨界數(shù)字頻率將臨界數(shù)字頻率(如上下截止頻率如上下截止頻率 c1和和 c2)變換成臨界變換成臨界模擬頻率模擬頻率( c1和和 c2 ，已預(yù)畸變，已預(yù)畸變) ，用變換后的模擬頻用變換后的模擬頻率設(shè)計(jì)模擬濾波器原型率設(shè)計(jì)模擬濾波器原型，最后模擬原型轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾，最后模擬原型轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波

45、器（波器（再轉(zhuǎn)換時(shí)臨界頻率處無畸變，是所需頻率再轉(zhuǎn)換時(shí)臨界頻率處無畸變，是所需頻率）)2tan(c(5) 模擬濾波器數(shù)字化方法模擬濾波器數(shù)字化方法用用雙線性變換雙線性變換轉(zhuǎn)換模擬為數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換模擬為數(shù)字濾波器的方法有方法有：1）直接用直接用s和和z的變換關(guān)系變換為數(shù)字濾波器的變換關(guān)系變換為數(shù)字濾波器 （6.63）2）先）先將將模擬系統(tǒng)分解模擬系統(tǒng)分解為級(jí)聯(lián)為級(jí)聯(lián)(乘乘)或并聯(lián)子系統(tǒng)或并聯(lián)子系統(tǒng): 級(jí)聯(lián)級(jí)聯(lián): 并聯(lián)并聯(lián): )()()()(21sHsHsHsHmaaaa111111)()(11zzcHsHzHazzcsa)()()()(21sHsHsHsHmaaaa?再對(duì)各子系統(tǒng)雙線性變換再對(duì)

46、各子系統(tǒng)雙線性變換，得數(shù)字系統(tǒng)，得數(shù)字系統(tǒng)H(z)為為級(jí)聯(lián)級(jí)聯(lián):并聯(lián)并聯(lián):其中其中:注意注意:對(duì)對(duì)沖擊響應(yīng)沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng)不變法，和階躍響應(yīng)不變法，模擬系統(tǒng)不能分模擬系統(tǒng)不能分解為級(jí)聯(lián)解為級(jí)聯(lián)（因（因s和和z間是超越函數(shù)關(guān)系，級(jí)聯(lián)僅適于雙間是超越函數(shù)關(guān)系，級(jí)聯(lián)僅適于雙線性變換）線性變換）misHzHzzcsai,2 , 1,)()(11111)()()()(21zHzHzHzHmnisHzHzzcsai,2 , 1,)()(11111)()()()(21zHzHzHzHm(6)(6)雙線性變換的表格法實(shí)現(xiàn)雙線性變換的表格法實(shí)現(xiàn)雙線性變換中，雙線性變換中，分子分母都需處理各自分子分母都需處理各

47、自 的分母，的分母，再多再多項(xiàng)式相乘和合并。當(dāng)項(xiàng)式相乘和合并。當(dāng)階次高時(shí)，麻煩階次高時(shí)，麻煩。為此，將模擬系統(tǒng)與數(shù)字系統(tǒng)的為此，將模擬系統(tǒng)與數(shù)字系統(tǒng)的系數(shù)間關(guān)系列成表系數(shù)間關(guān)系列成表，此，此后查表即可。后查表即可。其關(guān)系和表如其關(guān)系和表如p244-245的的6.67、6.68式、表式、表6-26.5 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)(6.8-6.11)方法方法1：1)設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬低通濾波器低通濾波器(Butterworth or Chebyshev )；2)模擬模擬低通低通頻帶頻帶轉(zhuǎn)換為希望頻帶（低、帶、高、帶阻等）轉(zhuǎn)換為希望頻帶（低、帶、高、帶阻等）模擬濾波器；模擬濾波器；

48、3)模擬轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器模擬轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器（沖擊響應(yīng)不（沖擊響應(yīng)不變法、雙線性變換法等）。變法、雙線性變換法等）。方法方法2：1)同同1；2)模擬模擬低通轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器（沖擊響應(yīng)不低通濾波器（沖擊響應(yīng)不變法、雙線性變換法等）；變法、雙線性變換法等）；3)數(shù)字低通的數(shù)字低通的數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換換為希望頻帶（低、帶、高、帶阻等）數(shù)字濾波器。為希望頻帶（低、帶、高、帶阻等）數(shù)字濾波器。1、方法、方法1：模擬頻帶轉(zhuǎn)換，再數(shù)字化模擬頻帶轉(zhuǎn)換，再數(shù)字化設(shè)模擬低通濾波器已設(shè)計(jì)好設(shè)模擬低通濾波器已設(shè)計(jì)好(見見6.8節(jié)節(jié))(1)模擬低通模擬低通-數(shù)字低通數(shù)字低通沖擊響應(yīng)不變、雙線性變換

49、法直接轉(zhuǎn)換沖擊響應(yīng)不變、雙線性變換法直接轉(zhuǎn)換(2)數(shù)字帶通濾波器數(shù)字帶通濾波器1)模擬低通模擬低通HLP(s)-模擬帶通模擬帶通Hbp(p)2)模擬帶通模擬帶通Hbp(p)-數(shù)字帶通數(shù)字帶通HBP(z)雙線性變換：雙線性變換：p是模擬帶通拉氏變量，是模擬帶通拉氏變量， 模擬帶通中心頻率，模擬帶通中心頻率，c系數(shù)系數(shù))1336(20pps0)1396(1111zzcp參數(shù)的確定參數(shù)的確定：(見見p274圖圖6-27)1) c: 帶通數(shù)字化的雙線性變換中，帶通數(shù)字化的雙線性變換中，帶通的中心頻率對(duì)應(yīng)帶通的中心頻率對(duì)應(yīng)，則則2)模擬帶通中心頻率模擬帶通中心頻率)1456(2cot00c)1386()

50、1376(12210Bc)1426(2tan2tan2tan2102)1436(2tan2tan12cc00cB11-a1011-a1201B011-a1102圖圖6-27模擬低通模擬低通-模擬帶通模擬帶通-數(shù)字帶通的幅頻特性關(guān)系數(shù)字帶通的幅頻特性關(guān)系模擬低通模擬低通模擬帶通模擬帶通數(shù)字帶通數(shù)字帶通 簡(jiǎn)并方法：簡(jiǎn)并方法：模擬頻帶轉(zhuǎn)換模擬頻帶轉(zhuǎn)換s-p和數(shù)字化和數(shù)字化p-z合并合并設(shè)設(shè))1406(112212022022202zzcczccs)1476(cos22cos2cos2201212202202ccE)1466(2cot12202cccD則則數(shù)字帶通濾波器數(shù)字帶通濾波器為為)1486(1

51、1212zEzzDs)1496()()(21211zEzzDsLPsHzH綜上，數(shù)字帶通濾波器的綜上，數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟：1)確定目標(biāo)確定目標(biāo)數(shù)字帶通參數(shù)數(shù)字帶通參數(shù)：截止：截止 1、 2及及a a1；2)確定確定模擬帶通參數(shù)模擬帶通參數(shù)：截止：截止 及及a a1 設(shè)定設(shè)定 ;確定確定c;由由 1、 2計(jì)算計(jì)算 ;計(jì)算計(jì)算 c3)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：根據(jù)：根據(jù) c、a a1及阻帶最大值設(shè)計(jì)及阻帶最大值設(shè)計(jì)HLP(s)(見見6.8)4)轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換：據(jù)據(jù)(6-149)式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶通濾波器式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶通濾波器21021(3)數(shù)字帶阻濾波器數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計(jì)

52、思想和過程與前述相似設(shè)計(jì)思想和過程與前述相似1)模擬低通模擬低通HLP(s)-模擬帶阻模擬帶阻Hbr(p)2)模擬帶阻模擬帶阻Hbr(p)-數(shù)字帶阻數(shù)字帶阻HBR(z)雙線性變換：雙線性變換：p是模擬帶阻拉氏變量，是模擬帶阻拉氏變量， 模擬帶阻中心頻率，模擬帶阻中心頻率，c系數(shù)系數(shù))1516(20220pps0)1586(1111zzcp參數(shù)的確定參數(shù)的確定：(見見p278圖圖6-30)1) c: 數(shù)字化的雙線性變換中，數(shù)字化的雙線性變換中，帶阻中心頻率對(duì)應(yīng)帶阻中心頻率對(duì)應(yīng)，則，則2)模擬帶阻中心頻率模擬帶阻中心頻率)1646(2cot00c)1386()1376(2112210cB)1616

53、(2tan2tan2tan21020圖圖6-30模擬低通模擬低通-模擬帶阻模擬帶阻-數(shù)字帶阻的幅頻特性關(guān)系數(shù)字帶阻的幅頻特性關(guān)系0c11-a1102模擬低通模擬低通011-a1201B模擬帶阻模擬帶阻011-a1數(shù)字帶阻數(shù)字帶阻簡(jiǎn)并方法：簡(jiǎn)并方法：模擬頻帶轉(zhuǎn)換模擬頻帶轉(zhuǎn)換s-p和數(shù)字化和數(shù)字化p-z合并合并設(shè)設(shè))1596(21)()1 (2120220220220zzccczcs)1666(cos22cos2cos22012122022021ccE)1656(2tan12202201cccD則則數(shù)字帶阻濾波器數(shù)字帶阻濾波器為為)1676(1)1 (21121zzEzDs)1686()()(21

54、1211)1(zzEzDsLPsHzH綜上，數(shù)字帶阻濾波器的綜上，數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟：1)確定目標(biāo)確定目標(biāo)數(shù)字帶阻參數(shù)數(shù)字帶阻參數(shù)：截止：截止 1、 2及及a a1；2)確定確定模擬帶阻參數(shù)模擬帶阻參數(shù)：截止：截止 及及a a1 設(shè)定設(shè)定 ;確定確定c;由由 1、 2計(jì)算計(jì)算 ;計(jì)算計(jì)算 c3)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：根據(jù)：根據(jù) c、a a1及阻帶最大值設(shè)計(jì)及阻帶最大值設(shè)計(jì)HLP(s)(見見6.8)4)轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換：據(jù)據(jù)(6-168)式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器21021(4)數(shù)字高通濾波器數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)思想和過程與前述相似設(shè)計(jì)思想和過程與

55、前述相似1)模擬低通模擬低通HLP(s)-模擬高通模擬高通Hhp(p)2)模擬高通模擬高通Hhp(p)-數(shù)字高通數(shù)字高通HHP(z)雙線性變換：雙線性變換：p模擬高通拉氏變量，模擬高通拉氏變量， 模擬高通截止頻率，模擬高通截止頻率，c系數(shù)；系數(shù)； c模擬低通截止頻率，模擬低通截止頻率， c=1或或= )1706( pscccc)1736(1111zzcp參數(shù)的確定參數(shù)的確定：(見見p283圖圖6-34)1) c: 數(shù)字化的雙線性變換中，數(shù)字化的雙線性變換中，高通截止頻率對(duì)應(yīng)高通截止頻率對(duì)應(yīng)，則，則2) c=1或或 c= c=1為歸一化設(shè)計(jì)（常用）為歸一化設(shè)計(jì)（常用）2cotcccc圖圖6-34

56、模擬低通模擬低通-模擬高通模擬高通-數(shù)字高通的幅頻特性關(guān)系數(shù)字高通的幅頻特性關(guān)系0c11-a1c模擬低通模擬低通0c11-a1模擬高通模擬高通0數(shù)字高通數(shù)字高通11-a1簡(jiǎn)并方法：簡(jiǎn)并方法：模擬頻帶轉(zhuǎn)換模擬頻帶轉(zhuǎn)換s-p和數(shù)字化和數(shù)字化p-z合并合并設(shè)設(shè)則數(shù)字高通濾波器則數(shù)字高通濾波器為為)1746(11111111zzczzcscccc)1756()()(1111)1zzCsLPHPsHzH)1766(2tan1cccccC綜上，數(shù)字高通濾波器的綜上，數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟：1)確定目標(biāo)確定目標(biāo)數(shù)字高通參數(shù)數(shù)字高通參數(shù)：截止：截止 c及及a a1；2)確定確定模擬高通參數(shù)模擬高通參

57、數(shù)：截止：截止 及及a a1 設(shè)定設(shè)定 ;確定確定c;計(jì)算計(jì)算 c=1或或=3)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：根據(jù)：根據(jù) c、a a1及阻帶最大值設(shè)計(jì)及阻帶最大值設(shè)計(jì)HLP(s)(見見6.8)4)轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換：據(jù)據(jù)(6-175)式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通濾波器式直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通濾波器ccc2、方法、方法2：模擬低通數(shù)字化，再數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換模擬低通數(shù)字化，再數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換(1)設(shè)模擬低通已設(shè)計(jì)，設(shè)模擬低通已設(shè)計(jì)，模擬低通數(shù)字化模擬低通數(shù)字化：沖擊響應(yīng)不變、：沖擊響應(yīng)不變、雙線性變換等實(shí)現(xiàn)；雙線性變換等實(shí)現(xiàn)；(2)將數(shù)字低通轉(zhuǎn)換為希望的數(shù)字濾波器：兩將數(shù)字低通轉(zhuǎn)換為希望的數(shù)字濾波器：兩z平面的映平面的映射變換，即用數(shù)學(xué)式關(guān)聯(lián)兩變量，實(shí)現(xiàn)射變換，即用數(shù)學(xué)式關(guān)聯(lián)兩變量，實(shí)現(xiàn)數(shù)字頻帶變換數(shù)字頻帶變換。下面給出數(shù)字低通到其他下面給出數(shù)字低通到其他數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的頻帶轉(zhuǎn)