第10講根軌跡分析

1、三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)Basis of Control Engineering任課教師：李建民任課教師：李建民電電 話：話：1534518343915345183439教學(xué)方式：講授為主教學(xué)方式：講授為主學(xué)習(xí)方式：聽(tīng)課學(xué)習(xí)方式：聽(tīng)課+ +自學(xué)自學(xué)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院第五章第五章 根軌跡分析根軌跡分析教學(xué)要求：（教材第七章）教學(xué)要求：（教材第七章）基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：根軌跡的概念根軌跡的概念；根軌跡圖的繪制根軌跡圖的繪制；利用根軌跡進(jìn)行控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)；利用根軌跡進(jìn)行控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)；PID控控制器設(shè)計(jì)制器設(shè)計(jì)基本要求：基本要求：熟練

2、掌握熟練掌握根軌跡圖的繪制及控制根軌跡圖的繪制及控制器設(shè)計(jì)方法器設(shè)計(jì)方法三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院.1 .1 根軌跡的概念根軌跡的概念根軌跡法：根軌跡法：通過(guò)通過(guò)“開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)”的零、極點(diǎn)的零、極點(diǎn)分布來(lái)研究分布來(lái)研究“閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)”的極點(diǎn)分布。的極點(diǎn)分布。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)零、極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念“開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)”零、極點(diǎn)位置零、極點(diǎn)位置閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)際極點(diǎn)位置實(shí)際極點(diǎn)位置Y(s)R(s)G(s)+-K根軌跡法根軌跡法參數(shù)參數(shù)K K從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,閉環(huán)系

3、統(tǒng)特征方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在的根在s s平面上變化的軌跡平面上變化的軌跡根軌跡。根軌跡。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念G(s)R(s)Y(s)+-K sKGsKGsRsYsT 1圖5.1 參數(shù)K可調(diào)的閉環(huán)控制系統(tǒng) nmpspspspszszszszssG 321321三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院根軌跡法的基本思路根軌跡法的基本思路 根軌跡法是一種根軌跡法是一種基于圖解基于圖解的控制系統(tǒng)分的控制系統(tǒng)分析及設(shè)計(jì)方法。析及設(shè)計(jì)方法。 其基本思想其基本思想是不通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算（不求是不通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算（不求解系統(tǒng)的特征方程），解系統(tǒng)的特征方

4、程），采用盡量簡(jiǎn)單、采用盡量簡(jiǎn)單、必要的計(jì)算，必要的計(jì)算，來(lái)得到閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的來(lái)得到閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的曲線，曲線，進(jìn)而得到控制器的設(shè)計(jì)進(jìn)而得到控制器的設(shè)計(jì)。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念例例5.1：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K 21 ss系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)K K從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,特征方程的根特征方程的根在在s s平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念K1j-20K2K1KeK2nn閉環(huán)極點(diǎn)的根開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根三

5、江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念Y(s)R(s)G(s)+-K 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)隨參數(shù)變化而變化隨參數(shù)變化而變化在在s s平面上平面上所形成軌跡所形成軌跡根軌跡根軌跡。開(kāi)環(huán)零極開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)構(gòu)型點(diǎn)構(gòu)型閉環(huán)根軌閉環(huán)根軌跡構(gòu)型跡構(gòu)型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念Y(s)R(s)G(s)+-K 參數(shù)參數(shù)K K從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,閉環(huán)系統(tǒng)特征方閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在程的根在s s平面上變化的軌跡平面上變化的軌跡根軌跡。根軌跡。 123123mnszszszszG sspspspsp

6、三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念1 1、根軌跡的條數(shù)（、根軌跡的條數(shù)（閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)）：）： 011321321 nmpspspspszszszszsKsKG 02121 mnzszszsKpspsps根軌跡的條數(shù)根軌跡的條數(shù)=開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念2 2、根軌跡的起點(diǎn)（、根軌跡的起點(diǎn)（K K0 0）：）： 011321321 nmpspspspszszszszsKsKG 02121 mnzszszsKpspsps根軌跡的起點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)=開(kāi)環(huán)系統(tǒng)

7、極點(diǎn)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 1200nKspspsp 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，有限零點(diǎn)，有限零點(diǎn)m m條條）：）： 011321321 nmpspspspszszszszsKsKG 02121 mnzszszsKpspsps根軌跡的終點(diǎn)根軌跡的終點(diǎn)=開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有限零點(diǎn)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有限零點(diǎn) 02121 mnzszszsKpspsps 120mKszszsz 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)

8、限零點(diǎn)） 012121 nmpspspszszszsK011111112121 spspspsszszszsKnnmm111101nmjijin mKpzss根軌跡沿根軌跡沿一組一組漸進(jìn)漸進(jìn)線線趨近無(wú)趨近無(wú)窮零點(diǎn)窮零點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)） mnAmiinjjmnsszps 111 smnssssAmnmnAmnmnA 11mnzpmiinjjA 11 漸進(jìn)線中心三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念3 3、根軌

9、跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）漸進(jìn)線中心求取102Ks s212A 211024K ss ss4*22 133A 1024Ks ss2423A 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念 01112121 mnAnmsKpspspszszszsK 20,1,.,1AAqsqnmnm ,21112 qesKqjmnA 3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（

10、K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）n-m漸進(jìn)線相角漸進(jìn)線相角12342AAqsnm A,22A, ,33A33,4444A三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念1102K ss s3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）漸進(jìn)線相角求?。ㄒ浑A）101KsAA1102K ss sA三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念4102K ss s3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）漸進(jìn)線相角求?。ㄒ浑A）A根軌跡一定是連續(xù)

11、的根軌跡一定是連續(xù)的三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念211024K ss ss3 3、根軌跡的終點(diǎn)（、根軌跡的終點(diǎn)（K K，n-mn-m條，無(wú)限零點(diǎn)條，無(wú)限零點(diǎn)）漸進(jìn)線相角求?。ǘA或以上）102Ks s,22A, ,33A11024s ss, ,33A三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念4 4、根軌跡主要繪制手段：、根軌跡主要繪制手段： 復(fù)數(shù)的運(yùn)算，幾何觀點(diǎn)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，幾何觀點(diǎn)根軌跡方程：根軌跡方程： 101F sKG sKG s 幅值條件：幅值條件： 1 sKG相角條件：相角條件： 20,1,2,K

12、G snn三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 根軌跡的概念根軌跡的概念根軌跡方程：根軌跡方程： 101KG sKG s 幅值條件：幅值條件： 1K G s相角條件：相角條件： 20,1,2,F sKG snn 1231231mnszszszszKspspspsp 12121K sz szsp sp12122szszspspn 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟1 1：將特征方程化為：將特征方程化為： 10KG s步驟步驟2 2：如有必要，將另一乘積因子如有必要，將另一乘積因子G(s)G(s)化為化為零點(diǎn)、

13、極點(diǎn)形式，即零點(diǎn)、極點(diǎn)形式，即 ： 0111 NjjMiipszsK三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法32320sssK 910s sK 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟3 3：用相應(yīng)的符號(hào)在用相應(yīng)的符號(hào)在s s平面上標(biāo)出開(kāi)環(huán)極點(diǎn)平面上標(biāo)出開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。和零點(diǎn)。 j j -4-40 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院繪制根軌跡的繪制根軌跡的1212個(gè)步驟個(gè)步驟步驟步驟4 4：確定實(shí)軸上的根軌跡段。確定實(shí)軸上的根軌

14、跡段。 若實(shí)軸上某一段右邊的若實(shí)軸上某一段右邊的“開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)”零點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為和極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)奇數(shù)，則該實(shí)軸段為根軌跡，則該實(shí)軸段為根軌跡段。段。 j j s sP P1 1 1 1 2 2P P2 2 3 3=0=0P P3 3 4 4= = P P4 4021 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院繪制根軌跡的繪制根軌跡的1212個(gè)步驟個(gè)步驟步驟步驟4 4：確定實(shí)軸上的根軌跡段。確定實(shí)軸上的根軌跡段。 若實(shí)軸上某一段右邊的若實(shí)軸上某一段右邊的“開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)”零點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為和極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)奇數(shù)，則該實(shí)軸段為根軌跡，則該實(shí)軸段為根軌跡段。段。 12122s

15、zszspspn 020三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟5 5：確定根軌跡的條數(shù)。確定根軌跡的條數(shù)。 根軌跡起始于極點(diǎn)，終止于零點(diǎn)根軌跡起始于極點(diǎn)，終止于零點(diǎn)，而極點(diǎn)，而極點(diǎn)的個(gè)數(shù)通常都大于零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此根軌跡的的個(gè)數(shù)通常都大于零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此根軌跡的條數(shù)等于極點(diǎn)的個(gè)數(shù)條數(shù)等于極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 步驟步驟6 6：復(fù)根必須以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，因此復(fù)根必須以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，因此根軌跡必然是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。根軌跡必然是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院步驟步驟7 7：畫出漸進(jìn)線。畫出漸進(jìn)線。根軌跡將沿一組漸

16、近線根軌跡將沿一組漸近線趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法2AAqsnm mnzpmiinjjA 11 漸近線中心：漸近線中心：漸近線相角：漸近線相角：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟8 8：如果根軌跡通過(guò)虛軸，則用如果根軌跡通過(guò)虛軸，則用Routh-Routh-HurwitzHurwitz判據(jù)確定根軌跡虛軸的交點(diǎn)。判據(jù)確定根軌跡虛軸的交點(diǎn)。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) j j 0 0虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2

17、 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟8 8：如果根軌跡通過(guò)虛軸，則用如果根軌跡通過(guò)虛軸，則用Routh-Routh-HurwitzHurwitz判據(jù)確定根軌跡虛軸的交點(diǎn)。判據(jù)確定根軌跡虛軸的交點(diǎn)。Y(s)R(s)+-K124s ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟9 9：確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)( (如果如果有的話有的話) )。 分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）一定是重根分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）一定是重根開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) j j 0 0分離點(diǎn)分離點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)

18、械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)：實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)： KASA 110B sKG sKA s 032 nAqsqsss 032 AssnAqsqsssdsd )(20 sKBsA )(10 sKBsASA一定能同時(shí)滿足方程一定能同時(shí)滿足方程(1)(2)成立成立三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)：實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)：KASA1）B(s)=0，則通過(guò)，則通過(guò)尋找分離點(diǎn)尋找分離點(diǎn)SA。 0 sA AssAsBsAK /三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)

19、院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法分離點(diǎn)的求取，例分離點(diǎn)的求取，例1R(s)Y(s)+-K 21 ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法分離點(diǎn)的求取，例分離點(diǎn)的求取，例2Y(s)R(s)+-K124s ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)：實(shí)軸上的分離點(diǎn)或者會(huì)合點(diǎn)：KASA2）B(s) 0，則通過(guò)，則通過(guò)尋找分離點(diǎn)尋找分離點(diǎn)SA。 0 sBsAsBsA AAssssAsBsAsBsAK /三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三

20、江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法分離點(diǎn)的求取，例分離點(diǎn)的求取，例3 Y(s)R(s)+-K42ss s三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法例例:設(shè)計(jì)控制器設(shè)計(jì)控制器Gc(s)和，使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響和，使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)量小于應(yīng)超調(diào)量小于5%，調(diào)節(jié)時(shí)間小于秒。，調(diào)節(jié)時(shí)間小于秒。Y(s)R(s)+-K12s sGc(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟1010：應(yīng)用相角條件，確定根軌跡在極點(diǎn)處應(yīng)用相角條件，確定根軌跡在極點(diǎn)處

21、的出射角和到零點(diǎn)處的入射角。的出射角和到零點(diǎn)處的入射角。j開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)出射角出射角三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟1010：應(yīng)用相角條件，確定根軌跡在極點(diǎn)處應(yīng)用相角條件，確定根軌跡在極點(diǎn)處的出射角和到零點(diǎn)處的入射角。的出射角和到零點(diǎn)處的入射角。j開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)入射角入射角三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法例例1：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-9 ass 1系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)a a從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,特

22、征方程的根特征方程的根在在s s平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法例例2：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K2212 ss系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)K K從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,特征方程的根特征方程的根在在s s平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法例例3 3：三階系統(tǒng)：三階系統(tǒng) j j 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)- -p p3 3- -p p1 1- -p

23、 p2 29090 3 3 3 3出射向量出射向量 223112nnKG s H sspss 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法步驟步驟1111：確定滿足相角條件的所有閉環(huán)根確定滿足相角條件的所有閉環(huán)根s sx x的的位置位置x=1x=1，2,2,，n np p。相角條件為：相角條件為： 21 2G sqq, , 步驟步驟1212：應(yīng)用幅值條件，確定與閉環(huán)根應(yīng)用幅值條件，確定與閉環(huán)根s sx x對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的參數(shù)K Kx x的取值。的取值。由由s sx x處的幅值條件可得：處的幅值條件可得： MiiNjjzspsK11三江學(xué)院機(jī)械

24、工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院手工繪制根軌跡圖的手工繪制根軌跡圖的1212個(gè)步驟個(gè)步驟1.寫出特征方程，將所關(guān)心的參數(shù)K化為一個(gè)乘積因子2.將另一乘積因子P(s)寫成np個(gè)極點(diǎn)和nz個(gè)零點(diǎn)的形式3. 在s平面上用特定的符號(hào)標(biāo)記P(s)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。x=極點(diǎn)，=零點(diǎn)，或=特征方程的根，根軌跡始于極點(diǎn)、終于零點(diǎn)。4. 確定實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上的根軌跡位于奇數(shù)個(gè)有限零極點(diǎn)的左側(cè)。 01 sKP 1110zpniinjjszKsp pznn 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院手工繪制根軌跡圖的手工繪制根軌跡圖的1212個(gè)步驟個(gè)步驟8. 如果根軌跡通過(guò)虛軸，則用Routh-Hurwitz判據(jù)確定

25、根軌跡虛軸的交點(diǎn)。5. 確定根軌跡的條數(shù)SL當(dāng)np nz時(shí)，SL=np，其中np為有限極點(diǎn)數(shù)目、nz為有限零點(diǎn)數(shù)目。6.根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 5. 根軌跡將沿漸近線趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為A ，與實(shí)軸的交角為A Routh判定表 11pznnjijiApzpzn n 211800121, , ,Apzpzqnnqnn 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院手工繪制根軌跡圖的手工繪制根軌跡圖的1212個(gè)步驟個(gè)步驟9.確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)(如果有的話)(a)A(s)+KB(s)=0(b)A(s)+KB(s)=0K=-A(s)/B(s)(c)A(s)B(s)-A(s)B(s)=01

26、0. 應(yīng)用相角條件，確定根軌跡在復(fù)極點(diǎn)處的出射角和到達(dá)復(fù)零點(diǎn)處的入射角。對(duì)于s=zi或者s=pj，其相角為11. 確定滿足相角條件的根軌跡在根sx 處，有12. 確定與閉環(huán)根sx對(duì)應(yīng)的參數(shù)Kx的取值。 180360Gsq 180360G sq xssMiiNjjxzspsK 11/三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.1：二階系統(tǒng)的根軌跡：二階系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K 114121 sss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 j j -4-40 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) p p5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌

27、跡舉例三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.2：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K 21 ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.3：4階系統(tǒng)：階系統(tǒng)： 給定單環(huán)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為：給定單環(huán)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為： 242111 ssssKsHsG三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.3：4階系統(tǒng)的根軌跡圖階系統(tǒng)的

28、根軌跡圖 j j -4-40 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1-1-3-36 . 2 As91. 1 K三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.4：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K 21 ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.5：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K 421 ss三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.4：4階系統(tǒng)：階系統(tǒng)： 給定單環(huán)反饋

29、控制系統(tǒng)的特征方程為：給定單環(huán)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為： 242111 ssssKsHsG三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.4：4階系統(tǒng)的根軌跡圖階系統(tǒng)的根軌跡圖 j j -4-40 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1-1-3-36 . 2 As91. 1 K三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.4：4階系統(tǒng)的根軌跡圖階系統(tǒng)的根軌跡圖 j j -4-40 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1-1-3-3三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制

30、根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.5：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡R(s)Y(s)+-K=9 ass 1系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)a a從零變到正無(wú)窮大時(shí)從零變到正無(wú)窮大時(shí), ,特征方程的根特征方程的根在在s s平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.6：4階系統(tǒng)：階系統(tǒng)： 給定單環(huán)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為：給定單環(huán)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為：012864121234 ssssK 0444441 jsjsssK三江學(xué)院機(jī)

31、械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.7：三階系統(tǒng)：三階系統(tǒng)R(s)Y(s)+- 21 sssK31 s三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.7：三階系統(tǒng)的根軌跡：三階系統(tǒng)的根軌跡j開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-3-1三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.7：三階系統(tǒng)：三階系統(tǒng)R(s)Y(s)+- 21 sssK31 s三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例例5.85.8：三階系統(tǒng)：三階系統(tǒng) j j 開(kāi)環(huán)

32、極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)- -p p3 3- -p p1 1- -p p2 29090 3 3 3 3出射向量出射向量 2232nnsspsKsHsGsF 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 Matlab根軌跡的繪制例例5.9：根軌跡的繪制G=zpk(,-1 -3 -6,1)rlocus(G)gridR(s)Y(s)+-E(s) 631 sssK三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 Matlab根軌跡的繪制1、根軌跡的繪制G=zpk(,-1 -3 -6,1)rlocus(G)gridR(s)Y(s)+-E(s) 631 sssK等阻尼(等)線等頻率(等n)線三江學(xué)院機(jī)

33、械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 Matlab根軌跡的繪制例例5.10：根軌跡的繪制G=zpk(-1 -3,0 0 0,1)rlocus(G)gridR(s)Y(s)+-E(s) 331sssK 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.3 Matlab根軌跡的繪制1、根軌跡的繪制G=zpk(-1 -3,0 0 0,1)rlocus(G)gridR(s)Y(s)+-E(s) 331sssK 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 5.4 根軌跡構(gòu)型研究根軌跡構(gòu)型研究根軌跡法：根軌跡法：PP322PP322，表，表7.77.7開(kāi)環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)構(gòu)型零、極點(diǎn)構(gòu)型閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡構(gòu)

34、型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 5.4 根軌跡構(gòu)型研究根軌跡構(gòu)型研究根軌跡構(gòu)型研究G=tf(1,1 2 0)sisotool(G)gridR(s)Y(s)+-E(s)2Ks s三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.4 5.4 根軌跡構(gòu)型研究根軌跡構(gòu)型研究1 1、一階系統(tǒng)、一階系統(tǒng)2 2、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)3 3、三階系統(tǒng)、三階系統(tǒng)1spszsp121spsp12szspsp1212szszspsp1231spspsp三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.5 5.5 根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例例例1：設(shè)計(jì)控制器參數(shù)：設(shè)計(jì)控制器參數(shù)K、p、z，使閉環(huán)系統(tǒng)滿，使閉

35、環(huán)系統(tǒng)滿足：足：1）超調(diào)量小于）超調(diào)量小于5%；2）調(diào)節(jié)時(shí)間小于）調(diào)節(jié)時(shí)間小于1秒。秒。R(s)Y(s)+-E(s) 21 sspszsK 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.5 5.5 根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例例例2：設(shè)計(jì)控制器參數(shù)：設(shè)計(jì)控制器參數(shù)K、z，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：1）超調(diào)量小于）超調(diào)量小于5%；2）調(diào)節(jié)時(shí)間小于）調(diào)節(jié)時(shí)間小于1秒。秒。R(s)Y(s)+-E(s) 21 ss zsK 比例微分控制器(PD) sKKsGdpc teKteKtudp 三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院5.5 5.5 根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例根軌跡法設(shè)計(jì)實(shí)例R(s)Y(s)+-Gc(s) 321 ss例例3：設(shè)計(jì)控制器：設(shè)計(jì)控制器Gc(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：1）調(diào)節(jié)時(shí)間小于調(diào)節(jié)時(shí)間小于1.6秒。秒。2)對(duì)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為為0。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院PID控制器控制器PID控制系統(tǒng) sKsKKsGdi