第6節(jié)無窮小量的比較ppt課件

1、一、無窮小量的比較一、無窮小量的比較二、等價無窮小量代換二、等價無窮小量代換引引 兩個無窮小量的和、差與乘積仍是無窮小量，兩個無窮小量的和、差與乘積仍是無窮小量，但是兩個無窮小量的商，會出現(xiàn)什么情況？但是兩個無窮小量的商，會出現(xiàn)什么情況？ 一、無窮小量的比較一、無窮小量的比較 觀察下列極限xxx3lim20 xxxsinlim0, 0 , 1 當(dāng) x 0時, 3x, x2, sinx都是無窮小,203lim,xxx 上述極限中, 分子、分母都是無窮小, 但不同比的極限各不相同, 反映了不同的無窮小趨于零的“快慢水平.下面給出無窮小量比較的幾個概念.定義定義1 1 ,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過程中的

2、無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小, ,0lim（1假假設(shè)設(shè)則稱則稱 是比是比 高階的無窮高階的無窮小小,)(o,lim（2假假設(shè)設(shè)（3假假設(shè)設(shè),0limC記作記作則稱則稱 是比是比 低階的無窮低階的無窮小小;則稱則稱 是是 的同階無窮小的同階無窮小;（4假假設(shè)設(shè))0( ,0limkCk則稱則稱 是是 的的k階無窮小階無窮小., 1lim假假設(shè)設(shè)或或則稱則稱 是是 的等價無窮的等價無窮小小,記作記作例如例如 , 當(dāng)當(dāng))(o0 x時時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x時時xcos1是關(guān)于是關(guān)于

3、 x 的二階無窮小的二階無窮小,xcos1221x且且例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng)當(dāng), ea 時時, 有有0 x)1ln(x1xexx1)1ln(lim0 xxx. 11lim0 xexx例例3. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 x時時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當(dāng) x11nxxn1nnba)(b

4、a1(naban 2)1nbsin, arcsin,xxxx常用的等價無窮?。寒?dāng)常用的等價無窮?。寒?dāng)x x 0 0時時tan, arctan,xxxxln(1) ,xx,ln)1 (logaxxaaxaxln1111,nxxn+-211 cos,2xx1,xex1 cosx222x()11.xxaa+-一一般般形形式式) 0)()()(1ln(xfxfxf如如其他公式類似其他公式類似10sinxax如如cos1, 03xx1231523xx時，時，0 x)23(5123xx axlnsin26x定理定理1 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中, , ,lim 且存在，則且存在，則

5、limlim.二、等價無窮小量代換二、等價無窮小量代換lim)lim(limlimlim lim .證證例例4 4 求求解解 因為當(dāng)因為當(dāng) .2tansinlim0 xxx,22tan,sin,0 xxxxx時所以所以.212lim2tansinlim00 xxxxxx例例5 5 求求解解.3tanlim20 xxxx.313lim3tanlim2020 xxxxxxxx例例6 6 求求解解.sintanlim30 xxxx210,1 cos,2xxx時故故3300tan1 costansinlimlimxxxxxxxx32021limxxxx.2130limxxxx原式注意：等價無窮小替換忌

6、注意：等價無窮小替換忌“加減加減”。即對于代數(shù)和。即對于代數(shù)和各各 無窮小不能分別替換。無窮小不能分別替換。231x221x例例7. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當(dāng) x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32.sinlimsin0 xxeeIxxx解解: .sin1limsinsin0 xxeeIxxxxxxexxsin1sin1例例9. 求求例例8 83220sin)1ln() 12)(cos1 (limxxxxx32402ln2limxxxxx.22ln例例10. 求求. )1(lim2xxxx解解 ) 111(lim22xxx2221limxxx2122121111xx 作作 業(yè)業(yè) P57 3, 4例例11.113tan21lnlim3220 xxxxxIxuu2111解解32203tan21lnlim2xxxxxIx3tan21lnlim2322320 xxxxxxxx10)32(2xx221ln2233tanxx32lim23223220 xx