醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)—數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述正態(tài)分布及其應(yīng)用

1、數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用2主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 頻數(shù)分布頻數(shù)分布2.2 集中趨勢集中趨勢2.3 離散趨勢離散趨勢2.4 正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用32.1 頻數(shù)分布頻數(shù)分布頻數(shù)分布表的概念頻數(shù)分布表的編制方法頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的類型頻數(shù)分布表的用途4 例例2.1某地某地2004年抽樣調(diào)查年抽樣調(diào)查 100名男大學(xué)生的身高名男大學(xué)生的身高(cm)5一、頻數(shù)分布表的概念一、頻數(shù)分布表的概念當(dāng)樣本含量 n 較大時，為了解樣本中觀察值的分布規(guī)律和便于指標(biāo)計算，可編制頻數(shù)分布表，簡稱頻數(shù)表（頻數(shù)表（frequency table）。頻數(shù)：頻

2、數(shù)：對某一隨機現(xiàn)象進行重復(fù)觀察，或測量大量個體的某項特征，其中某個或某一組變量值出現(xiàn)的次數(shù)。頻數(shù)表：頻數(shù)表：將各變量值與其相應(yīng)的頻數(shù)列成表格形式即為頻數(shù)表。6二、頻數(shù)表的編制二、頻數(shù)表的編制p編制頻數(shù)表時不可能把所有的變量值及其相應(yīng)頻數(shù)都列出來，特別是當(dāng)樣本例數(shù) n 較大時，此時需要根據(jù)變量的取值范圍劃分為若干個組段，再匯總各組段的頻數(shù)。p具體步驟如下：以例2.1資料為例。7全距(或極差，range)是最大值與最小值之差，用 R 表示。例2.1中，最大值為183.5cm，最小值為162.9cm， 故R =183.5-162.9=20.6（cm）。1. 求全距求全距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制數(shù)值變

3、量資料頻數(shù)表的編制8組段數(shù)：組段數(shù)：根據(jù)樣本含量的多少確定，一般設(shè)813個組段。組距：組距：各組段的起點和終點分別稱為下限和上限，相鄰兩組段的下限之差(或每一組段的上、下限之差)稱為組距組距。一般取等距分組，常用全距的1/10取整做組距。某組段(下限+上限)/2為組中值。劃分組段：劃分組段：各組段應(yīng)是連續(xù)的，不能有交叉或重疊。第一組段應(yīng)包括最小值；最末組段應(yīng)包括最大值，并同時寫出其下限與上限。例2.1中，全距的1/10為 20.6/10 = 2.06，組距取整為2.0cm ；最小值為162.9cm，故第一組段的下限為162cm，第二組段的下限為164cm，依次類推，最末組段為182cm184c

4、m，包含最大值183.5cm 。 2. 確定組段和組距確定組段和組距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制93. 列出頻數(shù)表列出頻數(shù)表采用計算機或劃記法將原始數(shù)據(jù)匯總，得出各組段的觀察例數(shù)，即頻數(shù)，把各組段（或各觀察值）及其相應(yīng)的頻數(shù)列表即為頻數(shù)表 。注意：注意：最末組段應(yīng)寫出上、下限，其余組段只包最末組段應(yīng)寫出上、下限，其余組段只包含下限，不包含上限。含下限，不包含上限。 數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制102011三、頻數(shù)分布的特征三、頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的兩個重要特征： 1. 集中趨勢集中趨勢（central tendency）：身高向中央部分集中，以中等身高

5、居多(172cm組段)，此為集中趨勢。反映集中位置或平均水平。 2. 離散程度離散程度（tendency of dispersion）：由中等身高到較矮或較高的頻數(shù)分布逐漸減少，反映了身高的離散程度。對于數(shù)值變量資料，應(yīng)用集中趨勢集中趨勢和離散程度離散程度二者結(jié)合起來分析其分布規(guī)律。 12圖圖 某地某地100名名18 歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布集中趨勢集中趨勢離散程度離散程度13四、頻數(shù)分布的類型四、頻數(shù)分布的類型對稱分布：對稱分布：指頻數(shù)分布的集中位置在中間，左右兩側(cè)大致對稱。偏態(tài)分布：偏態(tài)分布：指頻數(shù)分布不對稱，集中位置偏向一側(cè)：集中位置偏向數(shù)值小的一側(cè)，稱為正偏態(tài)分

6、布正偏態(tài)分布； 集中位置偏向數(shù)值大的一側(cè)，稱為負偏態(tài)分布負偏態(tài)分布。 如有害化學(xué)物質(zhì)在正常人體內(nèi)的分布為正偏態(tài)分布；冠心病、大多數(shù)惡性腫瘤等慢性病患者的年齡分布為負偏態(tài)分布。不同的分布類型應(yīng)選用不同的統(tǒng)計分析方法。不同的分布類型應(yīng)選用不同的統(tǒng)計分析方法。 14圖圖2-1 某地某地100名名18歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布15五、頻數(shù)表的用途五、頻數(shù)表的用途頻數(shù)表可以揭示資料分布類型和分布特征，以便選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法；便于進一步計算指標(biāo)和進行統(tǒng)計分析；便于發(fā)現(xiàn)資料中的某些特大或特小的可疑值。當(dāng)樣本含量特別大時，可以頻率估計概率。作為資料的陳述形式。在文獻報告中，用頻數(shù)表既可直

7、觀地反映被研究事物的分布特征，又便于作進一步的分析研究。162.2 集中趨勢集中趨勢平均數(shù)平均數(shù)是一類用于描述數(shù)值變量資料集中趨勢的指標(biāo)，反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平或中心位置。統(tǒng)計上的平均數(shù)包括均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、調(diào)和均數(shù)等。17一、均數(shù)一、均數(shù)均數(shù)(mean)是算術(shù)均數(shù)(arithmetic mean)的簡稱。定義：定義：指所有觀察值的代數(shù)和除以觀察值的個數(shù)。符號：符號：樣本均數(shù)用 表示，總體均數(shù)用 (miu)表示。 應(yīng)用：應(yīng)用： 用于反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平，應(yīng)用 甚廣。 適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的數(shù)值變量資料。計算方法：計算方法：直接法 加權(quán)法 X 18p直接法：用于樣本

8、含量 n 較小時，公式為： 式中，希臘字母 (sigma)表示求和； 為各觀察值；n為樣本含量，即觀察值的個數(shù)。p例例2.2 某地隨機抽取某地隨機抽取10名名18歲健康男大學(xué)生身高歲健康男大學(xué)生身高(cm)分分別為別為168.7，178.4，170.0，170.4，172.1，167.6，172.4，170.7，177.3，169.7，求平均身高，求平均身高。 集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-均數(shù)均數(shù)-直接法直接法nXXXnXXn 21nXXX,2119p加權(quán)法：用于頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時，其公式為：p例例2.3 計算計算例例2.1表表2-1 資料資料100名男大學(xué)生的平均身

9、高。名男大學(xué)生的平均身高。 集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-均數(shù)均數(shù)-加權(quán)法加權(quán)法ffXfffXfXfXfXkkk 21221120幾何均數(shù)（geometric mean）定義：定義：指一組觀察值的乘積，再被觀察值個數(shù)開方。符號：符號：用 表示應(yīng)用：應(yīng)用：適用于 數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)變換后呈正態(tài)分布的（對數(shù)正態(tài)分布）資料；觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化（等比關(guān)系）的資料。如醫(yī)學(xué)實踐中的抗體滴度、平均效價等。計算方法：計算方法：直接法 頻數(shù)表法 G二、幾何均數(shù)二、幾何均數(shù)21例例2.4 有有6份血清的抗體效價為份血清的抗體效價為1:10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160, 求其平

10、均效價。求其平均效價。 集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-幾何均數(shù)幾何均數(shù)-直接法直接法nnXXXG21)lg(lg)lglglg(lgnXnXXXGn 1211或樣本含量樣本含量 n 較小時較小時22p計算公式：計算公式：p例例2.5 某地區(qū)某地區(qū)50名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗1個個月后，測其血凝抑制抗體滴度，如表月后，測其血凝抑制抗體滴度，如表2-2中中(1)、(2)欄，求平均抗體滴度。欄，求平均抗體滴度。集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-幾何均數(shù)幾何均數(shù)-頻數(shù)表法頻數(shù)表法)lg(lg)lglglg(lgfXffffXfXfXfGkkk 12122111頻

11、數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時23集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-幾何均數(shù)幾何均數(shù)-加權(quán)法加權(quán)法24注意：注意：計算幾何均數(shù)時觀察值中不能有0；一組觀察值中不能同時有正值和負值。集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-幾何均數(shù)幾何均數(shù)-加權(quán)法加權(quán)法57)758006. 1 (lg)509003.87(lg)lg(lg111fXfG即其血凝抗體滴度的平均滴度為1:57。25中位數(shù)（median）是一種位置指標(biāo)。定義：將一組觀察值按由小到大的順序排列后位次居中的數(shù)值就是中位數(shù)，小于和大于中位數(shù)的觀察值個數(shù)相等。符號：用 M 表示。應(yīng)用：用于描述任何分布，特別

12、是偏態(tài)分布資料以及頻數(shù)分布的一端或兩端無確切數(shù)據(jù)資料的中心位置。計算方法：直接法 頻數(shù)表法三、中位數(shù)三、中位數(shù)26p直接法：用于樣本含量 n 較小的資料。 n為奇數(shù)時， n為偶數(shù)時，p例例2.6 某病患者某病患者9名，其發(fā)病的潛伏期名，其發(fā)病的潛伏期(d)分別為：分別為： 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 9, 16，求發(fā)病潛伏期的中位數(shù)。，求發(fā)病潛伏期的中位數(shù)。 本例n=9，為奇數(shù)，故 （d）。 集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-中位數(shù)中位數(shù)-直接法直接法21 / )( nXM2122/ )(/nnXXM452) 1(XXMn27計算步驟計算步驟：按所分組段由小到大計算累計頻數(shù)和

13、累計頻率；確定中位數(shù)所在組段，即累計頻率包含50的組段；求中位數(shù)。 式中， 分別為中位數(shù)所在組段的下限、組距和頻數(shù)； 為小于L的各組段的累計頻數(shù)。 例例2.7 某疾病控制中心記錄了某疾病控制中心記錄了199名沙門氏菌屬食物中名沙門氏菌屬食物中毒患者發(fā)病的潛伏期毒患者發(fā)病的潛伏期(表表2-3)，計算平均發(fā)病潛伏期。，計算平均發(fā)病潛伏期。集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-中位數(shù)中位數(shù)-頻數(shù)表法頻數(shù)表法)%(LMfnfiLM 50MfiL ,Lf適用于適用于n 較大時較大時28集中趨勢的描述指標(biāo)集中趨勢的描述指標(biāo)-中位數(shù)中位數(shù)-頻數(shù)表法頻數(shù)表法29p例：分別取甲、乙、丙三人每人的耳垂血，然后紅細

14、胞例：分別取甲、乙、丙三人每人的耳垂血，然后紅細胞計數(shù)，每人數(shù)計數(shù)，每人數(shù)5個計數(shù)盤，得結(jié)果如下（萬個計數(shù)盤，得結(jié)果如下（萬/mm3）420440460480500520540560580離散趨勢離散趨勢甲甲乙乙丙丙30全距（range，簡記為 R）亦稱極差。定義：定義：指一組同質(zhì)觀察值中最大值與最小值之差。全距反映了個體差異的范圍：全距大，說明變異度大；反之，全距小，說明變異度小。應(yīng)用：應(yīng)用：簡單明了。常用于說明傳染病、食物中毒等的最短及最長潛伏期。公式：公式：R = xmax- - xmin不足不足：僅考慮了最大值與最小值之差 ，不能反映組內(nèi)其它觀察值的變異度；樣本含量越大，抽到較大或較小

15、觀察值的可能性越大，故全距可能越大。因此，樣本含量相差懸殊時不宜用全距比較。 一、全距一、全距31二、百分位數(shù)二、百分位數(shù)p百分位數(shù)（percentile）用 表示，0 x 100，是描述一組數(shù)據(jù)某百分位的位置指標(biāo)。 將全部觀察值分為兩部分，理論上有x的觀察值比它小，有(100-x)的觀察值比它大。p最常用的百分位數(shù)是 ，即中位數(shù)。p應(yīng)用：應(yīng)用：常與中位數(shù)結(jié)合應(yīng)用，可以描述一組資料在某百分位置上的水平，也可以描述資料的分布特征。 M - P5 = P95 M 時，分布近似對稱 M -P5 P95 M 時，分布呈負偏態(tài)xP50PxP32百分位數(shù)百分位數(shù)（percentile）p應(yīng)用：應(yīng)用：也可用

16、多個百分位數(shù)的結(jié)合來描述一組觀察值的分布特征，如 和 合用時，反映中間50%觀察值的分布情況； 百分位數(shù)可用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學(xué)參考值范圍。p注意：注意：應(yīng)用百分位數(shù)，樣本含量要足夠大，否則不宜取靠近兩端的百分位數(shù)。p計算公式：計算公式： 分別為 所在組段的下限、組距和頻數(shù)； 為小于L的各組段的累計頻數(shù)。 25P75P)%(LxxxfxnfiLP xxfiL , ,xPLf3338.33)101%70199(49/1224)%(70 LxxfxnfiLP 75.23)30%50199(71/1212)%50(50 LMfnfiLMP 百分位數(shù)百分位數(shù)47.57)178%95199(14/

17、1248)%(95 LxxfxnfiLP 98.3)0%5199(30/120)%(5 LxxfxnfiLP 34定義：定義：四分位數(shù)間距(quartile interval，Q ) 為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差(或 與 之差)。計算公式：計算公式：應(yīng)用：應(yīng)用：用于描述偏態(tài)分布以及分布的一端或兩端無確切數(shù)值資料或分布類型未知資料的離散程度。三、四分位數(shù)間距三、四分位數(shù)間距2575PPQQQLU75P25P35四分位數(shù)間距包括了一組觀察值的一半，故可把四分位數(shù)間距看成是中間50%觀察值的極差。意義：意義：Q 越大，變異度越大；反之，Q 越小，變異度越小。特點：特點：由于四分位數(shù)間距不受兩端個別極

18、大值或極小值的影響，因而它較全距穩(wěn)定，但仍未考慮全部觀察值的變異度 。 離散程度的描述指標(biāo)離散程度的描述指標(biāo)-四分位數(shù)間距四分位數(shù)間距36p極差和四分位數(shù)間距都只考慮了個別觀察值的大小差異，沒有全面反映每個觀察值的變異程度。p就總體而言，即應(yīng)考慮總體中每個觀察值 與總體均數(shù) 的差值( )，即離均差。p因離均差之和 ，不能反映變異度的大小，故用離均差平方和 (sum of squares of deviations from mean)反映之。離均差平方和的大小除與變異度有關(guān)外，還與變量值的個數(shù)N 有關(guān)。為了消除這一影響，取離均差平方和的均數(shù)，稱方差(variance)或均方(mean of s

19、quares)。四、方差四、方差XX0)(X2)( X37p計算公式：計算公式： 總體方差 樣本方差pn-1為自由度(degree of freedom)，一般用 (niu)表示。p因方差的度量單位是原度量單位的平方，故計算結(jié)果難以解釋。 離散程度的描述指標(biāo)離散程度的描述指標(biāo)-方差方差NX22)( 122nXXs)( 38p計算公式：計算公式： 總體標(biāo)準(zhǔn)差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差五、標(biāo)準(zhǔn)差五、標(biāo)準(zhǔn)差NX2)( 12nXXs)( 39樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差p離均差平方和 常用 或 表示。 直接法： 加權(quán)法： 2)(XX SSXXlnXXXXlSSXX/)()(2221/)(22nnXXs1/)(22fffXf

20、Xs01. 499100/1727029841241/)(222fffXfXs求表2-1中100名18歲男大學(xué)生身高的標(biāo)準(zhǔn)差。 100f17270fX29841242fX40意義：意義：標(biāo)準(zhǔn)差大，表示觀察值的變異度大； 反之，標(biāo)準(zhǔn)差小，表示觀察值的變異度小。應(yīng)用：應(yīng)用：適用于描述對稱分布資料尤其是正態(tài)分布資 料的離散程度。 結(jié)合均數(shù)，描述正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布規(guī) 律，用于估計醫(yī)學(xué)參考值范圍； 結(jié)合均數(shù)，計算變異系數(shù)； 結(jié)合樣本含量，計算標(biāo)準(zhǔn)誤，估計抽樣誤 差，用于統(tǒng)計推斷。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差41例題例題p甲：甲：n=5 x=2500 x2=1260400p乙：乙：n=5 x=2500 x2=1251000p丙：丙：n=5 x=2500 x2=125025099.50155/250012604001/)(222nnXXs甲甲81.15155/250012510001/)(222nnXXs乙乙91. 7155/250012502501/