第4章 傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析1ppt課件

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-1頁電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 一、正交函數(shù)集一、正交函數(shù)集 二、信號分解為正交函數(shù)二、信號分解為正交函數(shù)4.2 4.2 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù) 一、周期信號的分解一、周期信號的分解 二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 一、周期信號的頻譜一、周期信號的頻譜 二、周期矩形脈沖的頻譜二、周期矩形脈沖的頻譜 三、周

2、期信號的功率三、周期信號的功率4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 一、傅里葉變換一、傅里葉變換 二、奇異函數(shù)的傅里葉變換二、奇異函數(shù)的傅里葉變換點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 一、線性一、線性 二、奇偶性二、奇偶性 三、對稱性三、對稱性 四、尺度變換四、尺度變換 五、時移特性五、時移特性 六、頻移特性六、頻移特性 七、卷積定理七、卷積定理 八、時域微分和積分八、時域微分和積分 九、頻域微分和積分九、頻域微分和積分 十、相關(guān)定理十、相關(guān)定理4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜 一、能量譜一、能量譜 二、功率譜二

3、、功率譜第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-2頁電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.7 4.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 一、正、余弦函數(shù)的傅里葉一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換變換 二、一般周期函數(shù)的傅里葉二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換變換 三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變?nèi)⒏道锶~系數(shù)與傅里葉變換換4.8 LTI4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 一、頻率響應(yīng)一、頻率響應(yīng) 二、無失真?zhèn)鬏敹o失真?zhèn)鬏?三、理想低通濾波器的響應(yīng)三、理想低通濾波器的響應(yīng)

4、4.9 4.9 取樣定理取樣定理 一、信號的取樣一、信號的取樣 二、時域取樣定理二、時域取樣定理 三、頻域取樣定理三、頻域取樣定理點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)4.10 4.10 序列的傅里葉分析序列的傅里葉分析 一、周期序列的離散傅里葉級一、周期序列的離散傅里葉級數(shù)數(shù)(DFS)(DFS) 二、非周期序列的離散時間傅二、非周期序列的離散時間傅里葉里葉 變換變換(DTFT)(DTFT)4.11 4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉變換及其性質(zhì) 一、離散傅里葉變換一、離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 二、離散傅里葉變換的性質(zhì)二、離散傅里葉變換的性質(zhì)第四章第四章 傅里葉變換和

5、系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-3頁電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年年3月月21日生于日生于歐塞爾，歐塞爾，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交年向巴黎科學(xué)院呈交論文，推導(dǎo)出著名的論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都

6、可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。無窮級數(shù)。 1822年在代表作年在代表作中解決了熱在非均勻加熱的中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對一，對19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級數(shù)即三角級數(shù)）、傅里分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級數(shù)即三角級數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）其他貢獻(xiàn)有：葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號，改進(jìn)了代數(shù)方程符號法則的證法和實(shí)

7、根最早使用定積分符號，改進(jìn)了代數(shù)方程符號法則的證法和實(shí)根個數(shù)的判別法等。個數(shù)的判別法等。 傅里葉簡介傅里葉簡介信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-4頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解 時域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號，任意時域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號e jt為基本信

8、號，為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。指數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定正交的定義：義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiyxvvVV信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-5頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集

9、合-稱為正交矢量集。稱為正交矢量集。如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。所組成的集合就是一個正交矢量集。 例如對于一個三維空間的矢量例如對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用，可以用一個三維正交矢量集一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。分量的線性組合表示。即即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間：在信矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間：在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得號空間找到若干個相互正

10、交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-6頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-7頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集二、信號正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱

11、 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。內(nèi)正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。上的正交函數(shù)集。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-8頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(

12、t)， n(t)之之外，不存在任何函數(shù)外，不存在任何函數(shù) (t)(0滿足滿足 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型是兩組典型的在區(qū)間的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-9頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解三、信號的正交分解 設(shè)有設(shè)有

13、n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn 問題：如何選擇各系數(shù)問題：如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。 通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為均方誤差稱為均方誤差)最小。均方誤最小。均方誤差為：差為： ttCtfttttnjjjd )()(12121122信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電

14、路與系統(tǒng)教研中心第4-10頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)為使上式最小系數(shù)為使上式最小系數(shù)Cj變化時），有變化時），有0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC 展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為不為0，寫為：，寫為： 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即：即： 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中

15、心第4-11頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差代入，得最小均方誤差0d)(112212221njjjttKCttftt 在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時為完備正交函數(shù)時為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有集），均方誤差為零。此時有 12221d)(jjjttKCttf 上式稱為上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程公式），說明：帕斯瓦爾方程公式），說明：在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備

16、正交函數(shù)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-12頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)4.2 4.2 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號設(shè)周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率=2/T，當(dāng)，當(dāng)滿足狄里赫利滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三條件時，它可分解為如下三角級數(shù)角級數(shù) 稱為稱為f

17、(t)的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù)。稱為傅里葉系數(shù)。 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-13頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan 上式表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明：周期信號可分解為直

18、流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為直流分量；為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；周期信號相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(nt+n)稱為稱為n次諧波。次諧波。 可見可見An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-14頁

19、電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)例例1：將圖示方波信號：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。展開為傅里葉級數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 為的周期信號，傅里葉系數(shù)為022022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1 sin()sin() 202Tn tn tTT nT n考慮到考慮到=2/T，可得：，可得：0na 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-15頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號的傅里葉級數(shù)展開式為：信號的傅里葉級數(shù)展開式為

20、：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1cos() cos() 202Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,3,5,nnn4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-16頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技

21、大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-17頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-18頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-19頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-20頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo)對稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn

22、=0，展開為余弦級數(shù)。，展開為余弦級數(shù)。2 .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對稱于原點(diǎn)對稱于原點(diǎn)an =0，展開為正弦級數(shù)。，展開為正弦級數(shù)。 實(shí)際上，任意函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-21頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 .f(t)為奇諧函數(shù)為奇

23、諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時，其傅里葉級數(shù)中只含奇此時，其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：量即：a0=a2=b2=b4=0 4 .f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時，其傅里葉級數(shù)中只含偶此時，其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分次諧波分量，而不含奇次諧波分量即量即 a1=a3=b1=b3=0 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-22頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算三角

24、形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？沙８胁槐悖蚨?jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪脧娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf 上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫為則上式寫為 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-23頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)110ee21ee212ntjnjnntj

25、njnnnAAA令令A(yù)0=A0 e j0 e j0t ，0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnFFAnnee21稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfT信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-24頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)ntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF說明：任

26、意周期信號說明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。數(shù)信號之和。 Fn 是頻率為是頻率為n的分量的系數(shù)，的分量的系數(shù)，F(xiàn)0 = A0/2為直流分量。為直流分量。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-25頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)例例2：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT為的周期信號，指數(shù)型傅里葉系數(shù)為230211( )23Tjn tjn tjn tnoFf t edtedtedtT23221133j nj nj neee

27、j nj n2321110233jn tjn teejnjn信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-26頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)23221133j nj nj neeej nj n23233j nj neej n423232jnjneejn433(1)2jnejn指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：433( )(1)2jnjn tjn tnnnf tF eeejn信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-27頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.3 4.3 周期信號的頻譜及特點(diǎn)周期信號的頻譜及特點(diǎn)一、信號頻譜的

28、概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)轭l譜圖。因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫也可畫|F

29、n|和和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn 。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-28頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜例：周期信號例：周期信號 f(t) =試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直

30、流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 323741212121122信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-29頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：的

31、單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-30頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點(diǎn)二、周期信號頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為的周期矩形脈沖，其的周期矩形脈沖，其周期為周期為T，如下圖。求頻譜。，如下圖。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFTTtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e1

32、22信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-31頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。畫圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441特點(diǎn)：特點(diǎn)： (1)周期信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。一般具有收斂性?？傏厔轀p小。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-32頁

33、電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，一定， 變小，此時變小，此時 （譜線間隔不變。兩零點(diǎn)之（譜線間隔不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：間的譜線數(shù)目： 1/ =（2/ ）/(2/T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期T無限增長這時就成為非周期信號），無限增長這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度

34、也趨近渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。于無窮小。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-33頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)三、周期信號的功率三、周期信號的功率Parseval等式等式2222220111( )cos()2TTTTnnnAPft dtAn tdtTT 含義：直流和含義：直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功電阻上消耗的平均功 率之和。率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為012nFA22012nnFF22011()22nnAA2|nnF0Fn是 的偶函數(shù)說明：

35、對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在說明：對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在 頻域中求得的信號功率相等。頻域中求得的信號功率相等。2cos()cos() cos()2nnnnn tm tn tmnTmnA 展開式中具有形式的余弦項，其在一個周期內(nèi)的積分等于零；具有形式的項，當(dāng)時，其積分為零，當(dāng)時，其積分值為。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-34頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號非周期信號f(t)可看成是周期可看成是周期T時的周期信號。時的

36、周期信號。 前已指出當(dāng)周期前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮大時，譜線間隔 趨趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。間仍有差別。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-35頁

37、電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n 由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時，同時， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式傅里葉反變換式“+”F(j)稱為稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)根據(jù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安

38、電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-36頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換也可簡記為也可簡記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說明：說明： (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù) f(t)的傅里葉變換存在的充分條件的傅里葉變換存在的充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分用下列關(guān)系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信號與系

39、統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-37頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 010tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-38頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj2

40、22/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù)(t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-39頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且fn(t

41、)的傅里葉變換的傅里葉變換所形成的序列所形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-40頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換構(gòu)造構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因而

42、，因而， 1212( ( ) ) 另一種求法：另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 tt，t-t- )(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-41頁電子教案6. 符號函數(shù)符號函數(shù)4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-1)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù)(t)jtt1)()sgn(212

43、1)(10t(t)00,e0,e)(tttftt構(gòu)造信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-42頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1. F 變換對變換對2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對：變換對：t域域域域tetfjFtjd)()(d)(21)(tjejFtf(t)(t) j1)(e -t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t| (t) 222 1 12()信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-43頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性

44、一、線性(Linear Property)Proof:ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a1112()()aF jbFj12( )( )af tbf tF F1212( )( )()()af tbftaFjbFjthenIf1122( )() ,( )()ftFjftFj信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-44頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F( j) = ?Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F( j) = 2() -

45、2Sa()- -信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-45頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、奇偶性二、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,th

46、en R() = 0, F(j) = jX()( )( )RjX信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-46頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對稱性三、對稱性(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - thentjtFftjde)(21)( F( jt) 2f () endF( jt ) 2f ()信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-47頁電子教案4.5

47、4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-48頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof:F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e

48、)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j) ajFaatf|1)(信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-49頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example f(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling property with a = -1,

49、so that,信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-50頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)五、時移性質(zhì)五、時移性質(zhì)(Time shifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-51頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ? f1

50、(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468Ans: f (t) = f1(t) + f2(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-52頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b)e -jb F( j)f

51、 (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-53頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(-0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t

52、 F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-54頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (-0)+ (+0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-55頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、卷積定理七

53、、卷積定理(Convolution Property)1、Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)2、Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-56頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Proof:d)()()(*)(2121tfftftf1212( )()de

54、d( )()ed djtjtff ttff ttUsing time shiftingjtjjFttfe)(de)(22So that,1221( )()ed()( )edjjfFjFjf 12()()F jFj12( )*( )f tf tF F12( )*( )f tf tF F信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-57頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222gggg

55、ttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-58頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、時域的微分和積分八、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)

56、(信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-59頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-60頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f()()j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(

57、11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-61頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)A

58、ns:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-62頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(

59、 j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor example 1Determine f(t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-63頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.For example 2Determined)sin(aAns:)sin(2)

60、(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第4-64頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)十、相關(guān)定理十、相關(guān)定理(Correlation Theorem)If1122( )(),( )()f tF jf tFjthen *12122112( )()(),( )()()RF jFjRFjFjF FF FProof:*1212121212*2112121212( )( )*()( )()()()()()( )()*( )()( )()()()()R