同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、 臨河一職臨河一職 數(shù)學(xué)組數(shù)學(xué)組 李海燕李海燕一、創(chuàng)設(shè)情境：一、創(chuàng)設(shè)情境：M 問(wèn)題問(wèn)題2. 如圖如圖1，三角函數(shù)線(xiàn)是：，三角函數(shù)線(xiàn)是：正弦線(xiàn)正弦線(xiàn)；余弦線(xiàn)余弦線(xiàn)；正切線(xiàn)正切線(xiàn).yxxy)0( xMPOMAT)0 , 1 (ATcos；tansin；問(wèn)題問(wèn)題3. 三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，你能從圓的幾何性三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？問(wèn)題問(wèn)題1. 如圖如圖1，設(shè)，設(shè) 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 它的它的終邊終邊 與與單位圓單位圓交于交于 ，那么，那么),(

2、yxPOxyP圖1二、探究新知：二、探究新知：?jiǎn)栴}問(wèn)題 當(dāng)角當(dāng)角 的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí),關(guān)系式是否還成立？關(guān)系式是否還成立？對(duì)于任意角對(duì)于任意角 都有都有)(,R結(jié)論：結(jié)論：1cossin22平方關(guān)系平方關(guān)系問(wèn)題問(wèn)題 當(dāng)角當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí)，正弦、的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí)，正弦、余弦之間的關(guān)系是什么？（余弦之間的關(guān)系是什么？（如圖如圖2 ）1、探究同角正弦、余弦之間的關(guān)系、探究同角正弦、余弦之間的關(guān)系OxyPM圖2222OPOMMP122 xy 當(dāng)角當(dāng)角 的終邊在的終邊在 坐標(biāo)軸上時(shí)坐標(biāo)軸上時(shí),x110cossin22101cossin22y當(dāng)角當(dāng)角 的終邊在的終邊在 坐標(biāo)軸上

3、時(shí)坐標(biāo)軸上時(shí),1cossin22OPOM 角角 的的正弦線(xiàn)正弦線(xiàn) ，余弦線(xiàn)，余弦線(xiàn) ,半經(jīng)半經(jīng) 三者的長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，而且三者的長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，而且 ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 ，即，即 MP1OP質(zhì)疑： 能寫(xiě)成 嗎？ “同角”是什么含義？2sin2sin（不能）（一是“角相等”，二是對(duì)“任意一個(gè)角”）2.觀察任意角觀察任意角 的三角函數(shù)的定義的三角函數(shù)的定義,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的關(guān)系商的關(guān)系注：注：商的關(guān)系不是對(duì)任意角都成立商的關(guān)系不是對(duì)任意角都成立 ,是在等式兩邊都有意是在等式兩邊都有意義的情況下，等式才成立義的情況下，等式才成立),

4、2(Zkk有什么樣的關(guān)系呢？、tancossin思考：思考： 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切結(jié)論：結(jié)論：討論交流：討論交流：特點(diǎn)、公式1cossin122移項(xiàng)變形：移項(xiàng)變形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函數(shù)常用于正弦、余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，相互求解。的相互轉(zhuǎn)化，相互求解。注：注：在開(kāi)方時(shí)，由角在開(kāi)方時(shí)，由角 所在的象限來(lái)確定開(kāi)方后的符號(hào)。所在的象限來(lái)確定開(kāi)方后的符號(hào)。即即在一、二象限時(shí)，當(dāng)在三、四象限時(shí)，當(dāng)22cos1cos1sin是一、四象限時(shí)當(dāng)是二、三象限時(shí)，當(dāng),sin1sin122cos例題例題 的值

5、），求，（，且已知tan,cos253sin2516)53(1sin1cos222解：解：得由1cossin22 542516cos43)54()53(cossintan時(shí)，當(dāng)),2(果又會(huì)是什么情形呢？不加任何條件限制，結(jié)想一想：若對(duì)角例題例題6 .tan,cos53sin的值，求已知解：解：2516)53(1sin1cos222當(dāng) 是第三象限角時(shí)， 0cos542516cos43)54()53(cossintan當(dāng) 是第四象限角時(shí)，0cos542516cos4354)53(cossintan例題互動(dòng)例題互動(dòng)自我診斷：自我診斷：43cossintan54sin1cos53sin2得得解：由如

6、何應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決三角函數(shù)的求值1sin0sin且是第三或第四象限角角得由1cossin22分類(lèi)討論法三、應(yīng)用反饋：三、應(yīng)用反饋：的值求是第四象限角，且、已知問(wèn)題cos,sin3tan1解：解：cossintan3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin,為第四象限角1cossin22tancossin構(gòu)建方程（組）的思想方法四、歸納總結(jié)：四、歸納總結(jié)：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式R, 1cossin22),2( ,tancossinZkkcossintan,1cossin22（前提是（前提是“同角同角”， 因此因此 ） 本節(jié)課同學(xué)們有哪些學(xué)習(xí)體驗(yàn)與收獲，學(xué)到了本節(jié)課同學(xué)們有哪些學(xué)習(xí)體驗(yàn)與收獲，學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)與方法哪些數(shù)學(xué)知識(shí)與方法(2) 分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法、構(gòu)建方程組的方法分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法、構(gòu)建方程組的方法達(dá)標(biāo)檢測(cè)：一、填空題_;tan, 1_1sin2：、同角三角函數(shù)關(guān)系式._)sin1)(s