第3章離散傅里葉變換1ppt課件

1、信號信號以時間為自變量以時間為自變量傅里葉變換逆傅里葉變換)()(nTtxtx, 3 , 2 , 1n22nnnbaAnnnab1tan其中：1000sincos)(nnntnbtnaatx100)sin(nnntnAa)(20T )()( 00ktjkekXtx2200)(1)(T/ -T/ tjkdtetxTkX)(tx)(0kX周期連續(xù)時間信號 非周期離散頻譜密度函數(shù)傅里葉級數(shù)FS )()( 00ktjkejkXtxnTTtjktjkdtetxTe2/2/00)(1nTTtjktjkdtetxe2/2/000)(21)2(0T0,0T,00kd dedtetxtxtjtj)(21)()(

2、 jX條件：dttx )( )()(dtetxjXtj )(21)(dejXtxtj2/02/1)(TtTttxt1-T/2T/222()( )TTjtjtX jx t edtedt 22(cossin)TTtjt dt 22sinTTTTT2T4 )()( nnj-jenxeX正變換： )(21)( deeXnxnjj反變換：sT )()(deenxdeeXmjnjnmjj)(2)()(2)( )(mxnmnxdenxnnmjn )()( nnj-jenxeX)( )( -nnX zx n z()( )( )jjj nz enX eX zx n eDTFT與與Z變換變換的關(guān)系的關(guān)系jezjz

3、XeX)()()(nxn00)(jeX222 時域的離散造成頻域的周期延拓 ,而時域的非周 期對應(yīng)于頻域的連續(xù) . sf/2sfsf/ 2sf0實際頻率fs/ 2s0s角頻率f2/2s圓周頻率f2歸一化頻率sfff/20211/ 2011/2)()(),()(2211jjeXnxeXnx)()()()()()(2121jjjeXeXeXnxnxnx)()(00jnjeXennx);()()()(jjeHeXnhnx)()()()(jjeHeXnhnxnjdeXnx22)(21)(2( )( )( )nnx nx n x n證明： 1( )()2jj nnx nX eed 1()( )2jj n

4、nX ex n ed 1()()2jjX eXed 2 1()2jX ed解：()( )jj nnH eh n e)(exp)()()()(IRjjjjeHeHeHeH)2/sin(/ )2/sin()(NeHj2/ ) 1()()(arctan)(RINeHeHjj)()(ndnh例1：設(shè)矩形窗假設(shè)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng) , 01-0 , 1)(為其他值nNnnd1011j NNj njneee/2/2/2(1)/2/2/2/2()sin(/ 2)()sin(/ 2)j Nj Nj NjNjjjeeeNeeee矩形窗的頻率響應(yīng)矩形窗的頻率響應(yīng) )(nx10102)()()()(NnnkNNnnk

5、NjWnxenxnxDFSkX10102)()(1)()(NknkNNknkNjWkxekXNkXIDFSnxNjNeW2njnjenxeX)()(N2kN212, 1 ,0Nk1022)()()(NnkNjnkNjenxeXkX12, 1 ,0Nk)()(nxkXIDFT102)()(NnkNjnenxkX12, 1 , 0NkkrNje2)()1)()()(10)(210210210210rxNeNnxNeenxekXNknrkNjNnrkNjNknkNjNnkrNjNknrnr01102)(1)(NnknNjekXNnx12, 1 , 0Nn221 11NNjrNjreNe時域連續(xù) 非周

6、期連續(xù) 非周期連續(xù) 周期離散 非周期t)(tx00)( jX(FT)(FS)0t)(tx00k)(0kXdtetxjXtj)()(dtejXtxtj)(21)(dtetxTkXtjk0)(1)(0ktjkekXtx0)()(0頻域1四種形式傅里葉變換對離散 非周期離散 周期連續(xù) 周期離散 周期(DTFT)(DFS)時域頻域n)(nx00n)(nx0)(jeX0k)(kXnnjjenxeX)()(102)()(NnnkNjenxkXdeeXnxnjj)(21)(102)(1)(NknkNjekXNnxx(t)t取樣x(t)tDTFTX(ejT)采樣X(ejw)wX(ejw)w采樣x(t)tx(t

7、)tX(ejT)wX(ejw)DTFT采樣)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx , 01-0 , )()(為其它值nNnnxnxrrNnxnx)()()mod()(Nnxnx記作：Nnxnx)()()()()(ndnxnx其中：為其他值nNnnd , 01-0 , 1)()k(X)(kXNkXkX)()()()()(kdkXkX周期序列實際上只有有限個序列值才有意義 ,因 而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長 序列 , 這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT)。t)(tx0T0)( jXcc)( jQ000t)(tqTTt)(tp0sT0)( jPss0sT)(jeXss2s2

8、s)(snTxn1N00)(nxn1N0k)(jeX1N10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFTnx10)()(NnnznxzXjezNnnjjzXenxeX)()()(10kNNnjnkNjeXenxkX2102)()()(Z變換、變換、DTFT、DFT的取值范圍的取值范圍Re z2 / NIm z1kN1k 0k 01r 平面znnznxzX)()(0njwnjwenxeX)()(010220)()(NnnNkjNkjenxeX數(shù) 字 角 頻 率DFT正變換n再 進(jìn) 行 抽 樣

9、- N 等 分.這 樣w=2k/N, 即w值為0, 2/N, 4/N, 6/N, 考慮到x (n)是N點有限長序列, 因而n只需0N-1即可。將w=2k/N代入并改變上下限, 得kNjezzXkX2)()(0)(kX)(nxNrNrNnxnx)()()()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN稱為內(nèi)插函數(shù)其中)()()()(10zzkXzXkkNk1111)(zwzNzkNNk)2()()10kNwkXeXezzNkjwjw（代替便得到用把wNjkewwNNw)21()2sin()2sin(1)(t)(tx0T0)( jXcct)(tp0sT0sT)(jeXss2s2s)(

10、jQ000t)(tqTT0)( jPss)(snTxn1N0)(nxn1N00k)(jeX1N)(1)(1nxDFTkX)(2)(2nxDFTkX)(2)(1)(2)(1kbXkaXnbxnaxDFT)(2)( 1)(2)( 1)(2)( 1)(2)( 1101022102kbXkaXenxbenxaenbxnaxnbxnaxDFTNnNnnkNjnkNjNnnkNjTjrnenx)(10/ )(2)(NnNkrnjekX為其它值r kr NeeekXkrNjNkrNjNnnkrNj 0 11)()(2)(210)(2當(dāng)輸入頻率為的正弦波時，傅里葉變換后的離散頻譜中只有一條譜線取值為N，其余的

11、都為零。 輸入信號是若干頻率不同的正弦波的線性組合，經(jīng)過離散傅里葉變換后，將在不同的譜線位置有對應(yīng)的輸出。 離散傅里葉變換算法實質(zhì)上對頻率具有選擇性 。)()()(nRmnxnxNNm2131 0.5nx(n)(1)周期延拓：N=5時2131x(n)0.521310.51120.5n3(2)周期延拓：N=6時，補(bǔ)零加長2131x(n)0.521310.51123n2 131 0.5nx(n)(4)M=-2時，右移(取主值)2131nx(n)0.5(3)M=1時，左移(取主值)131x(n)0.52nmmmnxmxmnxmxnxnxny)()()()()(*)()(122121110110)()

12、(11NnNNnnxnx120120)()(22NnNNnnxnx1012102121)()()()()()()(NmNNmNmnxmxmnxmxnxnxny231x(n)54n0N1=5u線性卷積： 圓周卷積：(N=7)補(bǔ)零加長 231x(k)54k0N1=5N2=3213h(n)n0 x(k)231540N=7ku線性卷積無需周期延拓，u圓周卷積需進(jìn)行周期延拓：線性卷積的反折： 圓卷積的反折(并取主值區(qū)間）：231h(-k)k0231h(k)0k231231231h(-k)k0132u平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0231x(k)54k0231x(k)540N=7ku相乘u

13、x(k)h(-k)=51=5ux(k)h(1-k)=5*2+4*1=14ux(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3u 相加u得到線性卷積的示意圖u 相加u得到圓周卷積的示意圖14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可見，線性卷積與圓周卷積相同可見，線性卷積與圓周卷積相同 當(dāng)當(dāng)NN1(5)+N2(3)-1=7時時 若圓周卷積取長度為N=5，則求圓周卷積231x(k)540N=5k求得圓周

14、卷積x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圓周卷積與線性卷積不同。171326y(n)n02014k231h(-k)0L點DFTh(n)L點DFTL點IDFTx(n)y(n)00 xe(n)n0 x(n)n0 x(-n)n互為偶對稱為偶對稱序列x(n)n0 x(-n)n互為奇對稱0 xo(n)n為奇對稱序列DFT對FT的近似)(txa)(nxa)()(ndnxa)(nxN)(nx)( jXa)(jaeX)()(jjaeDeX)(kXN)(kXFTDTFTDTFTDFTDFSsnTt 采樣截短周期延拓取一個周期ssT/2sNT/20取一個周期周期延拓采樣周期延拓卷積用DFT實現(xiàn)對連續(xù)信號譜分析的過程1( )x t1()* ()2X jR j1( )x t2sin2sin)()21(wMweeWMjwjw處。處“泄漏”到其他頻率即頻譜成分從形狀的連續(xù)頻譜。（變成了為中心的一根譜線是以（看出這樣由02sin2sin)0),()(*)(2sin2sin| )(|1wwMweXwweXeWeXwMweWjwjw