第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(初高中銜接教材)

1、第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用.本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述.元二次方程的根的判斷式元二次方程axbx(1)當(dāng)b24ac0時(shí),當(dāng)b24ac0時(shí),當(dāng)b24ac0時(shí),由于可以用b24ac的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:方程沒有實(shí)數(shù)根.c0(a0)，用配方法將其變形為：(xb)22abb24ac2aX1,22a程ax2bx0(a0)的根的判別式：元二次方程的根的情況.b24ac.b24ac

2、4a22因此，把b4ac叫做一元二次方【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1)2x23x10(2)4y2912y2(3)5(x3)6x0解:(1)Q(3)242110,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.原方程可化為：4y212y90Q(12)24490,原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.原方程可化為：5x26x1502Q(6)45152640,.原方程沒有實(shí)數(shù)根.【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程3x2k的范圍:(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程有實(shí)數(shù)根；解：(2)243k412k.1(1)412k0k31(3)412k0k3(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程無實(shí)數(shù)根.1412k0k3412

3、k0k-.32xk0,根據(jù)下列條件，分別求出【例3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2y2xy2xy10,試求x、y的值.解：把方程看作是關(guān)于x的方程，整理得:x2(y2)xy2y10.說明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式.由于x是實(shí)數(shù)，所以此方程有實(shí)數(shù)根，因此:元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一兀二次方程axbxc0(a0)的兩個(gè)根為：bb24acbb24acX1,X22a2a所以：X-ix2b24acb.b24acb2a2aabyy1b24acb.b24ac(b)2(b24ac)24acc122a2a(2a)2-24aabc定理：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根為x-i

4、,x2，那么：咅x2,x1x2.aa說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達(dá)22(y2)4(yy1)代入原方程得：x22x103y0y0，x1.綜上知：xi,y0.定理上述定理成立的前提是0.【例4】若x),x2是方程x22x20090的兩個(gè)根，試求下列各式的值:(1)22X1X2；(2)丄;(捲5)(X25)X1X2|X1X233X1X2【例5】224,積為12,求這兩個(gè)數(shù).解：法一設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是26卷y2或26X1y142y(1)2X12X2(為X2)22x1x22(2)2(2009)402211為x222XX2NX220092009.(X

5、15)(X25)X-|X25(X1x2)2520095(2)251974.lxX2|、(X1X2)2X2)24X1X2(2)24(2009)22040說明:利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：由題意，由根與系數(shù)的關(guān)系得:解:2,X1X22009.%X2X2(X1X2)22X1X2,丄丄“一翌22,(X1X2)(X1X2)4X1X2,X,X-Ix2X)x2.(X1X2)24X2,X1X22X12X2X1X2(X1X2),3(X1X2)3X1X2(X1X2)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體代換思想.因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6.解方程得：X1=-2,X2=6.所以，這兩個(gè)數(shù)是【例6】已知關(guān)于x的方程

6、x2(k1)x12k10，根據(jù)下列條件，分別求出4k的值(1)方程兩實(shí)根的積為5;(2)方程的兩實(shí)根x1,X2滿足|X)|x2.解:(k1)21224(k241)2k30k32.(1)x1x2!k2415k4所以，當(dāng)k4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5.由|X11X2得知:當(dāng)x(0時(shí)，X-Ix20ki；當(dāng)x,0時(shí)，X1x2X1X20k10k1，不合題意,舍去.綜上可知，k3時(shí)方程的兩實(shí)根X,X2滿足|X1|X2.2說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0.【例7】已知x),x2是一元二次方程4kx2(1)是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x,x2)(x,若不存在，請(qǐng)您說明理由.4kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2X2)-成立？若存在，求出k的值;23成立.(2X1%2)(為2X2)2(x/x22)5x222(x1x2)9x)x2k94k32k9，但k50.不存在實(shí)數(shù)k,使(2兇X2)(N2X2)x2x1222為X22為X2(X1X2)244kX|X2k144k1.要使其值是整數(shù)，只需k1能被4整除，故k13成立.1,2,4,(2)求使互立2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.x2x1解：t一