湍流模型概述

1、大多數(shù)飛行器都是在高Re數(shù)下飛行，概況的流態(tài)是湍流。為了準(zhǔn)確地確定湍流流態(tài)下的摩阻、熱流，湍流成為一個重要而困難的研究課題。之南宮幫珍創(chuàng)作創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日（一）DNS目前處理湍流數(shù)值計算問題有三種方法，第一種方法即所謂直接數(shù)值模擬方法（DNS方法），直接求解湍流運(yùn)動的N-S方程，得到湍流的瞬時流場，即各種尺度的隨機(jī)運(yùn)動，可以獲得湍流的全部信息。隨著現(xiàn)代計算機(jī)的發(fā)展和先進(jìn)的數(shù)值方法的研究，DNS方法已經(jīng)成為解決湍流的一種實(shí)際的方法。但由于計算機(jī)條件的約束，目前只能限于一些低Re數(shù)的簡單流動，不克不及用于工程應(yīng)用。目前國際上正在做的湍流直接數(shù)值模擬還只限于較低的需諾數(shù)（Re200）

2、和非常簡單的流動外形，如平板鴻溝層、完全發(fā)展的梢道流，以及后臺階流動等。用直接數(shù)值模擬方法處理工程中的復(fù)雜流動問題，即使是當(dāng)前最先進(jìn)的計算機(jī)也還差三個量級。（二）LES另一種方法稱做大渦模擬方法（LES方法）。這是一種折衷的方法，即對湍流脈動部分直接地模擬，將N-S方程在一個小空間域內(nèi)進(jìn)行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。小渦對大渦的影響會出現(xiàn)在大渦方程中，再通過建立模型（亞格子尺度模型）來模擬小渦的影響。由創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日于湍流的大渦結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈地依賴于流場的鴻溝形狀和鴻溝條件，難以找出普遍的湍流模型來描述具有分歧的鴻溝特征的大渦結(jié)構(gòu)，宜做直接

3、模擬。相反地，小尺度渦對鴻溝條件不存在直接依賴關(guān)系，而且一般具有各向同性性質(zhì)。所以亞格子模型具有更大的普適性，比較容易構(gòu)造，這是它比雷諾平均方法要優(yōu)越的地方。自從1970年Deardorff第一次給出具有工程意義的LES計算以來,LES方法已經(jīng)成為計算湍流的最強(qiáng)有力的工具之一，應(yīng)用的方向也在逐步擴(kuò)展，但是仍然受計算機(jī)條件等的限制，使之成為解決大量工程問題的成熟方法仍有很長的路要走。（三）RANS目前能夠用于工程計算的方法就是模式理論。所謂湍流模式理論，就是依據(jù)湍流的理論知識、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或直接數(shù)值模擬結(jié)果，對Reynolds應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗(yàn)的和半經(jīng)驗(yàn)的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均Re

4、ynolds方程封閉。隨著計算流體力學(xué)的發(fā)展，湍流模式理論也有了很大的進(jìn)步，有了非常豐碩的成果。從對模式處理的出發(fā)點(diǎn)分歧，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類稱為二階矩封閉模式，另一類稱渦粘性封閉模式。（1）雷諾應(yīng)力模式所謂二階矩封閉模式，是從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā)，將方程右端未知的項(xiàng)（生成項(xiàng)，擴(kuò)散項(xiàng)，耗散項(xiàng)等）用平均流動的物理量和湍流的特征尺度暗示出來。典型的平均流動的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論，由于保存了Reynolds應(yīng)力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時間的變更規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運(yùn)動規(guī)律。因此，二階矩模式

5、是一種較高級的模式，但是，由于保存了Reynolds應(yīng)力的方程，加上平均運(yùn)動的方程整個方程組總計15個方程，是一個龐大的方程組，應(yīng)用這樣一個龐大的方程組來解決實(shí)際工程問題，計算量很大，這就極大地限制了二階矩模式在工程問題中的應(yīng)用。(2)渦粘性模式在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用的模式是渦粘性模式。這是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè)Reynolds應(yīng)力為，2,、2,八UiUjT(Ui,jUj,i-Uk,kij)Tkij()33這里kjUb是湍動能，T稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性模式，即假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，六個雷諾應(yīng)力只需要

6、通過確定一個渦粘性系數(shù)t就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來?；?，比方湍動能k,耗散率，比耗散率以及其它湍流量k/,lk3/2/,q4,根據(jù)引入的湍流量的分歧，可以得到分歧的渦粘性模式，比方罕見的k,k-w模式，以及后來不竭得到發(fā)展的k,q-w,k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別暗示為,2TCk2/,Tc,Tck,Tcq-,Tckl.為了使控制方程封閉，引入多少個附加的湍流量，就要同時求解多少個附加的微分方程，根據(jù)求解的附加的微分方程的數(shù)目，一般可將渦粘性模式劃分為三類：零方程模式，半方程模型，一方程模式，兩方程模式。1)零方程模式所謂零方程模式是試圖直接用平均流動物理量模

7、化一而不引入任何湍流量(如k,等)。例如，Prandttl的混合長理論就是l2一種零方程模式：(5.7)式中i稱為混合長在零方程模式的框架下，得到最為廣泛應(yīng)用的是Baldwin-Lomax模式22。該模式是對湍流鴻溝層的內(nèi)層和外層采取分歧的混合長假設(shè)。這是因?yàn)榭拷诿嫣?，湍流脈動受到很大的抑制，含能渦的尺度減小很多，因此長度尺度減小很多；另一方面，在鴻溝層外緣，湍流呈間歇狀，質(zhì)量、動量和能量的輸運(yùn)能力大大下降，即湍流的擴(kuò)散能力減小。這樣，應(yīng)用混合長理論來確定渦粘性系數(shù)在這兩個分歧的區(qū)域應(yīng)該有分歧的形式。Baldwin-Lomax模式的具體數(shù)學(xué)描述如下。(5.8)(T)innyyc(T)onty

8、yc這里yc是(T)inn(T)ont的離壁面最小距離V值。對于內(nèi)層，即yyc,有(T)innI'()是渦量，|ijkUk,j,I是長度尺度Iky(1exy(y/A)()其中是Karman常數(shù)，A+是?；?shù)，y是無量綱法向距離:而u是摩擦速度，其含義為此處下標(biāo)w暗示壁面。(5.11)對于外層，即yyc,有(T)out(FwakeFkieb(y)其中Fmax是下列函數(shù)的最大值：而ymax是F(y)達(dá)到最大值的位置。Fkieb是所謂的Klebanoff間歇函數(shù)：Udf是平均速度分布中最大值和最小值之差。幾個?；?shù)的值如下：由上述?；P(guān)系中可以看出，Reynolds應(yīng)力完全地由當(dāng)時當(dāng)?shù)氐?/p>

9、平均流參數(shù)用代數(shù)關(guān)系式所決定。平均流場的任何變更立刻為當(dāng)?shù)氐耐牧魉兄?，這標(biāo)明零方程模式是一個平衡態(tài)模式，假定湍流運(yùn)動永遠(yuǎn)處于和平均運(yùn)動的平衡之中。實(shí)際上對大多數(shù)湍流運(yùn)動而言，并不是如此，特別是對平均流空間和時間有劇烈變更的情形，再有因?yàn)樽鴺?biāo)y顯式地出現(xiàn)在湍流模式中，零Baldwin-Lomax模方程模式不具有張量不變性，當(dāng)將它應(yīng)用到復(fù)雜幾何外形的流動的數(shù)值模擬會帶來困難。當(dāng)流動發(fā)生分離時，式會遇到困難，這是因?yàn)樵诜蛛x點(diǎn)和再附點(diǎn)附近，摩擦速度u為零，此時要引入一些人為的干涉來消除這些困難。計算實(shí)踐標(biāo)明，只要流動是附體的，零方程模式一般都可以較好地確定壓強(qiáng)分布，但是摩阻和傳熱率的估算不敷準(zhǔn)確，特

10、別是當(dāng)流動有分離和再附時。這是因?yàn)楦襟w流壓強(qiáng)分布對湍流應(yīng)力不敏感。總之，對附體流動，如果只關(guān)心壓強(qiáng)分布，應(yīng)用零方程模式通?？梢越o出滿意的結(jié)果，而且模式應(yīng)用起來十分簡便。但是對于我們計算摩阻的需求，零方程模式是不克不及滿足要求。對于有分離、再附等復(fù)雜流動，零方程模式是不適用的。2）半方程模式為了能計算具有較強(qiáng)壓強(qiáng)梯度，特別是較強(qiáng)逆壓梯度的非平衡湍流鴻溝層，Johnson-King于1985年提出了一個非平衡代數(shù)模型，該模型仍采取渦粘性假設(shè)，把渦粘性的分布與最大剪切應(yīng)力聯(lián)系在一起，內(nèi)層渦粘性與外層渦粘性分布用一個指數(shù)函數(shù)作光滑擬合，外層渦粘性系數(shù)作為一個自由參數(shù)，由描述最大剪切應(yīng)力沿流向變更的常微

11、分方程來確定，此常微分方程是由湍流動能方程導(dǎo)出的，故此模型又稱為半方程模型。JK模型雖然仍采取渦粘性假設(shè)，卻包含有雷諾應(yīng)力模型的特點(diǎn)。由于求解常微分方程比一方程，二方程模型中求解偏微分方程要簡單，省時的多，故用JK模型的工作量只略高于通常平衡狀態(tài)的零方程代數(shù)模型的工作量JK模型后又經(jīng)不竭修正，發(fā)展了JK1990A,JK1990J以及JK1992等改進(jìn)型3)一方程模式Baldwin-Barth(BB)模型是在二方程模型中，將某一導(dǎo)出的應(yīng)變量作為基本物理量而得到的，應(yīng)用此一方程模型可防止求解兩方程時會遇到的某些數(shù)值困難。BB一方程模型所選擇的導(dǎo)出應(yīng)變量為“湍流雷諾數(shù)"Rt。BB模型對計算

12、網(wǎng)格的要求低，壁面的網(wǎng)格可以與采取BL代數(shù)模型的相當(dāng)，而不象兩方程k-e模型那樣要求壁面網(wǎng)格很細(xì)，這樣就防止了在k-e模型中流場求解的剛性問題。Spalart-Allmaras(SA)模型與BB模型分歧，不是直接利用k-e模型兩方程模型加于簡化而得，而是從經(jīng)驗(yàn)和量綱分析出發(fā)，由針對簡單流動在逐漸彌補(bǔ)發(fā)展而適用于帶有層流流動的固壁湍流流動的一方程模型，模型中選用的應(yīng)變量是與渦粘性T相關(guān)的量二除在粘性次層外，與T是相等的。上述兩種一方程模型具有相似的特點(diǎn)，它們不象代數(shù)模型那樣需要分為內(nèi)層模型，外層模型或壁面模型，尾流模型，同時亦不需要沿法向網(wǎng)格尋找最大值，因此易于用到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中去；但由于在每個時

13、間步長內(nèi)，需要對整個流場求解一組偏微分方程，故比BL和JK模型更費(fèi)機(jī)時4)兩方程模式2.1 k-兩方程模式2.1.1 尺度k-兩方程模式k-模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，各種分歧版本的k-模式罕見于各種文獻(xiàn)中，選擇Jones-Launder模式作為一般性介紹。k-模式最初的發(fā)展是為了改善混合長(mixing-length)模式和防止復(fù)雜流動中湍流長度尺度(turbulentlengthscale)的代數(shù)暗示(algebraicprescription)。它求解兩個湍流標(biāo)量k和的輸運(yùn)方程。k方程暗示湍動能輸運(yùn)方程，方程暗示湍

14、動能的耗散率。該模式對較小壓力梯度(relativelysmallpressuregradients)下的自由剪切流(free-shear-layerflows)具有較好的結(jié)果。對于壁面流動(wallboundedflows),在零或者小平均壓力梯度下，模式結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較為一致，但是對大的逆壓梯度(adversepressuregradients),其結(jié)果就不太正確了。另外，在壁面附近，該模式需要壁面衰減函數(shù)(wall-dampingfunctions)和較好的網(wǎng)格分布。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為這里t為渦粘性(eddyviscosity),Sj為平均速度應(yīng)變率張量(mean-

15、velocitystrain-ratetensor),為流體密度，k為湍動能，j為克羅內(nèi)克算子(Kroneckerdelta)。渦粘性定義為湍動能k和湍流耗散率的函數(shù)基于量綱分析，渦粘性由流體密度，湍流速度尺度(turbulentvelocityscale)k2和長度尺度(length-scale)k3'2/來標(biāo)度，衰減函數(shù)f由湍流雷諾數(shù)Retk2/來?；?。湍流輸運(yùn)方程可暗示成以下形式湍流能量輸運(yùn)方程能量耗散輸運(yùn)方程這里右端項(xiàng)分別暗示生成項(xiàng)(productionterm)耗散項(xiàng)(dissipationterm)和壁面項(xiàng)(wallterm)。b.模式常數(shù)和參數(shù)模式中各常數(shù)的定義為近壁衰減

16、函數(shù)Ret上22Us2yfexp(3.4(10.02Ret)2)2、f210.3exp(Ret)壁面項(xiàng)k小k2和小y這里Us為平行于壁面的流動速度。c.鴻溝條件積分到壁面的無滑移鴻溝條件為可實(shí)現(xiàn)性k模式上述尺度k模式，對于高平均切變率流動會出現(xiàn)非物理的結(jié)果(例如當(dāng)Sk/3.7時，其中S丫無離)。為了包管模式的可實(shí)現(xiàn)性，模式函數(shù)C不該該是常數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是平均慶變率的函數(shù)。實(shí)驗(yàn)標(biāo)明，對鴻溝層流動和均勻切變流，C的值是非常分歧的。為此人們根據(jù)可實(shí)現(xiàn)性對模式的約束條件，建議采取以下形式的C(Reynolds,1987,Shih,1994)1C1-(5.19)*kAoAsU式中而三是在以角速度k旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)

17、坐標(biāo)系中得到的平均旋轉(zhuǎn)速率。As,6cos,1cos1晨6w)3SijSjkSkiW3,S/SijSij.(5.20)上述關(guān)系式中唯一未確定的系數(shù)是A。為簡單起見，可以設(shè)其為常數(shù)。對鴻溝層流動?？梢匀o=4.0。對其他流動，人的數(shù)值可以調(diào)節(jié)。低Reynolds數(shù)k上述幾種k模式適用于高Reynolds數(shù)情形。但是對近壁區(qū)，湍流需諾數(shù)很低，對湍流動力學(xué)而言粘性效應(yīng)非常重要，此時湍流Reynolds數(shù)的效應(yīng)必須加以考慮。我們研究摩阻的計算關(guān)注的恰恰是近壁區(qū)，因此低Reynolds數(shù)k模式的研究是十分重要的?，F(xiàn)將有關(guān)結(jié)果整理如下:低Reynolds數(shù)下的渦粘性和k模式方程為式中所有?；?shù)如下：其

18、中此處f和fl,f2稱為阻尼函數(shù)，是一個經(jīng)驗(yàn)公式用來反映近壁區(qū)低雷諾數(shù)效應(yīng)，系數(shù)4和8列表如下:I12345-3-5-7-9-12aiX10X10X10X10X10-3-5-7-9-12aiX10X10X10X10X102.1.4罕見k-兩方程模式在文獻(xiàn)中有許多種k渦粘性模式。為了便于比較，我們將幾種罕見的k模式作一歸類。它們的主要區(qū)別一是在k和的方程及其鴻溝條件，另一方面是阻尼函數(shù)f的取法。模式代號作者ChChien,1982LBLamandBremhorst,1981NTNaganoandTagawa,1990LSLaunderandSharma,1974MKMyongandKasagi,

19、1988YSYangandShih,1991S&LShihandLumley,1993CMOTTZhuandShih,1995所有上述八種模式都可以用一個統(tǒng)一的方程組暗示:tCfk(5)dkdtxitkkXi/Dtijxj(6)d_dtXitXi入,1Ui八C1f1tijCxj2f2一E(7)啟美的項(xiàng)，D,E,T列表如下：ModelTDEChK2k2y22y-exp(0.5y)LBK00NTk00LSK2y222u2T2yMKk_00YSki02u2T2yS&Lk_022UT2yCMOTTK02u2T2y阻尼函數(shù)f,f1和£2對分歧的模式有分歧的暗示式。Modelff

20、1f2Ch1exp(0.115y)LB0.165Rk220.5、(1ek)(1-)RtNT1exp2y1&126Rt3/4dRt11.22exp()363.052、11exp(Rt)fRt21.3exp()6.511exp()26LS3.4exp2(1R/50)2、11.3exp(Rt)MK(11exp(幻)2R21-exp(-)9361y21exp(4)5YSexp(.004y5e63842ey8ey)Rt11.22exp(右)S&Lexp(.004Rk5e63842eRk8eRk)5Rk2CMOTTexp(.004Rk5e3O42e6Rk8e8Rk)5Rk2R11.22ex

21、p(廣)36Rt211.22exp(-)136式中Rk,y和R定義為模式中出現(xiàn)的?；?shù)分別為ModelCC1C2kCh.09LB.09NT.09LS.09MK.09YS.09S&LCMOTT.09Eq(5.19)對分歧的模式有分歧的處理連界條件的方法:ModelB.C.forkwB.C.forwCh002kLB02y2kNT02yLS002kMK02y一2YSk02y4S&L2U0.25u0.251一4CMOTT0.25u20.2512.2其它雙方程模式渦粘性系數(shù)的量綱為速度x長度，當(dāng)用k,來?；瘯r，它們之間的關(guān)系為TCk2/。我們注意到，對尺度k模式的方程，在固壁上有奇點(diǎn)問

22、題（壁面上湍動能k0）,這是因?yàn)槟Ｊ讲槐M合理帶來的非物理的奇點(diǎn)。此外在計算中由于k,在壁面附近變更劇烈，必須在物面附近將網(wǎng)格劃分得非常小，才干得到合理的結(jié)果。為了克服這些困難，人們試圖尋找其它的湍流量來代替k,?？赡艿倪x擇有/k,k/,lk3/2/,qn,相應(yīng)地，渦粘性系數(shù)可暗示成：現(xiàn)在就來介紹幾種典型的模式：2.2.1 k-w兩方程模式(Wilcox)k-模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，最主要文獻(xiàn)來自Wilcox。求解湍動能k和它的/k,k/,lk3/2/,q瓜(specificdissipationrate)的對流輸運(yùn)方

23、程已經(jīng)證明Wilcoxk-模式在粘性子層比k-具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。由于壁面附近，值較大，模式不象k-模式或者其它兩方程模式，它不需要顯式的壁面衰減函數(shù)。對于比較緩的逆壓梯度流動，該模式在對數(shù)區(qū)域給出的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為符合。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為這里t為渦粘性(eddyviscosity),Sj為平均速度應(yīng)變率張量(mean-velocitystrain-ratetensor),為流體密度，k為湍動能，j為克羅內(nèi)克算子(Kroneckerdelta)。渦粘性定義為湍動能k和比耗散率的函數(shù)k和的輸運(yùn)方程為b.模式常數(shù)和參數(shù)模式中各常數(shù)的定義為c.鴻溝條件對鴻溝層流動，壁面無滑移鴻溝

24、條件為k0和10一6一2(yi)這里yi為離開壁面第一個點(diǎn)的距離，且y；1。對稱鴻溝條件采取零梯度條件，各種附加的鴻溝條件將在具體流動中討論。2.2.2 SST兩方程模式(Menter)k-SST剪切應(yīng)力輸運(yùn)(shear-stress-transport)模式在近壁處采取Wilcoxk-模式，在鴻溝層邊沿boundarylayeredges)和自由剪切層free-shearlayers)采取k-模式k-形式，其間通過一個混合函數(shù)blendingfunction來過渡，屬于積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式。為了有效結(jié)合k-和k-模式，統(tǒng)一寫成k-形式a.模式方程渦粘性定義為這里

25、是渦量的絕對值，ai0.31,F2是混合函數(shù)。T的形式解決了湍流剪切應(yīng)力在逆壓梯度鴻溝層的輸運(yùn)。k和由相應(yīng)的模式輸運(yùn)方程得到。湍動能輸運(yùn)方程湍流比耗散率方程上式中最后一項(xiàng)代表交錯擴(kuò)散項(xiàng)(cross-diffusionterm)生成項(xiàng)b,模式常數(shù)和參數(shù)這里CDkmax22,1020XjXj這里CDk代表k-模式中的交叉擴(kuò)散(cross-diffusion)。SST模式常數(shù)由來暗不，用2分別暗示原始k-模式系數(shù)和轉(zhuǎn)化的k-模式系數(shù)Fii1這里Innermodel系數(shù):Outermodel系數(shù):2.2.3 k模式方程為DkDtk,iUiUjUi,j,i(5.29)DDt,i2一,i,i,iC1UiUjUi,jC2k(5.30)?；?shù)為對低雷諾數(shù)流動有(5.31)2exp(a1Ra2Ra3R3(5.32)其中模式的框架下,Speziale(1990)33提出了下列的模式:(5.33)DkDt二k,ikuiujUi,j(5.34)DDt,i,