第 2 章 角動量 角動量守恒定律

1、2-5 角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律1. 力矩與角動量，質(zhì)點的角動量定理、角動量守恒力矩與角動量，質(zhì)點的角動量定理、角動量守恒 定律的及其應(yīng)用。定律的及其應(yīng)用。掌握：掌握：能使質(zhì)點繞固定點轉(zhuǎn)動的力：能使質(zhì)點繞固定點轉(zhuǎn)動的力：rF0 考察質(zhì)量為考察質(zhì)量為m的質(zhì)點繞固定點的質(zhì)點繞固定點o轉(zhuǎn)到。轉(zhuǎn)到。問：問：什么力作用于質(zhì)點什么力作用于質(zhì)點能使它繞能使它繞o轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動？M0 與與 共線不能轉(zhuǎn)動！共線不能轉(zhuǎn)動！FrFr一、力矩與角動量一、力矩與角動量對參考點對參考點o的力矩的力矩rF = M 回顧：回顧：而力矩使質(zhì)點而力矩使質(zhì)點轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變dpF =dt力使質(zhì)點的動量改變力使質(zhì)點

2、的動量改變F什么物理量跟動量對應(yīng)？什么物理量跟動量對應(yīng)？力跟力矩有對應(yīng)的關(guān)系力跟力矩有對應(yīng)的關(guān)系morrdpF =dt 將將 兩邊同時乘兩邊同時乘 ：dpF =dtrdpM = rdt 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律能否變成能否變成 ？rp 即恒有：即恒有：rF = M drp = v p = 0dt dLM =dtrp = L 角動量角動量描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)dr+pdt dpd()rdtdrtp d(rp)=dt dprdt 利用公式利用公式 ，有：，有：ddBdA(AB) = A+Bdtdtdt 衛(wèi)星衛(wèi)星地球地球+rF由由 確定，滿足右手規(guī)則。確定，滿足右手規(guī)則。 力矩的大小力矩的大小力矩的方向：

3、力矩的方向：M = rFsin力矩的單位：力矩的單位：N mrLMmFp角動量的方向：角動量的方向： 角動量的大小角動量的大小L = rpsin = rmvsin角動量的單位：角動量的單位：2kg m /s or J s. .同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量可以不同。同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量可以不同。. 在說明質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪個點而言的。在說明質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪個點而言的。 orL = rp M=r F 由由 確定確定rp 注意：注意：o2= mr - (acost i +bsint j ) 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的質(zhì)點在平面上作曲線運(yùn)動，其位矢表達(dá)式的質(zhì)點在平面

4、上作曲線運(yùn)動，其位矢表達(dá)式 為為 ，式中，式中a、b、 皆為常量皆為常量 ，求質(zhì)點對原點的角動量，以及所受力對原點的力矩？，求質(zhì)點對原點的角動量，以及所受力對原點的力矩？r = acost i +bsint j (m)解：利用力矩與角動量的定義，有：解：利用力矩與角動量的定義，有：L = rp = (acost i +bsint j )= m(acost i +bsint j ) (-asint i +bcost j ) 22= mabcos tk +mabsin tk = mabkM = rF dr= rmdt 22d r= rmdt = 0d(acost i +bsint j )mdt 2

5、= -m rr 解：由力矩與角動量的定義，有：解：由力矩與角動量的定義，有： r o0rL = rp (-asint i +bcost j ) M = rF 0drdr= mr+mrdtdt2002d (r +r )= (r +r ) mdt 00d(r +r )= (r +r ) mdt = abmk0mr k 0-mr (asintjbcosti) = abmk22022d rd r= mrmrdtdt 220= 0+mr k(-a cost i -b sint j ) 20= -mr k(acost ibsint j ) 20= -mr (acost j-bsint i )接上題：求質(zhì)點

6、對接上題：求質(zhì)點對o 的的 。LM、rLMmFpo比照沖量，定義比照沖量，定義沖量矩沖量矩：微分形式的角動量定理微分形式的角動量定理二、角動量定理與角動量守恒定律二、角動量定理與角動量守恒定律dLM =dt積分形式的角動量定理：積分形式的角動量定理：作用于物體上的力的沖量矩等于物體角動量的增量。作用于物體上的力的沖量矩等于物體角動量的增量。角動量的增量反映出力矩作用的累積效果！角動量的增量反映出力矩作用的累積效果！Mdt = dL21ttMdt2211tL21tLMdt =dL = LLM = 0當(dāng)當(dāng)L=r (mv)=const. 角動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒條件角動量守恒條件: 與

7、與 共線共線FrF = 0注意注意：盡管：盡管 ，但，但 的某一分量為零時，則該方向的某一分量為零時，則該方向 M0M的角動量分量守恒。的角動量分量守恒。力矩力矩 僅有僅有z軸分量！軸分量！M=r F 轉(zhuǎn)動定理的分量形式轉(zhuǎn)動定理的分量形式直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：dLM =dtxxdLM =dtxyzxyzd(L i +L j+L k)(M i +M j+M k) =dtyydLM =dtzzdLM =dt 質(zhì)點繞固定軸線的轉(zhuǎn)動質(zhì)點繞固定軸線的轉(zhuǎn)動角動量角動量 僅有僅有z分量！分量！L = rp 角動量大?。航莿恿看笮。簔L = rmvsin力矩力矩的大小：的大?。簔M = rFsin轉(zhuǎn)動定

8、理轉(zhuǎn)動定理:zzdLM =dtrLMpozmFLMpozmF 質(zhì)點作圓周運(yùn)動，有：質(zhì)點作圓周運(yùn)動，有：轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理為：為：zzdLM =dtzzM = J v = R轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理:轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Rz= J 0Rmvsin90d()=dtd =dt2= mRddt 角動量守恒定律：角動量守恒定律：zL = const. 積分形式的積分形式的角動量定理角動量定理:zzM dt = dL2211tLzzz2z1tLM dt =dL = L-L 將將 變形得變形得微分形式的微分形式的角動量定理：角動量定理：zzdLM =dtvr開普勒第二定律開普勒第二定律1r2=dr s2mtinddrmv

9、rsin = mrsindtdS= 2mdtdS= cdt 即：即：mvrsin = c行星繞恒星的轉(zhuǎn)動：行星繞恒星的轉(zhuǎn)動： 軌道在一平面內(nèi)！軌道在一平面內(nèi)！因為因為 與與 共線：共線：Frrdr L = cmdrLF例：如圖，光滑的水平面上一繩子長例：如圖，光滑的水平面上一繩子長L=2m，一端固定于，一端固定于O 點，另一端系一質(zhì)量點，另一端系一質(zhì)量m=0.5kg的物體。初始物體位于的物體。初始物體位于A 點，點，OA間距間距d=0.5m，繩處于松馳狀態(tài)?，F(xiàn)使物體以，繩處于松馳狀態(tài)?，F(xiàn)使物體以 初速初速vA=4m/s垂直于垂直于OA向右滑動，隨后物體到達(dá)向右滑動，隨后物體到達(dá)B點，點， 此時

10、其速度方向與繩垂直，求此時物體速度的大小此時其速度方向與繩垂直，求此時物體速度的大小vB。 例：物體運(yùn)動過程角動量守恒，有：例：物體運(yùn)動過程角動量守恒，有： ABOAmv= OBmv 即：即：ABd mv= L mvABd v0.5 4v =1m sL2 O解：設(shè)地球、衛(wèi)星質(zhì)量分別為解：設(shè)地球、衛(wèi)星質(zhì)量分別為M、m。衛(wèi)星受向心力作用，角動量守恒：。衛(wèi)星受向心力作用，角動量守恒：例：人造地球衛(wèi)星近地點離地心例：人造地球衛(wèi)星近地點離地心r1=2R，遠(yuǎn)地點離地心，遠(yuǎn)地點離地心r2= 4R，R為地球半徑。求：衛(wèi)星在近地點及遠(yuǎn)地點處的為地球半徑。求：衛(wèi)星在近地點及遠(yuǎn)地點處的 速率速率v1和和v2。112

11、2L = rmv = r mv12v = 2v22121Mm1Mmmv -G=mv -G22R24R2MmG= mgR12Rgv =32Rgv =6又衛(wèi)星的機(jī)械能守恒：又衛(wèi)星的機(jī)械能守恒： 1v2v1r2r122Rmv = 4Rmv因為在地球表面：因為在地球表面：聯(lián)立上聯(lián)立上3方程得：方程得：例：例：如圖，如圖，火箭以第二宇宙速度火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切沿地球表面切 向飛出。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動機(jī)停止工作，向飛出。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動機(jī)停止工作， 不計空氣阻力，求火箭在距地心不計空氣阻力，求火箭在距地心4R的的A處的速度。處的速度。2v =2Rg解：設(shè)地球、火箭質(zhì)量分別為解

12、：設(shè)地球、火箭質(zhì)量分別為M、m?；鸺齼H受向心力作用，角動量守恒：火箭僅受向心力作用，角動量守恒：又機(jī)械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到達(dá)處的又機(jī)械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到達(dá)處的 E=0 2Amv R = mv 4Rsin2A1Mm0 =mv -G24RAv2vAM1v=G=gR2R2o1sin = = 302Asin =2Rg 4v2MmG= mgR地球表面：地球表面：z例：如圖，將質(zhì)點沿半徑為例：如圖，將質(zhì)點沿半徑為 r 的光滑半球形碗的內(nèi)面水平的光滑半球形碗的內(nèi)面水平 地投射地投射, 碗保持靜止，設(shè)碗保持靜止，設(shè) v0 是質(zhì)點恰好能達(dá)到碗口所是質(zhì)點恰好能達(dá)到碗口所 需的初速率。求需的初速率。求 v0 與與 0 的關(guān)系。（的關(guān)系。（ 0 是質(zhì)點的初始是質(zhì)