2021屆浙江高三3月卷立體幾何大題匯編教師版

1、ABBC*AD,將ABC沿AC翻折至PAC.ACBC(1)求證：BDAC；(2)若P為AC上一點(diǎn)，且AP2021屆浙江高三立體幾何大題匯編1:已知四邊形ABCD,ABCCAD90，(1)若PAPD,求證：APCD；1(2)若二面角PACD的余弦值為，4求PD與平面PAC所成角的正弦值.2：如圖，三棱錐PABC中，ABACBCT3pA，PB面PAC,E,F分別為AC,pb的中點(diǎn).(1)求證：ACEF;(2)求PB與平面ABC所成角的正弦值.3:如圖，在三雉PABC中，AB點(diǎn)，PA2,PB且二面角PABC的平面角大小為60.(I)求證：ACPF；(n)求直線PF與平面PAC所成角的正弦值.4:在三

2、麴隹ABCD中，ABADBD2,BCDC拒，AC2.3-AC,求直線BP與平面ACD所成角的正弦值.45：如圖，三棱柱ABCDEF所有棱長(zhǎng)均為1,且四邊形BCEF為正方形，又ABEC(1)求證：DEAF;(2)求直線AB和平面ACF所成角的正弦值.6:如圖，已知四棱錐PABCE中，PA平面ABCE，平面PAB平面PBC,且AB1,BC2,BE2收,點(diǎn)A在平面PCE內(nèi)的射影恰為PCE的重心G.(1)證明：BCAB；(2)求直線CG與平面PBC所成角的正弦值.，一，一一，一一一一一1一7:如圖，三棱臺(tái)ABCDEF中，ADACCFCBBE-DF(3)證明：ABF一；2(4)若DEDF,求BF與平面A

3、BC所成角的正弦值.8:如圖，七面體ABCDEF的底面是凸四邊形ABCD，其中ABAD2,BAD120,AC,BD垂直相交于點(diǎn)O,OC2OA,棱AE,CF均垂直于底面ABCD.(1)證明：直線DE與平面BCF不平行；(2)若CF1,求直線BC與平面BFD所成角的正弦值.9:(本題滿分15分)在四棱錐PABCD中，AB/CD,角三角形，PAPB2J2,過(guò)CD的平面分別交線段PA,PB于端點(diǎn)).(I)求證：CD/平面MNE.(n)若E為DP的中點(diǎn)，且DM平面APB,求直線PA與平面MNE所成角的正弦值.CAD2,DAB60,APB為等腰直M,N,E在線段DP上（M,N,E不同于CjT中1/t

4、63;110:如圖1,在矩形ABCD中，BC2AB使得PB氫,如圖2.(I)求證：面PCE面ABCE；(II)求PC與面ABP所成角的正弦值.2,E是AD中點(diǎn)，將ACDE沿直線CE翻折到ACPE的位置,平面ABCD11:如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形,AD/BC,ABCDAB90,BC2AB2AD2,平面PCD(1)證明：BD平面PCD；(2)若PDPC口求三棱錐BACP的體積.12:在三麴tABCA1B1C1中，在等腰直角ABC中，ACBBC1,AAi1,點(diǎn)A在平面ABC上投影在AC邊的中點(diǎn)E,M,N分別為CG,AB的三等分點(diǎn)(靠近于C(1)求證：MN/平面ABC(2)求

5、直線AE與平面BMN所成角的正弦值13:如圖，在四邊形MACB中，AB2新，BC273,AC472,MA4,MB2將MAB沿直線AB折成PAB,使得四面體PACB中PABC求證：PAPC(2)若E為AB的中點(diǎn)，求直線PE與平面PCB所成角的正弦值21屆浙江高三2-33:已知四邊形ABCD,ABCCAD90，(1)若PAPD,求證：APCD；1(2)若二面角PACD的余弦值為，4求PD與平面PAC所成角的正弦值.方法提供與解析：(嘉興趙琴學(xué))解析：(1)不妨設(shè)AD瓢,則ABBC1,月卷例題幾何大題匯編ABBC彳AD,將ABC沿AC翻折至PAC.即PAPD1,PA2PD2AD2,APD90,即AP

6、PD,-APPC,PDPlPCP,AP平面PCD,APCD.(2)過(guò)B作BE并延長(zhǎng)交CD于F,連結(jié)過(guò)P作POEF于O,過(guò)D作DM平面PAC于連結(jié)PM貝UPM是PD在平面PAC內(nèi)的射影，則BEAC,EFPEF就是二面角PACPF,MPD即為所求角.D的平面角,PC,即cosPEF不妨設(shè)AD22,則PAPCE為AC的中點(diǎn),YADAC,EFAC,AD/EFF為CD的中點(diǎn),EF2ad在PEF中,由余弦定理可知PF2(；)PF'；CFDF1,PCcosPCDPD2PD142/BEAC,EFAC,BE口EFAC平面PEFACPOPOEF,EFCACPO平面ACDsinPEO15不，PO308由等體

7、積可知VdPACVpACD1一SpacDM3ACDsinMPDDMPD3021410514'PD與平面PAC所成角的正弦值為詈54PEOPEFPODM30T，2:如圖，三棱錐PABC中，ABACBC而PA，PB面PAC,E,F分別為AC,PB的中點(diǎn).(1)求證：ACEF；(2)求PB與平面ABC所成角的正弦值.方法提供與解析：(浙江寧波潘成剛)(1)解析：(幾何法)AB連接PE,BE,易得BEAC，因?yàn)镻B面PAC,所以PBAC,由BEAPBB,所以AC平面PEB,而EF平面PEB,所以ACEF.（2）解析：（坐標(biāo)法）由（1）得，AC平面PEB,所以PBE就是PB與平面ABC所成角，不

8、妨設(shè)PA1,1在等腰二角形PAC中，PAPC1,ACJ3，所以PE在等邊三角形ABC中,_3PE11BE-,所以SinPBE即PB與平面ABC所成角的正弦值為-.2BE33BC的中點(diǎn).已知ACAB,Py3：如圖，在三雉PABC中，AB點(diǎn)，PA2,PBAC1,F為線段且二面角PABC的平面角大小為60.（I）求證：ACPF；（n）求直線PF與平面PAC所成角的正弦值.方法提供與解析：（上海奉賢沈健）解析：（I）如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線，交于點(diǎn)因?yàn)锳CAB,所以MBAB.因?yàn)锳B后，PA2,PB1,所以AB2PB2PA2,所以PBAB.所以PBM是二面角PABC的平面角，所

9、以PBM60,又BMAC1所以PBBM1,所以APBM是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.取線段BM的中點(diǎn)H,連接PH,則PHBM.如圖，分別以AC、AB為x軸、y軸，過(guò)A點(diǎn)與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),C(1,0,0),B(0,V3,0),F(,0),H(-,;3,0),P(,Vs,)22222所以AC(1,0,0),PF(0,),所以ACPF0,即ACPF；(n)設(shè)直線PF與平面PAC所成的角為，設(shè)平面PAC的法向量為n(u,v,w),nPA則nAC13u3vw0,所以22,取u0w2,則v1,所以n(0,1,2).所以sinPFnPF26510.10即直線PF

10、與平面PAC所成角的正弦值為1070"coscosni,n21nl及|ni|n2|3注意到二面角AB1DC大小的余弦值為354:在三棱錐ABCD中，ABADBD2,BCDC無(wú)，AC2.(1)求證：BDAC；3(2)若P為AC上一點(diǎn)，且AP3AC,求直線4方法提供與解析：(浙江寧波潘成剛)(1)解析：(幾何法)取BD中點(diǎn)。，連接A0,0C,因?yàn)锳B所以BD平面A0C,即BDAC.(2)解析：(坐標(biāo)法)AD,BCBP與平面ACD所成角的正弦值.O,DC,所以BDA0,BD0C,又因?yàn)锳0A0由(1)得，BD平面A0C,又因?yàn)锽D平面BCDAOC平面BDC,易得AO33,OC1，所以AO2

11、OC2AC2,即AO0C，又因?yàn)槠矫鍭OCC!平面BDCOC,所以AO平面BDC,如圖所示，以射線OB,OC,OD為x,y,z正半軸建系.A0,0,點(diǎn),B=1,0,0,C0,1,0,D1,0,0,P0,立，4475:如圖，三棱柱ABCDEF所有棱長(zhǎng)均為1,且四邊形BCEF為正方形，又(1)求證：DEAF；(2)求直線AB和平面ACF所成角的正弦值.方法提供與解析：(浙江寧波潘成剛)(1)解析：(幾何法)連接BF,CD,由四邊形BCEF為正方形可得，ECBF,又因?yàn)锳BEC,ABABFB,所以EC平面ABF,所以ECAF,易得四邊形ACFD為菱形,ABD則AFCD,又CDACEC,所以AF平面C

12、DE,即AFDE.（2） 解析：（幾何法）因?yàn)锳B/DE,所以DEEC,且DE和平面ACF所成角與直線AB和平面ACF所成角相等，由（1）得，AF平面CDE,又因?yàn)锳F平面AFC,所以平面CDE平面ACFD,過(guò)點(diǎn)E作EHCD,又因?yàn)槠矫鍯DE平面ACFDCD,EH平面CDE,所以EH平面ACFD,即EDH為DE和平面ACF所成角.由DEsinEDHsinEDC所成角的正弦值為號(hào)EC.26一一,直線AB和平面ACFDC336:如圖，已知四棱錐PABCE中，PA平面ABCE,平面PAB平面PBC,且AB1,BC2,BE272,點(diǎn)A在平面PCE內(nèi)的射影恰為PCE的重心G.（5）證明:BCAB;（6）

13、求直線CG與平面PBC所成角的正弦值.方法提供與解析：（嘉興趙琴學(xué)）解析：（1）過(guò)A作ADPB于D,因?yàn)槠矫鍼AB平面PBC面PABPl平面PBCPB,AD平面PAB,所以AD平面PBC,AD,平BC平面ABCE,以PABC,PAnADA,所以BC平面PAB,BCAB（2）連結(jié)PG并延長(zhǎng)交CE于M,連結(jié)AM.以B為原點(diǎn)，分別以BA,BC所在的直線為x,y軸，以過(guò)B且與平面ABCE垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B（0,0,0）,A(1,0,0),c(0,2,0),設(shè)E(x,y,0)平面PCE,AGCE,同理PACEAGflPA平面所CEAM.；'G是PCE的重心,M是

14、CE的中點(diǎn),AC(1)知,BCABACAEBE(x,y,0),AE(x1,y,0)2y1)2則P(1,0,a),故c4aG(1,二，)E(2,2,0),PAMr第19題圖AGGC332a9AG(0,二；),CG(1,2a、二,二）,33設(shè)平面PBC的法向量為與平面PBC所成角為P(1,0,22)BP(1,0,2歷，BC(0,2,0),CG(1,弓,3(x,y,z),則CGBPBC|CG|n|x22z2y0°,令z則1（2衣,0,1）,設(shè)直線CG22022_3”21Q3344263'故直線CG與平面PBC所成角的正弦值為4_絲.637:如圖，三棱臺(tái)ABCDEF中，ADACCFC

15、B(7)證明：ABF(8)若DEDF,求BF與平面ABC所成角的正弦值.方法提供與解析:2，貝UADACCFCBBE1,1BE-DF.2解析：(1)將三棱臺(tái)補(bǔ)形為三棱錐PDEF,連結(jié)AF設(shè)DF_1_AF斕，AC2DF,BC1一一一一EF,故BF3,AF2(2)平面ABC/平面DEFBF與平面ABC所成角即為平面DEF所成角，過(guò)B作BO面DEF于O,過(guò)O作OHEF于連結(jié)OF.OF是在平面內(nèi)的射影,BFO即為所求角.-DE三棱錐DEF為正四面體,EH1OE2BO-63又BF3，sinBFOBOBF正弦值8:如圖，七面體ABCDEFBF與平面ABC所成角的的底面是凸四邊形ABCDBAD120,AC,

16、BD垂直相交于點(diǎn)O,OC(1)證明：直線(2)若CF1方法提供與解析:解析：(1)假設(shè)ABF為等腰三角形,ABFBFH,DF,其中ABAD2OA,棱AE,CFDE與平面BCF不平行；求直線BC與平面BFD所成角的正弦值.(上海奉賢沈健)DE/平面BFC因?yàn)锳E/CF,AE平面BFC,所以AE平面BFC.又因?yàn)镈E/平面BFC,AE門DEE,所以平面ADE/平面BFC根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得AD/BC,所以BOCOODOA2,因?yàn)锳BAD,AOBD,所以BOOD,這與OC20A矛盾.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B(0,有0),C(2,0,0),D(0j3,0),E(1

17、,0,2),F(2,0,1).所以BC(2j3,0),DB(0,273,0),DF(2,曲,1).設(shè)平面BFD的法向量n(x,y,z).-DBn0曰2.3y0由_,可得，DFn02x3yz0則y0,取x1,z2.所以平面BFD的一個(gè)法向量n(1,0,2).所以直線BC與平面BFD所成角的正弦值為sinBCn2735BC|W35DAB60,APB為等腰直P(pán)A,PB于M,N,E在線段DP上(M,N,E不同于平面PAB,CD/平而PAB.9:(本題滿分15分)在四棱錐PABCD中，AB/CD,AD2,角三角形，paPB2J2，過(guò)CD的平面分別交線段端點(diǎn)).(I)求證：CD/平面MNE.(n)若E為D

18、P的中點(diǎn)，且DM平面APB,求直線PA與平面MNE所成角的正弦值.方法提供與解析：(浙江金華+方磊)解析：(線面平行的判定定理與性質(zhì)定理)(1)證：AB/CD,AB平面PAB,CD又過(guò)CD的平面分別交線段PA,PB于M,N,CD/MN又CD平面MNE,MN平面MNE,CD/平面MNE.證完方法1：(傳統(tǒng)法，等體積法求點(diǎn)到平面的距離)(2)由4APB為等腰直角三角形，PAPB2J2,得AB4,APBP.又AD2,DAB60,由余弦定理得BD23,進(jìn)而B(niǎo)D2AD2AB2,得BDAD.因?yàn)镈M平面APB,所以DMAP,DMBP,又APBP,可得BP平面ADP,于是BPDP,從而可算得DP2.故ADD

19、P.所以M為AP的中點(diǎn)，進(jìn)而得到N是BP的中點(diǎn).NE<3,ME1,MN2所以MNE的面積SY3.設(shè)點(diǎn)P到平面MNE的距離為h.2容易得到：DMJ2,PMN的面積為1,PM在三麴隹EPMN中,由等體積法得：Sh1口,得到2記直線PA與平面MNE所成角為，則sinPM3即直線PA與平面MNE所成角的正弦值為.3方法2:（坐標(biāo)法）由題意可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則P0,0,0,A0,2V2,0,B2<2,0,0.因?yàn)镈M平面APB,所以可設(shè)D0,a,b,ab則E0,a,b2一M0,a,0,Na,0,0.因?yàn)锳D2,22DAB60,由余弦定理得BD2丁3,所以98a22ab2b24,12

20、解得ab員,故D0,后,衣,E0,，M0,J2,0,N亞,0,0.MN<2,超,0,Me0,設(shè)平面MNE的法向量為nx,y,z.2x則2.2y01y友，取xz021,1.從而平面MNE的一個(gè)法向量為1,1,1PA=0,242,0.記直線PA與平面MNE所成角為即直線PA與平面MNE所成角的正弦值為PAn22、3PAn22，3310：如圖1,在矩形ABCD中，BC2AB2,E是AD中點(diǎn)，將ACDE沿直線CE翻折到ACPE的位置,使得PB段，如圖2.(I)求證：面PCE面ABCE；(n)求PC與面ABP所成角的正弦值.方法提供與解析：(上海奉賢沈健)解析：(I)法1:證明：由圖1可彳#BE在

21、圖2中因?yàn)锽E金,PE1,PBa所以BE又因?yàn)镋CPIPEE,所以be面PEC.所以BE面ABCE,所以面PCE面ABCE.法2：證明：取EC中點(diǎn)N,由PEPC,得PN苗2PE.CE,pn巫2圖1EC，BNBCCN2BCCNcos45102BN2PN2PB2,故PNBN.CEIBN所以PN面ABCE,所以面PCE面ABCE.(n)法由EC中占I八、N,得AN又由(I)的法2可得,PN面ABCEBN,2,PN2所以APBP,SAABP業(yè),SaABC1.h*114設(shè)C到面ABP的距離為h,因?yàn)閂cABPVpABC)所以又sin工空,PC11所以直線PC與面ABP所成角的正弦值為2匹11法2：以點(diǎn)A

22、為原點(diǎn)，分別以AB,AE直線為X軸,以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于平面ABCE的直線為z軸建立直角坐標(biāo)系.由題意可知，B(1,0,0),C(1,2,0),E(0,1,0),PAP3_2,AB(1,0,0).設(shè)面ABP的法向量為n(x,y,z).nAP0貝U.,令ynAB0板得z3,所以n(0V2,p'112又pc，一，一222,所以sin|cosPC,n|里n|PC|n|2、.2211所以直線PC與面ABP所成角的正弦值為222法3：證明：因?yàn)锳BPM,APMN,PMAMNM.方法提供與解析：（嘉興趙琴學(xué)）（3）求證：MN平面ABC（4）求直線AR與平面BMN所成角的正弦值因?yàn)镼E面PAB,所以Q

23、到面ABP的距離S到面ABP的距離.11:如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形,平面ABCD（1）證明:BD平面PCD；若PDPC22,求三棱錐BACP的體積.解析：（1）因?yàn)樗睦忮FPABCD的底面ABCD是直角梯形，AD/BC,ABCDAB90,，面PCD平面ABCD,又BD平面ABCD,BD平面PCD.且平面PCDA平面ABCDCD,(2)"PDPC方法提供與解析：（杭州沙志廣）所以AB面PMN,所以面PAB面PMN交于PM,作STPM,所以ST面PAB.由相似計(jì)算得ST二11AD/BC,ABCDAB90,BC2AB2AD2,平面PCDBC2AB2AD2,BDAAB

24、2AD2夜,DC42,可得：BD2CD2BC2,BDDC,又因?yàn)槠揭?，取CD的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,則由（1）知DCPCD,投影在AC邊的中點(diǎn)E,M,N分別為CC1,AB的三等分點(diǎn)（靠近于C又因?yàn)镼是BC的中點(diǎn),/1QVBACPVPABCSABC3PO1122號(hào)6612:在三麴隹ABCA1B1C1中，在等腰直角ABC中,ACB一,2BC1,AA11,點(diǎn)A在平面ABC上所以h記為C到面ABP的距離Q到面ABP的距離的2倍2,2211所以直線PC與面ABP所成角的正弦值為2%11則PCD為等邊三角形,且平面PCDA平面ABCD13又sinPOCD,又因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD,POh222PC11CD

25、,PO平面BCD,PO292，1、A處）解析1:（空間建系）-CCiCM，且有3ND/AA1/CC1/CM（1）取AB上三等分點(diǎn)D（靠近于點(diǎn)A）,連接AN、AC一2在ABAi中，由相似知DN-AAi3所以四邊形DCMN為平行四邊形，即MN/CD,又因?yàn)镸N平面ABC,CDABC所以MN/平面ABC3（2）以C為原點(diǎn)，CA,CB為X,y軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于面ABC為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，BC1,EAi（0,0,-）,2B（0/，0）'（2，0噂1-31-31T3M（3，0r），ba1（萬(wàn)，1，），BM（小石）設(shè)平面MBN即平面BAM的法向量為n（x,y,z）,則nBA1nBM12Xy13Xy,3z2.3z3