第6章 數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)

1、 什么是數(shù)字濾波器（什么是數(shù)字濾波器（ DF ）顧名思義：其作用是對(duì)輸入信號(hào)起到濾波的作顧名思義：其作用是對(duì)輸入信號(hào)起到濾波的作用；即用；即DF是由差分方程描述的一類(lèi)特殊的離散是由差分方程描述的一類(lèi)特殊的離散時(shí)間系統(tǒng)。時(shí)間系統(tǒng)。它的功能：把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算變換成它的功能：把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算變換成輸出序列。不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器輸出序列。不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。 一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號(hào)流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺(tái)專(zhuān)門(mén)的設(shè)備，構(gòu)成專(zhuān)用的信號(hào)處理機(jī)； 一種方法就是直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)執(zhí)行，

2、這也就是用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。三種基本的運(yùn)算單元：乘法器、加法器和單位延時(shí)器三種基本運(yùn)算的方框圖和流圖 以一道例題說(shuō)明轉(zhuǎn)換的方法；以一道例題說(shuō)明轉(zhuǎn)換的方法；例例6.2-1 求出圖信號(hào)流圖所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求出圖信號(hào)流圖所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 和差分方程；和差分方程；( )H z首先，在信號(hào)流圖中標(biāo)出節(jié)點(diǎn)號(hào)（輸入、首先，在信號(hào)流圖中標(biāo)出節(jié)點(diǎn)號(hào)（輸入、輸出節(jié)點(diǎn)除外）；輸出節(jié)點(diǎn)除外）；節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2、3為分支節(jié)為分支節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為：點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為：節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2、3為分支節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為：為分支節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為：21321( )(1)( )(1)(2)w nw nw nw nw n節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1、4為加法節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為

3、為加法節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)值為 ； 1122311214011223011121( )( )( )( )( )(1)(2)( )( )( )( )( )(1)(2)( )w nx na w na w nx na w na w nw nb w nb w nb w nb w nb w nb w ny n1122311214011223011121( )( )( )( )( )(1)(2)( )( )( )( )( )(1)(2)( )w nx na wna w nx na w na w nwnb w nb wnb w nb w nb w nb w ny n為了消去中間變量為了消去中間變量 ； 1( )w n

4、得到：得到：121112112011121( )( )( )( )( )( )( )( )W zX za z W za z W zY zb W zb z W zb z W z則系統(tǒng)函數(shù)為：則系統(tǒng)函數(shù)為：12012112112( )( )( )( )( )( )( )1bbzb zW zY zY zH zX zW zX zaza z121212012(1) ( )()( )a za zY zbb zb zX z對(duì)方程兩邊求對(duì)方程兩邊求z反變換，可得系統(tǒng)的差分方程：反變換，可得系統(tǒng)的差分方程：12012( )(1)(2)( )(1)(2)y na y na y nb x nb x nb x n01

5、212( )( )(1)(2)(1)(2)y nb x nb x nb x na y na y n01( )()()MNmkmky nb x nma y nk對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于是輸入及其是輸入及其各延時(shí)項(xiàng)的各延時(shí)項(xiàng)的加權(quán)和；加權(quán)和；需要需要個(gè)延個(gè)延時(shí)單元；時(shí)單元；是輸出及其是輸出及其各延時(shí)項(xiàng)的各延時(shí)項(xiàng)的加權(quán)和；加權(quán)和；對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于該部分為反饋該部分為反饋網(wǎng)絡(luò)，需要網(wǎng)絡(luò)，需要 N個(gè)延時(shí)單元個(gè)延時(shí)單元1( )w n中間變量中間變量 是延時(shí)子網(wǎng)絡(luò)的輸出，同時(shí)也是是延時(shí)子網(wǎng)絡(luò)的輸出，同時(shí)也是輸出反饋?zhàn)泳W(wǎng)絡(luò)的輸入；輸出反饋?zhàn)泳W(wǎng)絡(luò)的輸入；兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的差分方程分別為：兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的差分方程分別為：1101( )()

6、( )( )()MNmkmkw nb x nmy nw na y nk則兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)分別為：則兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)分別為：110211( )( )( )( )1( )( )1MmmmNkkkW zH zb zX zY zHzW za z顯然有：顯然有：12( )( )( )H zHz Hz將直接將直接型結(jié)構(gòu)的兩個(gè)型結(jié)構(gòu)的兩個(gè)子系統(tǒng)交換次序子系統(tǒng)交換次序 ，有：，有： 21( )( )( )H zHz Hz由于兩個(gè)分支節(jié)點(diǎn)由于兩個(gè)分支節(jié)點(diǎn)和和的節(jié)點(diǎn)值相同，其的節(jié)點(diǎn)值相同，其下面的各延時(shí)支路的輸出也對(duì)應(yīng)相同，所以下面的各延時(shí)支路的輸出也對(duì)應(yīng)相同，所以可以將兩部分相對(duì)應(yīng)的延時(shí)支路合并；可以將

7、兩部分相對(duì)應(yīng)的延時(shí)支路合并；結(jié)構(gòu)形式稱為直接結(jié)構(gòu)形式稱為直接型型又稱為典范型或規(guī)范型又稱為典范型或規(guī)范型只需只需N個(gè)延時(shí)單元個(gè)延時(shí)單元（N M時(shí)）；時(shí)）；1212352333( )1111636zzH zzzz直接直接型、直接型、直接型和轉(zhuǎn)置直接型和轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)；型結(jié)構(gòu)； 由系統(tǒng)函數(shù)可得濾波器的差分方程為：由系統(tǒng)函數(shù)可得濾波器的差分方程為：52( )3 ( )(1)(2)33111(1)(2)(3)636y nx nx nx ny ny ny n則濾波器的直接則濾波器的直接型、直接型、直接型和轉(zhuǎn)置型和轉(zhuǎn)置直接直接型結(jié)構(gòu)分別如圖所示型結(jié)構(gòu)分別如圖所示系數(shù)系數(shù) 和和 對(duì)濾波器性能的控制關(guān)系不對(duì)濾

8、波器性能的控制關(guān)系不直接，調(diào)整困難；直接，調(diào)整困難；mbka零、極點(diǎn)分布對(duì)系數(shù)變化的靈敏度高，零、極點(diǎn)分布對(duì)系數(shù)變化的靈敏度高，對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)敏感，易引起不穩(wěn)定現(xiàn)對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)敏感，易引起不穩(wěn)定現(xiàn)象和較大的誤差；象和較大的誤差；濾波器的階次越高，上述問(wèn)題就越明顯；濾波器的階次越高，上述問(wèn)題就越明顯；mkba、與系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 零、極點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系零、極點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系( )H z不明顯；不明顯；mkba、的改變會(huì)影響所有零點(diǎn)或極點(diǎn)的分布；的改變會(huì)影響所有零點(diǎn)或極點(diǎn)的分布；且且由于濾波器的系數(shù)應(yīng)為實(shí)數(shù)由于濾波器的系數(shù)應(yīng)為實(shí)數(shù) ；121211*11111*111(1)(1)(1)( )(1)(1)(

9、1)MMmmmmmNNkkkkkp zq zq zH zKc zd zd z121211212111121211(1)(1)( )(1)(1)MMmmmmmNNkkkkkp zzzH zKc zzz121211212111121211(1)(1)( )(1)(1)MMmmmmmNNkkkkkp zzzH zKc zzz0012121211121( )( )1NNkkkkkkkzzH zKKHzzz0012121211121( )( )1NNkkkkkkkzzH zKKHzzz0/2NN若若 N 為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則0(1)/2NN并且其中一個(gè)為一階子系統(tǒng)；并且其中一個(gè)為一階子系統(tǒng)；常用直接常用

10、直接型或轉(zhuǎn)置直接型或轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)；型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)；常用直接常用直接型或轉(zhuǎn)置直接型或轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)；11kk 、 硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以用一個(gè)二階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)分硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以用一個(gè)二階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)分復(fù)用，延時(shí)單元最少，節(jié)省存儲(chǔ)器；復(fù)用，延時(shí)單元最少，節(jié)省存儲(chǔ)器；每一個(gè)基本節(jié)系數(shù)的變化只影響該子系統(tǒng)的每一個(gè)基本節(jié)系數(shù)的變化只影響該子系統(tǒng)的零、極點(diǎn)，因此便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的零極零、極點(diǎn)，因此便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的零極點(diǎn)，進(jìn)而便于調(diào)整濾波器的性能；點(diǎn)，進(jìn)而便于調(diào)整濾波器的性能； 可以單獨(dú)調(diào)整濾波器可以單獨(dú)調(diào)整濾波器 的第的第k對(duì)零點(diǎn)或極對(duì)零點(diǎn)或極點(diǎn)的位置，而不影響其它的零極點(diǎn)；點(diǎn)的位置，而不影響

11、其它的零極點(diǎn)；H z（）12*011*111( )111NNkkkkkkkkABBH zKc zd zd z僅在僅在 時(shí)存在時(shí)存在 NM將式中的部分分式合并為二階實(shí)系數(shù)分式，得：將式中的部分分式合并為二階實(shí)系數(shù)分式，得：12001010112111210100121112( )11( )1NNkkkkkkkkNNkkkkkkkAzH zKc zzzzKKHzzz12001010112111210100121112( )11( )1NNkkkkkkkkNNkkkkkkkAzH zKc zzzzKKHzzz： ：H z（）0K并聯(lián)型結(jié)構(gòu)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)并聯(lián)一階節(jié)和二階節(jié)的結(jié)構(gòu)：并聯(lián)一階節(jié)和二階節(jié)的結(jié)構(gòu)：

12、顯然，并聯(lián)一階節(jié)的分母多項(xiàng)式系數(shù)顯然，并聯(lián)一階節(jié)的分母多項(xiàng)式系數(shù)就是它所對(duì)應(yīng)的實(shí)極點(diǎn)就是它所對(duì)應(yīng)的實(shí)極點(diǎn)1k 設(shè)：設(shè)：FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng) 為為 N 點(diǎn)有點(diǎn)有限長(zhǎng)序列限長(zhǎng)序列 ； ( )h n系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：10( )( )NnnH zh n z頻率響應(yīng)為：頻率響應(yīng)為：j1jjjj ()e0jj ()j ()(e)( )( )e(e) e(e) e( )eNnznHH zh nHHH 可知，可知， 是一個(gè)是一個(gè) z1的的 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 ； (1)N ( )H z即該即該 FIR 數(shù)字濾波器是數(shù)字濾波器是 階的；階的； (1)N 它在有限它在有限 z

13、 平面平面 上沒(méi)有極點(diǎn)；上沒(méi)有極點(diǎn)；只有只有（N1）個(gè)零點(diǎn)；個(gè)零點(diǎn)；(0)z 即該即該 FIR 數(shù)字濾波器是數(shù)字濾波器是 階的；階的； (1)N 0z 全部集中在全部集中在 z 平面的原點(diǎn)平面的原點(diǎn) 處處為為（N1）階重極點(diǎn)階重極點(diǎn)穩(wěn)定和線性相位特性是穩(wěn)定和線性相位特性是FIR數(shù)字濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)；數(shù)字濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)；（N1）階階FIR數(shù)字濾波器的差分方程為：數(shù)字濾波器的差分方程為：10( )()Nmmy nb x nm（N1）階階FIR數(shù)字濾波器的差分方程為：數(shù)字濾波器的差分方程為：10( )()Nmmy nb x nm系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：112(1)01210(

14、)( )( )NNmNmmY zH zbbzb zbzb zX z與右式相比：與右式相比：10( )( )NnnH zh n zFIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)正數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)正是其單位抽樣響應(yīng)是其單位抽樣響應(yīng) 的序列值的序列值 ；( )h n( )(01)mbh mmN（N1）階階FIR數(shù)字濾數(shù)字濾波器的差分方程為：波器的差分方程為：10( )()Nmmy nb x nm這是一個(gè)輸入這是一個(gè)輸入 延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)；延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)；( )x n10( )( ) ()( )( )Nmy nh m x nmh nx n可寫(xiě)成可寫(xiě)成 可得到直接型結(jié)構(gòu)圖為：可得到直接

15、型結(jié)構(gòu)圖為： 又稱為橫截型結(jié)構(gòu)；又稱為橫截型結(jié)構(gòu)；這是一個(gè)輸入這是一個(gè)輸入 延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)；延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)；( )x n 又稱為橫截型結(jié)構(gòu)；又稱為橫截型結(jié)構(gòu)； 由于由于FIR數(shù)字濾波器是全零點(diǎn)系統(tǒng)，故其直接型數(shù)字濾波器是全零點(diǎn)系統(tǒng)，故其直接型結(jié)構(gòu)沒(méi)有結(jié)構(gòu)沒(méi)有型、型、型之分；型之分；將圖中支路的方向全部取反，輸入與輸將圖中支路的方向全部取反，輸入與輸出互換，可以得到轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)出互換，可以得到轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)將將FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 分解為二階實(shí)系分解為二階實(shí)系數(shù)因子（二階節(jié)）乘積的形式，有：數(shù)因子（二階節(jié)）乘積的形式，有：( )H z0120121( )()Nmm

16、mmH zzz式中：若式中：若 N 為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則( )H z0(1)/2NN有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn) ；0/2NN式中：若式中：若 N 為為偶偶數(shù)，則數(shù)，則( )H z有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn) ；且其中有一且其中有一個(gè)是一階節(jié)個(gè)是一階節(jié)在平面的單位圓上有在平面的單位圓上有 N 個(gè)等間個(gè)等間隔分布的零點(diǎn)隔分布的零點(diǎn) ；根據(jù)內(nèi)插公式根據(jù)內(nèi)插公式 ：1101( )( )1WNNkkNzX kX zNz系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 可以用單位抽樣響應(yīng)可以用單位抽樣響應(yīng) 的的DFT系數(shù)系數(shù) 來(lái)表示：來(lái)表示：( )H z( )h n( )DFT ( )H kh n112101( )1( )( )( )1WNN

17、kkNzH kH zHz HzNNz1( )1NH zz 1210( )( )1WNkkNH kHzz是一個(gè)梳狀濾波器；是一個(gè)梳狀濾波器；為為FIR子系統(tǒng)子系統(tǒng)在平面的單位圓上有在平面的單位圓上有 N 個(gè)等間隔分布的零點(diǎn)個(gè)等間隔分布的零點(diǎn) ；2jeW,0,1,2,1kkNkNpkN它在它在 頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)為零；頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)為零； 2/(0,1,2,1)k N kN由由 N 個(gè)一階個(gè)一階IIR子子系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成1122100( )( )( )1WNNkkkkNH kHzHzz它在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)它在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)2jWekkNkNz在在 頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)為頻率點(diǎn)處的頻

18、率響應(yīng)為； 2/k N是一個(gè)諧振頻率為是一個(gè)諧振頻率為 的無(wú)耗諧振器；的無(wú)耗諧振器；2/k N在在 z 平面單位圓上有平面單位圓上有 N 個(gè)等間隔分布的極點(diǎn)；個(gè)等間隔分布的極點(diǎn)； 是一個(gè)諧振頻率為是一個(gè)諧振頻率為 的無(wú)耗諧振器；的無(wú)耗諧振器；2/k N2( )Hz2jWe,0,1,1kkNkNzkN1( )H z從而使整個(gè)濾波器依然為從而使整個(gè)濾波器依然為FIR系統(tǒng)，而且系統(tǒng)，而且在這些頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)為在這些頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)為 ；( )H k這這 N 個(gè)并聯(lián)諧振器個(gè)并聯(lián)諧振器 與一個(gè)與一個(gè) N 階梳狀濾階梳狀濾波器級(jí)聯(lián)就構(gòu)成了波器級(jí)聯(lián)就構(gòu)成了FIR數(shù)字濾波器的頻率抽數(shù)字濾波器的頻率抽樣型

19、結(jié)構(gòu)；樣型結(jié)構(gòu)；2( )kHz 由圖可以看出，頻率抽樣型結(jié)構(gòu)中存在反饋環(huán)路，由圖可以看出，頻率抽樣型結(jié)構(gòu)中存在反饋環(huán)路，是一種遞歸型結(jié)構(gòu)是一種遞歸型結(jié)構(gòu) ； 系數(shù)系數(shù) 為濾波器頻率響應(yīng)的第為濾波器頻率響應(yīng)的第 k 個(gè)抽樣值；個(gè)抽樣值；( )H kj2/( )(e)k NH kH(0,1,2,1)kN 因此便于控因此便于控制濾波器的頻制濾波器的頻率響應(yīng)特性；率響應(yīng)特性；頻率抽樣型結(jié)構(gòu)存在著兩個(gè)問(wèn)題：頻率抽樣型結(jié)構(gòu)存在著兩個(gè)問(wèn)題： 系數(shù)系數(shù) 和和 通常為復(fù)數(shù)，使運(yùn)算量和存通常為復(fù)數(shù)，使運(yùn)算量和存儲(chǔ)量增加；儲(chǔ)量增加； ( )H kWkN 極點(diǎn)極點(diǎn) 在單位圓上，同時(shí)它也是濾波器的系在單位圓上，同時(shí)它也

20、是濾波器的系數(shù)，在系數(shù)量化存儲(chǔ)時(shí)，由于存在量化誤差，數(shù)，在系數(shù)量化存儲(chǔ)時(shí)，由于存在量化誤差，極點(diǎn)的位置可能會(huì)出現(xiàn)偏移極點(diǎn)的位置可能會(huì)出現(xiàn)偏移 ；WkN從而不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)（零點(diǎn)不受量化從而不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)（零點(diǎn)不受量化誤差的影響，由誤差的影響，由 延時(shí)單元決定）所抵消；延時(shí)單元決定）所抵消； Nz若極點(diǎn)移到單位圓外將致使濾波器不穩(wěn)定！若極點(diǎn)移到單位圓外將致使濾波器不穩(wěn)定！解決的方法：進(jìn)行修正解決的方法：進(jìn)行修正首先，將首先，將 變換為變換為 ；WkNWkNr則則 變換為：變換為：( )H k1WW( )( )( )( )kkNNrrz rzHkH zH zH k222j()jj()

21、Wee(e)(W )N kkkN kkNNNNNj2/()(e )( )( )k NNH NkHRkH k 有：有：112101( )1( )( )( )1WNNkkNzH kH zH z HzNNz式：式：1101( )( )1WNNNkkNr zH kH zNrz變換為：變換為：表明：系統(tǒng)函數(shù)表明：系統(tǒng)函數(shù) 的第的第 個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn) 與與第第 個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn) 是一對(duì)共是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)；軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)；k( )H zWkkNzr()Nk()WN kN kNzr故將共軛極點(diǎn)的部分分式合并為實(shí)系數(shù)二階節(jié)，故將共軛極點(diǎn)的部分分式合并為實(shí)系數(shù)二階節(jié)，得得 ；它們的部分分式系數(shù)它們的部分分式系數(shù) 與與 也具有相也具有相同的共軛對(duì)稱性；同的共軛對(duì)稱性；( )H k()H Nk222j()jj()Wee(e)(W )N kkkN kkNNNNNj2/()(e )( )( )k NNH NkHRkH k N N1()111101122( )()( )(