第十三章動能定理

1、Theoretical Mechanics 返回總目錄Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第三篇第三篇 動動 力力 學學第十三章第十三章 動能定理動能定理Theoretical Mechanics 返回首頁Theoretical Mechanics第十三章第十三章 動能定理動能定理目目 錄錄Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表達式功的一般表達式力的元功:在一無限小位移中力所做的功。在一無限小位移中力所做的功?；驅懗芍苯亲鴺诵问皆谝话闱闆r下，上式右邊

2、不表示某個坐標函數(shù)的全微分，所以元功用符號W而不用dW 。 rF dW sFtWddvF sFWdcoszFyFxFWzyxddd 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。21dMMWrF21dddMMzZyYxXW功的量綱為 22TLMLFW13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表達功的一般表達式式 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾

3、種常見力的功常力的功 cosdcos0FsWsFWs當 時功為正；當 時，功為負；當 時s不作功。由此可知，功為代數(shù)量。 222 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics重力的功重力的功)(d211221zzmgzmgWzz重力的功僅與質點運動重力的功僅與質點運動開始和終了位置的高度開始和終了位置的高度差有關，而與運動軌跡差有關，而與運動軌跡無關無關)(2112CCzzmgW13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics彈性力的

4、功彈性力的功彈性力可表示為彈性力可表示為rlrkeF)(0rerFd)(d01221rMMlrkW202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)d(21ddrrrrrerrrrrrdd21213.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的幾種常見力的功功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics彈性力的功彈性力的功202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr 彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質點的運動路徑無關。及終了位置的變形量，

5、而與質點的運動路徑無關。13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功 物體沿粗糙軌道滑動時，動滑動摩擦力 ，其方向總與滑動方向相反，所以，功恒為負值 NFFf2121ddNMMMMsFfsFW13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的幾種常見力的功功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功 當物體純滾動時，圓輪與地面之間沒有相對滑動，其滑動摩擦力屬于靜滑動摩擦力。

6、輪與地面的接觸點C是圓輪在此瞬時的速度瞬心， ，得 0Cv0ddCCtWvFrF圓輪沿固定軌道滾動而無滑動時，滑動摩擦力不作功。 13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics定軸轉動剛體上作用力的功定軸轉動剛體上作用力的功作用于定軸轉動剛體上的力的元功為作用于定軸轉動剛體上的力的元功為dddRFsFWrFzzMFMRF)(dzMW13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mecha

7、nics如圖所示，剛體上任意一點的無限小位移可寫為iCCirrrddd作用于點 M i上的力的元功為iCiCiiiWrFrFrFddddcosdiiiCiCMFrFd)(iCMF作用于剛體上的全部力的元功為平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功ddd)(dCCRCCMMWrFFrF13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics其中FR為力系的主矢量，Mc為力系對質心的主矩。ddd)(dCCRCCMMWrFFrF13.1 力的功力的功13.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功

8、返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1.3 質點系內力的功質點系內力的功當質系內質點間的距離變化時，內力的元功之和不為零。因此剛體內力的功之和恒等于零。)(dddddBAABAAABBAAWrrFrFrFrFrF如圖所示，兩質點間有相互作用的內力BAFFABABBABArrrr,ABWAdF)(dABFWA13.1 力的功力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.4 約束力的功約束力的功光滑鉸鏈或軸承約束光滑鉸鏈或軸承約束由于約束力的方向恒

9、與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。 常見的理想約束有：常見的理想約束有：光滑固定面和輥軸約束光滑固定面和輥軸約束其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。理想約束：理想約束：約束力的元功的和等于零的約束。約束力的元功的和等于零的約束。 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 剛性連接的約束剛性連接的約束這種約束和剛體的內力一樣，其元功之和恒等于零。聯(lián)結兩個剛體的鉸聯(lián)結兩個剛體的鉸: :兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在

10、點的微小位移上的元功之和等于零. 柔性而不可伸長的繩索柔性而不可伸長的繩索 繩索兩端的約束力,大小相等，即，由于繩索不可伸長，所以兩點的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零。具有理想約束的質點系具有理想約束的質點系，有WN = 0 13.1 力的功力的功13.1.4 約束力的功約束力的功 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 質點的動能定理質點的動能定理質系內所有質點在某瞬時動能質系內所有質點在某瞬時動能的算術和為該瞬時質系的動能的算術和為該瞬時質系的動能 221mvT動能是描述質系運動

11、強度的一個物理量221iivm任一質點在某瞬時的動能為 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 質點的動能定理質點的動能定理牛頓第二定律牛頓第二定律 即作用于質點上力的元功等于質點動能的微分。即作用于質點上力的元功等于質點動能的微分。質點動能定理質點動能定理的微分形式的微分形式Fa mFtvmdd由于 ，將上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 tvsdd sFvmvddWmv21d2 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 質點的動能定理質點的動能定理21d12MM

12、WrF作用于質點上的力在有限路程上的功作用于質點上的力在有限路程上的功質點動能定理的積分形式，即作用于質點上的質點動能定理的積分形式，即作用于質點上的力在有限路程上的功等于質點動能的改變量力在有限路程上的功等于質點動能的改變量。WmvMMvv21d21212Wmv21d2積分積分 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.3 質點系和剛體的動能質點系和剛體的動能13.3.1 質點系的動能質點系的動能 2121iinivmT質點系的動能為組成質點系的各質點動能的算術和 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretic

13、al Mechanics13.3 質點系和剛體的動能質點系和剛體的動能13.3.2 平移剛體的動能平移剛體的動能 當剛體平動時，剛體上各點速度相同，于是平動剛體的動能為222212121CmvmvmvT 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.3 質點系和剛體的動能質點系和剛體的動能13.3.3 定軸轉動剛體的動能定軸轉動剛體的動能 于是繞定軸轉動剛體的動能為于是繞定軸轉動剛體的動能為22222212121iiiiiirmrmvmT剛體繞定軸z轉動的角速度為，任一點mi的速度 iirv 221zIT 返回首頁Theoretical M

14、echanics Theoretical Mechanics13.3 質點系和剛體的動能質點系和剛體的動能13.3.4 平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能 剛體作平面運動時，可視為繞通過速度瞬心并與運動平面垂直的軸的轉動平面運動剛體的動能等于隨質心平動的動能與繞通過質心的轉軸轉動的動能之和。221CIT2222222121)(2121MdIMdIITCCC222121CCIMvT2MdIICC 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理n個方程相加，得2121ddiinivmT質點系由n個質點組成，

15、其中某一質量為質量為mi質點主動力和約束力作用。根據(jù)質點動能定理的微分形式有根據(jù)質點動能定理的微分形式有niWWvmiNiFii, 2, 121d2nininiiNiFiiWWvm111221d零零FWTd 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理 質系動能定理的微分形式質系動能定理的微分形式：在質系無限小的位移在質系無限小的位移中，質系動能的微分等于作用于質系全部力所做的中，質系動能的微分等于作用于質系全部力所做的元功之和元功之和。即 質系動能定理的積分形式：質系在任意有限路質系動能定理的積分形式

16、：質系在任意有限路程的運動中，起點和終點動能的改變量，等于作用程的運動中，起點和終點動能的改變量，等于作用于質系的全部力在這段路程中所做功的和于質系的全部力在這段路程中所做功的和。iWTT12FWTd 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題例13-1 圖示系統(tǒng)中，滾子A 、滑輪B 均質，重量和半徑均為Q 及r，滾子沿傾角為 的斜面向下滾動而不滑動，借跨過滑輪B的不可伸長的繩索提升重P的物體，同時帶動滑輪B繞O軸轉動，求滾子質心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用動能定理的微分形式 F

17、WTd系統(tǒng)在任意位置的動能222221212121pBOACCvgPIIvgQTA輪純滾動，D為A輪瞬心，所以 rvCA 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics由 ，得 2221,21,rgQIrgQIvvrvOCCPCB222CvgQPTCCvvgQPTd2d主動力Q、P的元功 sPQWFd)sin(因純滾動，滑動摩擦力F不作功 代入式 ，兩邊再除以dt，且知 ，得 CvtsddFWTdCCCvPQtvvgQP)sin(dd213.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題gQPPQtvaCC2sindd 返回首頁Theoretic

18、al Mechanics Theoretical Mechanics解法二 此題亦可用動能定理的積分形式，求出任意瞬時的速度表達式，再對時間求一階導數(shù)，得到加速度。 系統(tǒng)的初始動能為T0任意位置的動能 222221212121pBOACCvgPIIvgQT設圓輪質心C走過距離s，動能定理的積分形式sPQTvgQPC)sin(220213.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics設圓輪質心C走過距離s，動能定理的積分形式sPQTvgQPC)sin(2202vC和s均為變量，將上式兩邊對時間求一階

19、導數(shù)，得 tsPQtvgQPvCCdd)sin(0dd222gQPPQaC2sin13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics例13-2 橢圓規(guī)位于水平面內，由曲柄帶動規(guī)尺AB運動，如圖所示。曲柄和AB都是均質桿，重量分別為P和2P，且OCACBCl，滑塊A和B重量均為Q。常力偶M作用在曲柄上，設0時系統(tǒng)靜止，求曲柄角速度和角加速度 (以轉角表示)。 Isin2cos2lvlvBAAvBv解：由幾何條件，OCBC， ，因此OC = AB = ，系統(tǒng)由靜止開始運動，當轉過角時，系統(tǒng)的動能222

20、221212121IIvgQvgQTOBA瞬心為，有運動關系為 13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsIAvBvglPQlgPlgPlgQlgQT2)34()2(231213121)sin2(21)cos2(2122222222系統(tǒng)中力做的功為 MW 由動能定理的積分形式 WTT12TTT21, 02)34(2lPQgM13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsIAvBv222)3

21、4(/)34(ddddd)34(dlPQMgMglPQtWtTMWglPQT由動能定理的微分形式，得 13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics例13-3 圖示系統(tǒng)中，物塊A重P，均質圓輪B重Q，半徑為R，可沿水平面純滾動，彈簧剛度系數(shù)為k，初位置y=0時，彈簧為原長，系統(tǒng)由靜止開始運動，定滑輪D 的質量不計，繩不可伸長。試建立物塊 A 的運動微分方程，并求其運動規(guī)律。 解：為建立物塊 A 的運動微分方程，宜對整個系統(tǒng)應用動能定理。以 A 的位移為變量，當A從初始位置下降任意距離y時，它的

22、速度為vA，系統(tǒng)動能 222212121BBBAIvgQvgPT由運動關系RvvvABAB2,2113.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題221RgQIB 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics21638AvgQPT系統(tǒng)的初動能 00T2202ykPyWF初始位置時，彈簧為原長 ，當A下降y時，彈簧伸長 ，功為 002y22801638ykPyvgQPA由動能定理的積分形式 WTT12對時間求一階導數(shù)，其中 ，得 tyvAdd13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanic

23、s Theoretical Mechanics對時間求一階導數(shù)，其中 ，得 tyvAdd04382dd22kPyQPkgty物塊A的運動微分方程 13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題用微分形式的動能定理求解，2d2dyykyPWFyykPWFd4yykPvgQPAd41638d2代入式 ，得 FWTd 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsyykPvgQPAd41638d2此式兩邊被dt除，令 Cyy104382dd1212kPCyQPkgty令 ，得到以y1為變量的標準形式的微分方程 kPC40382dd1212yQPk

24、gty13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics設其解為)sin(01tAy物塊A的運動規(guī)律為)sin(0tACy)cos(dd00tAty初始條件：t = 0時， 代入得 0, 0ddyty物塊A的運動規(guī)律為kPtQPkgkPy42382sin4物塊A作簡諧振動13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題kPA4,2QPkg3820 返回首頁Theoretical Mechanics 習習13 8 鏈條全長鏈條全長 l = 1m, 單位長質量單位長質量 = 2kg/m , 懸掛在

25、半徑為懸掛在半徑為R = 0.1m , 質量質量 M= 1kg 的滑輪上的滑輪上. 鏈條由靜止開始下落鏈條由靜止開始下落. 設鏈條與滑輪無相對滑動設鏈條與滑輪無相對滑動, 滑輪為均滑輪為均 質圓盤質圓盤. 求求: 鏈條剛離開滑輪時的速度鏈條剛離開滑輪時的速度.13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理例例 題題OROR解解: 選過選過O 點的水平面為重力零勢面點的水平面為重力零勢面2211VTVT 221212142220222lglRVMRVlRlgRlRgR 代入具體數(shù)值后可得到代入具體數(shù)值后可得到:smVsmV/52. 2/30972. 6222 Theoretical Mechanic

26、s Theoretical Mechanics13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理1 1具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應用動能定理具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應用動能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關系；進可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關系；進一步對時間求導數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，一步對時間求導數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下應用動能定理求解已知力求運動的問在這種情形下應用動能定理求解已知力求運動的問題是很方便的。題是很方便的。2 2應用動能定理解題的步驟：應用動能定理解題的步驟：（1 1）明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究對象；）明確分析對象，一般以

27、整個系統(tǒng)為研究對象；（2 2）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動力與約束力，在理）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動力與約束力，在理想約束的情況下約束力不做功；想約束的情況下約束力不做功；小小 結結 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics3.分析系統(tǒng)的運動分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能或在起始和終了位置的動能； 4.應用動能定理建立系統(tǒng)的動力學方程應用動能定理建立系統(tǒng)的動力學方程，而后求解；5.對問題的進一步分析與討論。動能定理最適用于動力學的第二類基本問題：動能定理最適用于動力學的第二類基本問題：已已知主動力求運動知主動力求運動，即求速度、加速度

28、或建立運動，即求速度、加速度或建立運動微分方程。微分方程。 13.4 質點系的動能定理質點系的動能定理小小 結結 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.1 功功率率 力在單位時間內所作的功，稱為功率。它是用來衡量機器性能的一項重要指標，P表示功率vFttWPvFrFddd力偶或轉矩M的功率 MnMtMP30dd功率的量綱為132 TLFTLFTMN功率的單位是焦耳/秒，稱為瓦特（W）。1 W=1 J/s=1 Nm/s。 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical

29、 Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.2 功率方程功率方程由動能定理 無用有用WWWTd等號兩邊除以dt，即 無用有用NNNtTdd表明機器的輸入、消耗的功率與動能變化率的關系。 功率方程 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.6 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律13.6.1 勢力勢力場場 如質點在某空間內任一位置都受有一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球表面的空間為重力場。如質點在某一力場內運動時，力場力對于質如質點在某一力場內運動時，力場

30、力對于質點所做的功僅與質點起點與終點位置有關，而與點所做的功僅與質點起點與終點位置有關，而與質點運動的路徑無關，則這種力場稱為質點運動的路徑無關，則這種力場稱為勢力場或勢力場或保守力場保守力場。質點在勢力場內所受的力稱為勢力或質點在勢力場內所受的力稱為勢力或保守力保守力。如重力、彈性力及萬有引力都是勢力。 返回首頁Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.6 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律13.6.2 勢勢能能 PFzFVP勢勢能：在勢力場中，質點由某一位置M運動到選定的參考點M0的過程中，有勢力所作的功。以V表示，即00ddddxMMMMzyzFyFxFVrF重力場中的勢能重力場中的勢能ozzzzFzFV)(d0PP零位置選在z0=0處 返回首頁Theoretical Mechanics The