第三節(jié)：taylor公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

1、二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)用多項式近似表示函數(shù)理論分析理論分析近似計算近似計算泰勒 ( Taylor )公式 特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?xx 的一次多項式1.1.求求 n 次多項式次多項式要求要求:, )(xpn)(0!

2、212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201近似等于近似等于)(xf)0(之間與在nx )( )(10n

3、nxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR

4、)()()1()1(xfxRnnn時的某鄰域內(nèi)當在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當)0(之間與在xx公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞

5、諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立特例特例:(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00

6、xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx稱為麥克勞林麥克勞林（ Maclaurin ）公式公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,

7、)()1(Mxfn則有誤差估計式則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,

8、012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近33!xyx12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近! )2

9、(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xf

10、kkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 1. 在近似計算中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù)n和誤差限 , 確定公式中x的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(已知例1. 計算無理數(shù)e的近似值 , 使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e

11、) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為說明說明: : 注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,則 各項舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差為6105 . 076106105這時得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過.106因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!21112. 2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20

12、xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公

13、式證明不等式例例4 4. . 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項)(0nxxo當00 x時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xe,

14、)1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) , xsin例如思考與練習思考與練習 計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式, 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點)(xf)(21之間與在其中x由題設(shè)對證證: :例例 . .321)(!31

15、 xf)(21f221)( x)(! 2121f 有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf且得分別令, 1,0 x1122( )()fx0,1,x(0,1)證明內(nèi)至少存在), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式減上式 , 得)()(48112ff )()(48112ff 令)(,)(max)(12fff 24)( f1( )24fe) 10(! ) 1(!1!2111nen兩邊同乘 n !en!= 整數(shù) +) 10(1n

16、e假設(shè) e 為有理數(shù)qp( p , q 為正整數(shù)) ,則當 時,qn 等式左邊為整數(shù);矛盾 !2. 2. 證明證明e e為無理數(shù)為無理數(shù) . . 證證:2n 時,當故故e為無理數(shù)為無理數(shù) . .等式右邊不可能為整數(shù).泰勒泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家, 他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .麥克勞林麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)學(xué)家, 著作有:流數(shù)論(1742)有機幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名

17、字命名的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) .一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA那么函數(shù)那么函數(shù)在在a,ba,b上單調(diào)增加上單調(diào)增加；(2)(2)如果在如果在(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi)那么函數(shù)那么函數(shù)在在a,ba,b上單調(diào)減少上單調(diào)減少.1. 1. 判定定理：判定定理：( )yf x 0( )fx ，12,x x定理定理 1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),在

18、在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).( )yf x ( )yf x 0( )fx ，(1)(1)如果在如果在(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi)(1)(1)證明證明：設(shè)設(shè)：則由中值定理則由中值定理：( , )a b12xx12()()f xf x( )f012()()f xf x12()xxyxo),(,32xxy332xy 0 xy32xy 1) 若函數(shù)在駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號若函數(shù)在駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 說明說明:2) 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點也可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點也可能是不可導(dǎo)點不可導(dǎo)點. 一般地一般地,如果如果在某區(qū)間內(nèi)

19、的在某區(qū)間內(nèi)的有限個有限個點處為零，點處為零，( )fx( )f x在其余各點處均為正在其余各點處均為正(或負或負)時時,在該區(qū)間上在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少或單調(diào)減少)的的.那么那么求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的求函數(shù)的駐點駐點以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；在各子區(qū)間內(nèi)分別判別導(dǎo)數(shù)的符號在各子區(qū)間內(nèi)分別判別導(dǎo)數(shù)的符號, ,寫出各單調(diào)區(qū)間寫出各單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟:( )fx(1)(2)(3)(4)導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0 0或?qū)?shù)不存在的點稱為或?qū)?shù)不存在的點稱為駐點駐點從而確定其單調(diào)性；從而

20、確定其單調(diào)性；(5)12,nx xx例例2.2. 討論函數(shù)討論函數(shù)xyex的單調(diào)性的單調(diào)性.sinyxx在區(qū)間在區(qū)間0 2 , 上的單調(diào)性上的單調(diào)性.例例1. 1. 判斷函數(shù)判斷函數(shù)(sin )yxx1 cosx 0,y x 0,2(0,2 )x 0y ()xyex1xe0,y 0 x 0 x 0y0 x 0y 解：解：令：令：單調(diào)增單調(diào)增在在得：得：解：解：sinyxx 0 2 , 令：令：得：得：函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增當當當當時時時時(,)在區(qū)間呢？ 例例3.3.確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .3229123yxxx 解：解：令：令：得：得：所以函數(shù)為單

21、調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為y 3229123xxx261812xx26(32)xx(1)(2)xx11,x 1,x時0y 0y 12,x時0y2,x 時0y 1,2(,12,)22x 例例4.4.確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .3210496yxxx 解：解：令：令：得：得：所以函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為y 32110(496 )xxx( 1) 32210(496 )xxx 32(496 )xxx 32210(496 )xxx2(12186)xx32260(496 )xxx 2(231)xx2

22、2 (496)xxx60(21)(1)xx0,x 1,210,x0y 0y 0y 10,2x112x ，0y1,x 0y 1 ,12(,0)1(0, 21,)例例5.5. 當當1x 123xx 時時成立成立. .3. 3. 應(yīng)用應(yīng)用: :利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式證明證明：( )f x2 x1(3)x( )fx211xx21x(1)x x ( )0fx( )(1)f xf012(3)xx0當當時時, ,試證：試證：1x 時有時有1x 即：即：函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)123xx 例例6.6.當當0 x 2112xexx時時證明證明：( )f xxe21(

23、1)2xx( )fx1xex ( )0fx( )(0)fxf00當當時時, ,試證：試證：0 x 時有時有0 x 即：即：為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)無法判斷正負號無法判斷正負號( )fx1xe( )fx為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)0 x 時時( )f x( )(0)f xf0 xe21(1)2xx2112xexx 所以有：所以有：例例7.7. 證明方程證明方程只有一個實根只有一個實根.sin0 xx( )sinf xxx ,2 2 證明方程根的唯一性證明方程根的唯一性: :()()022ff ( )0f ( )1fxcosx 0 (,) (,)2 2 證明證明:在在連續(xù)連續(xù)至少存在一點至少存在一點使

24、得使得為原方程的根為原方程的根又又所以函數(shù)所以函數(shù)在在 ( )sinf xxx 為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)( )f x與與x軸最多有一個交點軸最多有一個交點證畢證畢 1 ,0上上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小順序是的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffDB1. 設(shè)在設(shè)在思考與練習思考與練習02xsintan2 .xxx2. 證明：當證明：當時，時，yxoC二、曲線的凹凸性與

25、拐點二、曲線的凹凸性與拐點DBA對于單調(diào)增函數(shù)對于單調(diào)增函數(shù)圖形可以形如圖形可以形如ACB也可以形如也可以形如ADB定義定義 . .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1)(1)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱( )f x的圖形是凹的的圖形是凹的; ;(2)(2)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱( )f x的圖形是的圖形是凸凸的的 . .yox2x1x221xx yox1x221xx 2x1. 1. 曲線凹凸性的定義：曲線凹凸性的定義：122()x xf 122( )( )f xf x122()x xf 122(

26、 )( )f xf xxye ( )xyf xe 12,x x 例例. . 利用定義判斷曲線利用定義判斷曲線的凹凸性的凹凸性. .I 122()xxf 122()()f xf x 122xxe 1212()xxee 1222()xxe 12214()xxee 12xxe 112222124()xxxxee ee112222124()xxxxee ee 12214()xxee 0 解：解：所以所以凹的凹的. .122()xxf 122()()f xf x ( )0fx ( )0fx yxoBA( )yf x yxoBA( )yf x )(xf(1) 在在I內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在I I內(nèi)圖形

27、是凹的內(nèi)圖形是凹的 ; ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是凸的內(nèi)圖形是凸的 . .)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)上有二階導(dǎo)數(shù)數(shù)2. 2. 曲線凹凸性的判定：曲線凹凸性的判定：定理定理2.(2.(凹凸判定法凹凸判定法) )證明證明:設(shè)設(shè):則則所以：所以：其中其中凹的凹的12, , x xa b12xx 1202,xxx 212xxh20 xxh 10 xxh1202()()()f xf xf x 20()()f xf x01 ()()f xf x00()()f xhf x 00 ()()f xf xh 01()fxh h 02()fxh h 1

28、201, 0102()()fxhfxhh( )f 12()hh h212( )()fh 0 122()()f xf x 122()xxf 0 ( )0fx曲線的凹凸區(qū)間的求解步驟曲線的凹凸區(qū)間的求解步驟: :從而判斷曲線弧的凹凸性從而判斷曲線弧的凹凸性；( )fx(1)求函數(shù)一階二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)一階二階導(dǎo)數(shù)(2)( )0fx及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點； 令令：以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；(3)(4)在各子區(qū)間內(nèi)分別判別二階導(dǎo)數(shù)的符號在各子區(qū)間內(nèi)分別判別二階導(dǎo)數(shù)的符號, ,( )fx12,nx xx例例. . 判斷曲線判斷曲線3yx 的凹凸性的凹凸性. .yox3xy 3()yx 23x 6yx 0y 0 x 0 x 0y 0 x 0y 解：解：令：令：得：得：時時當當當當時時函數(shù)圖形為凸函數(shù)圖形為凸. .函數(shù)圖形為凹函數(shù)圖形為凹. .1)1)定義定義: : 連續(xù)曲線上凹弧和凸弧