§23　函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、2.3函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)與方程函數(shù)與方程抽象函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)、二分法、一元二次方程根的分布函數(shù)零點(diǎn)、二分法、一元二次方程根的分布單調(diào)性：同增異減單調(diào)性：同增異減賦值法賦值法函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性奇偶性奇偶性周期性周期性對(duì)稱性對(duì)稱性最值最值1.求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性.2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減.1.先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(-x)=f(x)還是還是-f(x).2.奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)

2、對(duì)稱，若奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若x=0有意義，則有意義，則f(0)=0.3.偶函數(shù)圖象關(guān)于偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立軸對(duì)稱，反之也成立.f f (x+T T)=f f (x)；周期為；周期為T的奇函數(shù)有：的奇函數(shù)有： f f (T T)=f f (T T/2)=f f (0)=0.二次函數(shù)、基本不等式，對(duì)勾函數(shù)、三角函數(shù)有界性、二次函數(shù)、基本不等式，對(duì)勾函數(shù)、三角函數(shù)有界性、線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)、利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)、利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等.函數(shù)的概念函數(shù)的概念定義定義列表法列表法解析法解析法圖象法圖象法表示表示三要素三要素觀察法、判別式法、分離常數(shù)法、觀察法、判別式法、分

3、離常數(shù)法、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、三角法、圖象法、線性規(guī)劃等三角法、圖象法、線性規(guī)劃等定義域定義域?qū)?yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系值域值域函數(shù)常見的函數(shù)常見的幾種變換幾種變換平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換.基本初等基本初等函數(shù)函數(shù)正正(反反)比例函數(shù)比例函數(shù); 一次一次(二次二次)函數(shù)函數(shù); 冪、指、對(duì)函冪、指、對(duì)函數(shù)數(shù);定義、圖象、定義、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用性質(zhì)和應(yīng)用函函 數(shù)數(shù)常見函數(shù)模型常見函數(shù)模型冪、指、對(duì)函數(shù)模型；冪、指、對(duì)函數(shù)模型；分段函數(shù)；分段函數(shù)；對(duì)勾函數(shù)模型對(duì)勾函數(shù)模型主頁主頁憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)

4、1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)定定義義 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮：如果對(duì)于定義：如果對(duì)于定義域域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量上的任意兩個(gè)自變量x1, x2 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)時(shí), 都都 有有_ ,那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有_ , 那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是減函數(shù)上是減函數(shù)圖圖象象描描述述自左向右看圖象是自左向右看圖象是_自左向右看圖象是自左向右看圖象是_f(x1) f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)函數(shù)的定義主頁主頁憶憶 一一 憶

5、憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)2函數(shù)的最值函數(shù)的最值前前提提設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M滿足滿足條條件件(1)對(duì)于任意對(duì)于任意xI，都有，都有 _；(2)存在存在x0I, 使得使得 _.(3)對(duì)于任意對(duì)于任意xI,都有都有 _；(4)存在存在x0I, 使得使得 _.結(jié)結(jié)論論M為最大值為最大值M為最小值為最小值(2)單調(diào)區(qū)間的定義單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是上是_或或_,則稱函則稱函數(shù)數(shù)f(x)在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性，單調(diào)性，_叫做叫做 yf(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)區(qū)間區(qū)間Df

6、(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M主頁主頁題號(hào)題號(hào)答案答案123451, 484, 13( 3, 0) CA主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁主頁 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致 (1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間 (2)定義法定義法:先求定義域，再利用單調(diào)性定義先求定義域，再利用單調(diào)性定義 (3)圖象法圖象法:如果如果f(x)是以圖象形式給出的，或者是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象的圖象易作出，可由圖

7、象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間 (4)導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (5)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的定義域本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的定義域主頁主頁主頁主頁主頁主頁 又又x0時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x1x2)0，即，即f(x1)f(x2)因此因此 f(x)在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù)主頁主頁方法二方法二主頁主頁12()()f xf x主頁主頁主頁主頁主頁主頁函數(shù)的單調(diào)性與不等式函數(shù)的單調(diào)性與不等式 (1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義應(yīng)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義應(yīng)該構(gòu)造出該構(gòu)造出f(x2)

8、f(x1)并與并與0比較大小比較大小 (2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性運(yùn)用單調(diào)性“去掉去掉”, 是本小題的切入點(diǎn)是本小題的切入點(diǎn). 要構(gòu)造出要構(gòu)造出f(M)f(N)的形式的形式.主頁主頁主頁主頁任取任取x1, x2D,且且x10時(shí)，時(shí)，f(x)1,且對(duì)任意的且對(duì)任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判斷判斷f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性.一、抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值一、抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值解解: (1)令令 a = b = 0, 則則2(0)(0),ff (0)0,(0)1.ff主頁主頁任取任取x1

9、, x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)( )(),ff xfx( )()1f xfx即即. .由于當(dāng)由于當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，f (x) 1,則則 f(x2)=f(x2- -x1)+x1 f( x1).即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù).=f(x2- - x1)f(x1) f(x2- - x1)1.主頁主頁 【1】若對(duì)一切實(shí)數(shù)】若對(duì)一切實(shí)數(shù)x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇數(shù)偶性的奇數(shù)偶性. .()( )( ).f xyf xf y 令令 x = y = 0, 則則令令y = - -x , 則則故故 f (x

10、)是奇函數(shù)是奇函數(shù).解解:因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù)因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù) x, y 都有都有(0)( )(),ff xfx(0)2 (0),ff (0)0.f()( ).fxf x ()( )( ),f x yf xf y 主頁主頁證明證明: 任取任取 x1, x2R，且，且 x10, f(x2- - x1)1. = =f(x2- - x1)- -1.f(x2)- -f(x1)0， 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù). 【 2 】 若 函 數(shù)若 函 數(shù) f ( x ) 對(duì) 任 意對(duì) 任 意 a , b R 都 有都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -1, 并且當(dāng)

11、并且當(dāng)x0 時(shí)時(shí), 有有 f(x)1. 求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù).f(x2- - x1)- -10. =f(x2- - x1)+f(x1) - -1- - f(x1) 主頁主頁 【3】已知函數(shù)】已知函數(shù) f (x) 對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù) x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求證求證: f (x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù).令令 x = y = 0, 則則令令 x = 0 , 則則故故 f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).解：已知函數(shù)解：已知函數(shù) f (x) 對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù) x, y 都有都有 f (x+y

12、)+f(x- -y)=2f (x) f (y)，( )()2 ( ),f yfyf y22 (0)2(0),ff(0)0,(0)1.ff( )(),f yfy( )().f xfx即即主頁主頁例例2.2.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(- -1,1)上的單調(diào)性上的單調(diào)性.2( )1xf xx 解解: :設(shè)設(shè)則則 f( (x1 1) )f( (x2 2) )12221211xxxx ) 1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即即 f(

13、x1)f(x2) .故此函數(shù)在故此函數(shù)在( (- -1,1)1,1)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .1211,xx 二、函數(shù)單調(diào)性的判定及證明二、函數(shù)單調(diào)性的判定及證明主頁主頁例例3. 設(shè)設(shè) 為奇函數(shù)為奇函數(shù),且定義域?yàn)榍叶x域?yàn)镽.(1)求求b的值；的值；(2)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(3)若對(duì)于任意若對(duì)于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍的取值范圍12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 解解: (1)由由 f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), 則則 f(- -x )=- -f (x),整理整理, 得得1.b 1122,2

14、222xxxxbb 111220,2 222xxxxbb (1)(21)0,2(21)xxb 主頁主頁證明證明: (2) 任取任取 x1, x2 , 且且x1 x2 , 12()()f xf x 則則1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函數(shù)所以函數(shù) f(x) 在在R內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù).( 21) 211( ),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 主頁主頁所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是解解: (3) 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)的奇函數(shù)

15、,且是減函數(shù)且是減函數(shù),從而判別式從而判別式4120,k 1.3k 22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以對(duì)任意所以對(duì)任意t R, 不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 從而不等式從而不等式等價(jià)于等價(jià)于1.3k 主頁主頁所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是設(shè)設(shè)22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以對(duì)任意所以對(duì)任意t R, 恒成立恒成立.232ktt 從而不等式從而不等式等價(jià)于等價(jià)于1.3k min( ).kg t 從而從而只須只須2( )32 ,g ttt 211( )3(),33g tt min1( ).3g t 解解: (3) 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)的奇函數(shù),且是減函數(shù)且是減函數(shù),主頁主頁【1 1】主頁主頁( ),f x 主頁主頁C C 主頁主頁二、高考熱點(diǎn)聚焦二、高考熱點(diǎn)聚焦熱點(diǎn)一：函數(shù)概念與抽象函數(shù)