李元杰《大學物理學》第二章2

1、大學物理學大學物理學主主 講：黃立平講：黃立平職職 稱：教授稱：教授郵郵 箱：箱：llpp_hllpp_h 電電 話：話：1820288669418202886694 成都工業(yè)學院通信工程系成都工業(yè)學院通信工程系大學物理大學物理成都工業(yè)學院通信工程系成都工業(yè)學院通信工程系第2章質點動力學第1節(jié) 牛頓三定律第2節(jié) 牛頓定律的應用 第3節(jié) 對稱性和守恒律的應用 本章的基本要求本章的基本要求 1 1、掌握慣性質量、動量、慣性力、伽利略變換、伽利、掌握慣性質量、動量、慣性力、伽利略變換、伽利略相對性原理、力的沖量和動量定理、力的功和動略相對性原理、力的沖量和動量定理、力的功和動能定理、保守力和勢能、機

2、械能和功能定理等基本能定理、保守力和勢能、機械能和功能定理等基本概念及基本定理；概念及基本定理；2 2、會處理矢量性、連續(xù)性、相對性和非慣性的力學問、會處理矢量性、連續(xù)性、相對性和非慣性的力學問題，掌握動力學建模方法，能用對稱性、穩(wěn)定性、題，掌握動力學建模方法，能用對稱性、穩(wěn)定性、等效性思想和總能量決定運動方程、勢能決定一切等效性思想和總能量決定運動方程、勢能決定一切可能的運動的力學觀點去分析和理解力學問題，掌可能的運動的力學觀點去分析和理解力學問題，掌握能量建模的方法；握能量建模的方法；本章的基本要求本章的基本要求 3 3、掌握物理學處理全局研究的對稱性和不變量法，處、掌握物理學處理全局研究

3、的對稱性和不變量法，處理局部研究的平均值法和處理瞬時研究的極限法、理局部研究的平均值法和處理瞬時研究的極限法、突變型及奇異性法的思路；突變型及奇異性法的思路；4 4、學會用數(shù)值計算和模擬研究各種相互作用勢模型和、學會用數(shù)值計算和模擬研究各種相互作用勢模型和碰撞模型的力學問題。碰撞模型的力學問題。2-2 牛頓定律的應用一、慣性系中牛頓定律的應用一、慣性系中牛頓定律的應用二、非慣性系中的動力學二、非慣性系中的動力學三、力對時間的積累三、力對時間的積累力的沖量和動量定理力的沖量和動量定理四、力對空間的積累四、力對空間的積累力的功和動能定理力的功和動能定理五、保守力與勢能關系、機械能守恒定律及其五、保

4、守力與勢能關系、機械能守恒定律及其勢能曲線勢能曲線一、慣性系中牛頓定律的應用一、慣性系中牛頓定律的應用（一）質點的直線運動（運用直角坐標系）（一）質點的直線運動（運用直角坐標系） （二）變力作用下的直線運動（二）變力作用下的直線運動 （三）質點的曲線運動（三）質點的曲線運動 （一）質點的直線運動（運用直角坐標系）（一）質點的直線運動（運用直角坐標系） 一般方法：一般方法：(1)隔離可以看作質點的物體，分析它的受力情況；隔離可以看作質點的物體，分析它的受力情況； (2)運用牛頓定律得到矢量方程，然后根據(jù)具體的坐標運用牛頓定律得到矢量方程，然后根據(jù)具體的坐標系得到所對應的標量方程，并利用微積分進行

5、運算。系得到所對應的標量方程，并利用微積分進行運算。 牛頓第二定律可表示為牛頓第二定律可表示為: zizyiyxixaFaFaFmmm,牛頓第三定律可表示為：牛頓第三定律可表示為： zzyyxxFFFFFF ,解題思路解題思路: （1）選取對象選取對象（2）分析運動分析運動（軌跡、速度、加速度）（軌跡、速度、加速度）（3）分析受力分析受力（隔離物體、畫受力圖）（隔離物體、畫受力圖）（4）列出方程列出方程（標明坐標的正方向；（標明坐標的正方向； 從運動關系上補方程）從運動關系上補方程）（5）討論結果討論結果（量綱？特例？等）（量綱？特例？等） 例例1一細繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分一細繩

6、跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為別懸有質量為 m1 和和 m2 的物體，如圖所示。設滑輪和的物體，如圖所示。設滑輪和繩的質量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速繩的質量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力度以及懸掛滑輪的繩中張力. am1m2解解：選地球為慣性參考系，：選地球為慣性參考系， 選取對象：選取對象： m1、m2及滑輪及滑輪分析運動分析運動W1a1T1W2T2a2T3T4T5 m1，以加速度，以加速度a1向向下下運動運動 m2，以加速度，以加速度a2向向下下運動運動分析受力分析受力 隔離體受力如圖所示隔離體受力如圖所示.列出方程列出方程 54

7、322221111TTTamTWamTW矢量式矢量式am1m2進一步分析力之間的關系：進一步分析力之間的關系：xOm1ga1T1m2gT2a2,2211i gmWi gmW ,2211iTTiTT ,4433iTTiTT iTT55 54322221111TTTamTgmamTgmxx,2211iaaiaaxx T3T4T53T 1T m xamgmTT131 3131;TTTT 4T 2T m xamgmTT242 4242;TTTT 繩子的質量忽略不計繩子的質量忽略不計投影式投影式T3T4T5 53434TTTIRTRT 定滑輪質量定滑輪質量忽略不計忽略不計 533420TTTTI分析后，

8、簡化的分析后，簡化的牛頓運動方程為牛頓運動方程為 TTaaaTTTxx252121令令 TTamTgmamTgm252211繩不能伸長繩不能伸長am1m2xO1x2x常量常量 lRxx 21021 dtdxdtdx0222212 dtxddtxdxx21 xxaa21 聯(lián)立兩式得聯(lián)立兩式得gmmmmaax21211 gmmmmaax21122 聯(lián)立聯(lián)立m2+m1兩式得兩式得gmmmmTTT2121212 由得由得gmmmmTT2121542 討論討論(1)若若m1m2，00221211，xxagmmmma 則則m1下落，下落，m2上升。上升。gmmgmmmmT)(42121215 (2)若若m

9、1m2，則，則021 xxaagmmgmT)(22115 物理學中處理問題的基本方式可簡單歸納為：物理學中處理問題的基本方式可簡單歸納為：(1)物理物理(2)數(shù)學數(shù)學(3)物理。即：物理。即：(1)經(jīng)過經(jīng)過建立模型建立模型(如把物體視為質點如把物體視為質點)，建立坐標建立坐標，受力受力分析分析，定性分析定性分析等，根據(jù)物理規(guī)律等，根據(jù)物理規(guī)律建立動力學方程組建立動力學方程組(如包括由牛頓第二定律列出的動力學方程和由牛頓第如包括由牛頓第二定律列出的動力學方程和由牛頓第三定律等列出的輔助方程三定律等列出的輔助方程)，把物理問題轉化為一個數(shù)，把物理問題轉化為一個數(shù)學方程組，這個過程和學方程組，這個過

10、程和“物理物理”，是處理物理問題的，是處理物理問題的核心。核心。(2)幾乎是一個純數(shù)學的過程幾乎是一個純數(shù)學的過程求解動力學方程組求解動力學方程組；現(xiàn)；現(xiàn)在主要是求解代數(shù)方程組，還有一些是微分方程組在主要是求解代數(shù)方程組，還有一些是微分方程組(將將來還會遇到更復雜的數(shù)學問題，需要在數(shù)學課程中慢來還會遇到更復雜的數(shù)學問題，需要在數(shù)學課程中慢慢學習慢學習)；從上述解題可見，如果數(shù)學問題簡單，這個；從上述解題可見，如果數(shù)學問題簡單，這個過程可以表述得很簡略，因為它不太過程可以表述得很簡略，因為它不太“物理物理”，當然，當然，對一些新的數(shù)學方法（比如解微分方程）應對一些新的數(shù)學方法（比如解微分方程）應

11、表述表述得比得比較較詳盡詳盡，完成作業(yè)時也要如此。，完成作業(yè)時也要如此。(3)求解動力學方程組之后，要求解動力學方程組之后，要弄清解的物理意義弄清解的物理意義并作并作出出正確表述正確表述，必要時應作，必要時應作必需的討論必需的討論。這個處理問。這個處理問題的思想方法非常重要、非常有效，已經(jīng)被許多學題的思想方法非常重要、非常有效，已經(jīng)被許多學科所借鑒，應很好地掌握?？扑梃b，應很好地掌握。解法中列出牛頓第二定律矢量方程的一步可以略解法中列出牛頓第二定律矢量方程的一步可以略去，直接列出分量形式的動力學方程即可。當然，先去，直接列出分量形式的動力學方程即可。當然，先列出矢量方程再向坐標系投影，從而得

12、到分量形式的列出矢量方程再向坐標系投影，從而得到分量形式的動力學方程，既有利于熟悉矢量的概念，也不易出錯，動力學方程，既有利于熟悉矢量的概念，也不易出錯，是初學時使用的較好方法。是初學時使用的較好方法。例例2質量為質量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾角為角為，質量為，質量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。 1m2m解：解：以地面為慣性參考系，建以地面為慣性參考系，建立坐標系立坐標系Oxy如圖所示。如圖所示。視視m1、m2為質點，并分為質點

13、，并分別取作隔離體，受力分析如別取作隔離體，受力分析如圖所示。圖所示。Oxy1m 2m2W1NF 2NF1W1NF對對m1，據(jù)牛頓第二定律，據(jù)牛頓第二定律，有有1111amWFN 其分量形式方程為其分量形式方程為 yNxNamgmFamF1111111cossin Oxy1m 2m2W1NF 2NF1W1NF對對m2，據(jù)牛頓第二定律，有，據(jù)牛頓第二定律，有22221amWFFNN 其分量形式方程為其分量形式方程為 0cossin212221gmFFamFNNxN 根據(jù)牛頓第三定律，有根據(jù)牛頓第三定律，有11NNFF 以地面為基本參考系，斜面為運動參考系，以地面為基本參考系，斜面為運動參考系，m

14、1為運動為運動質點，則質點，則21 相相對對求時間的導數(shù)，得：求時間的導數(shù)，得：21aaa 相相對對 沿斜面方向，即沿斜面方向，即(考慮到考慮到 )相對相對a02 yaxxyyxyaaaaaa2121tan 相對相對相對相對 xxyaaa211 由由 yNxNamgmFamF1111111cossin 得得 tan11xyaga 由由 tan)(0cossin211212111xxyNNxNaaagmFFamF得得 tan21111 mamaaxxy tan1221xammm 因因 、 式中式中 相同，即可求出相同，即可求出ya1gmmmax 21221sincossin xyammma121

15、21 212212sinsin)(mmmmg xxamma1212 gmmm 2121sincossin m1相對于相對于m2的加速度的大小為的加速度的大小為22yxaaa相相對對相相對對相相對對 21212)(yxxaaa gmmmm 21221sinsin)( m1對對m2的壓力為的壓力為gmmmmamFxN 21221111sincossin 根據(jù)牛頓第二定律列出矢量方程根據(jù)牛頓第二定律列出矢量方程 ，右側是力，右側是力的矢量和，每一力前都是加號。的矢量和，每一力前都是加號。 Fam 在寫出其分量形式的方程時，要特別注意其中的正在寫出其分量形式的方程時，要特別注意其中的正負號的確定：負號

16、的確定：對已知方向的矢量，如已知方向的力，當力沿坐標軸方對已知方向的矢量，如已知方向的力，當力沿坐標軸方向的分力與坐標軸同向時，力的分量前取正號，如向的分力與坐標軸同向時，力的分量前取正號，如yNamgmF1111cos xNamF111sin 中的第一項中的第一項 (900)；當力沿坐標軸方向的；當力沿坐標軸方向的分力與坐標軸反向時，力的分量前取負號，如分力與坐標軸反向時，力的分量前取負號，如 cos1NF式中式中 (900)。 sin1NF 對方向未知的矢量，如加速度，列方程時各分量前均取對方向未知的矢量，如加速度，列方程時各分量前均取正號，如上兩式中的正號，如上兩式中的 和和 ，解方程組

17、求出，解方程組求出 和和 (可正可負可正可負)決定加速度的真實方向。決定加速度的真實方向。xa1ya1xa1ya1（二）變力作用下的直線運動（二）變力作用下的直線運動 力力 ，即：力是，即：力是時間時間，坐標坐標，速度速度的函數(shù)，的函數(shù)，有牛頓第二定律：有牛頓第二定律：),(txxFx),(22txxFdtxdmx 例例3 如圖所示如圖所示,跳傘運動員初張傘時的速度為跳傘運動員初張傘時的速度為v0=0,阻力阻力大小與速度平方成正比大小與速度平方成正比:v2，人傘總質量為，人傘總質量為m。求。求v=v(t)的函數(shù)的函數(shù)(提示：積分時可利用式提示：積分時可利用式 )1(21)1(21112 解：解

18、： 視人傘為質點，以初張傘視人傘為質點，以初張傘時刻為計時起點，初張傘時質時刻為計時起點，初張傘時質點所在位置為坐標原點，建立點所在位置為坐標原點，建立坐標坐標Oy豎直向下。豎直向下。 質點受重力質點受重力 和空和空氣阻力氣阻力 。jmgW jF2 根據(jù)牛頓第二定律可得質點動力學微分方程根據(jù)牛頓第二定律可得質點動力學微分方程FWdtdmam 向向Oy方向投影，因方向投影，因 ，故可以把，故可以把 寫為寫為 ，則，則0 y y 2 mgdtdm將其分離變量得將其分離變量得gdtmgd 21 令令 ，則上式化為，則上式化為mg gdtd 221 因因 ，則得到，則得到)1(21)1(211122

19、gdtdd )1(2)1(2 對上式積分得對上式積分得gdtddt 000)1(2)1(2 變換積分變量，得變換積分變量，得gdtddt 00021)1(1)1( 積分得積分得gt 211ln)1ln()1ln( 11)(221 gtgteet 討論：討論：t時，時， ，質點將勻速下降，質點將勻速下降. mgt 1)(對應的物理情況是：人傘開始加速下降，速度越大空氣對應的物理情況是：人傘開始加速下降，速度越大空氣阻力越大，當空氣阻力與重力平衡時，阻力越大，當空氣阻力與重力平衡時， ，人傘，人傘開始作勻速運動，開始作勻速運動， ，此速度稱為終極速度。，此速度稱為終極速度。2 mg mg （三）質

20、點的曲線運動（三）質點的曲線運動 選擇自然坐標系，將力投影到選擇自然坐標系，將力投影到法線法線方向和方向和切線切線方向，方向，由牛頓第二定律可得：由牛頓第二定律可得： dtdmmaFmFtitin ,2 inF 表示力在法線方向上投影的代數(shù)和；表示力在法線方向上投影的代數(shù)和； 表示表示力在切線方向上投影的代數(shù)和。力在切線方向上投影的代數(shù)和。 itF 例例44質量為質量為m m的小球最初位于的小球最初位于A A點，然后沿半徑為點，然后沿半徑為R R的光的光滑圓弧面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面滑圓弧面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用。的作用。A ngmN解：解：坐標系及受

21、力分析如圖所示，設小球在任一時刻坐標系及受力分析如圖所示，設小球在任一時刻的位置以角坐標的位置以角坐標確定。確定。根據(jù)牛頓第二定律，得根據(jù)牛頓第二定律，得沿著法向和切向的分量沿著法向和切向的分量式：式：dtdvmmgcosRvmmgN2sinRddvvdsdtdvdsdtdvdRgvdvcosA ngmN 00cosdRgvdvvsin212Rgv sin2Rgv RvmmgN2sinRRgmmgNsin2sinsin3mg第第2 2章第一次作業(yè)章第一次作業(yè)P61P61注意：注意：2-12-12-22-22-32-31.1.每周的兩次作業(yè)在同一個作業(yè)本上做，中間隔四每周的兩次作業(yè)在同一個作業(yè)本

22、上做，中間隔四行；行；2.2.上一周的作業(yè)在下周的第二次課上課前統(tǒng)一交到上一周的作業(yè)在下周的第二次課上課前統(tǒng)一交到講臺上。講臺上。2-42-4引題：牛頓第二定律的適用范圍是慣性系，本節(jié)將討論引題：牛頓第二定律的適用范圍是慣性系，本節(jié)將討論如何在非慣性系中保持質點動力學方程的形式不變。如何在非慣性系中保持質點動力學方程的形式不變。 二、非慣性系中的動力學二、非慣性系中的動力學(一一)直線加速參考系中的慣性力直線加速參考系中的慣性力 (二二)離心慣性力離心慣性力 (三三)科里奧利力科里奧利力 edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222( (四四) )伽利略變換和伽利略相對性原理伽

23、利略變換和伽利略相對性原理 問題：問題：車的車的a = 0 時單擺和小球的狀態(tài)符合牛頓定律時單擺和小球的狀態(tài)符合牛頓定律，a0時單擺和小球的狀態(tài)為什么不符合牛頓定律？時單擺和小球的狀態(tài)為什么不符合牛頓定律？a =0a 0二、非慣性中的動力學二、非慣性中的動力學 （一）直線加速參考系中的慣性力（一）直線加速參考系中的慣性力 動畫演示動畫演示（一）直線加速參考系中的慣性力（一）直線加速參考系中的慣性力 1、直線加速參考系：、直線加速參考系： 參考系相對于慣性系運動，固定于該參考系上直參考系相對于慣性系運動，固定于該參考系上直角坐標系的原點作變速直線運動，且各坐標軸的方向角坐標系的原點作變速直線運動

24、，且各坐標軸的方向始終保持不變。始終保持不變。 例如：例如： 向右加速運動的小車是一非慣性系，是一直線向右加速運動的小車是一非慣性系，是一直線加速參考系。加速參考系。 討論：討論： 小球的運動狀態(tài)：小球的運動狀態(tài)：（桌面光滑）（桌面光滑） (1)以地面為參考系：小球水平方向不受力，靜止。以地面為參考系：小球水平方向不受力，靜止。(2)以小車為參考系：以小車為參考系： 小球相對于車向右以加速度小球相對于車向右以加速度 運運動，由于水平方向不受力，不符合牛頓第二定律，動，由于水平方向不受力，不符合牛頓第二定律， a這時，可設想力這時，可設想力 作用于小球上，方向與小車相對作用于小球上，方向與小車相

25、對于地面的加速度方向相反，大小等于小球質量與加于地面的加速度方向相反，大小等于小球質量與加速度的乘積，該設想的力稱為慣性力：速度的乘積，該設想的力稱為慣性力： famf 引入引入“慣性力慣性力”，對于小車非慣性系，仍可用牛頓第，對于小車非慣性系，仍可用牛頓第二定律的形式。小球相對于車身的加速度二定律的形式。小球相對于車身的加速度 是慣性是慣性力力 作用的結果。作用的結果。 a f總之：總之： 在直線加速運動的非慣性系中，質點所受慣性力在直線加速運動的非慣性系中，質點所受慣性力 與與非慣性系的加速度非慣性系的加速度 方向相反，且等于質點的質量方向相反，且等于質點的質量m與非慣性系的加速度與非慣性

26、系的加速度 的乘積。的乘積。 faa注：注： （1）慣性力不是相互作用力，不存在反作用力；）慣性力不是相互作用力，不存在反作用力； （2）慣性力的存在反映了所選擇的參考系是非慣性）慣性力的存在反映了所選擇的參考系是非慣性系。系。 2直線加速參考系中的動力學方程直線加速參考系中的動力學方程 建立直角坐標系建立直角坐標系 ，分別是慣性，分別是慣性系和非慣性系，坐標軸互相平行，系和非慣性系，坐標軸互相平行，O系相對于系相對于O系系以加速度運動，以加速度運動， 有：有：zyxOxyzO 和和，orrr orrr xOyzx O y z 上式對時間求二階導數(shù)，得：上式對時間求二階導數(shù)，得： 0aaa 相

27、相絕絕or rr maxOyzx O y z 0amamam 相相絕絕相相amamFii 0即：即： 0amf 相相amfFii 表明：表明： 質點在直線加速參考系中的動力學方程質點在直線加速參考系中的動力學方程 在直線加速的非慣性系中，質點質量與相對加速度的在直線加速的非慣性系中，質點質量與相對加速度的乘積等于作用于此質點的相互作用力和慣性力的合力。乘積等于作用于此質點的相互作用力和慣性力的合力。 m iiF0amamFii 相相絕絕a絕絕amFii am iiF f iifF相相a例例1質量為質量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾角為角為，質量為

28、，質量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。 1m2m解法二：解法二：鑒于鑒于m2在水平向右有加速度，在水平向右有加速度，為非慣性系，取動坐標系為非慣性系，取動坐標系x x沿沿斜面斜面向下。向下。 由于由于m1在斜面上是直線運在斜面上是直線運動，所以建立坐標系在運動的斜面上。動，所以建立坐標系在運動的斜面上。x y 在非慣性系中在非慣性系中m1的受力的受力分析分析jgmigmW cossin1111m1W 1NFjFFNN 112a fjamiamamf sincos212121m1m2

29、x y 設設m1在這三個力的作用下，沿斜面以在這三個力的作用下，沿斜面以 向下運動向下運動1a 1a 根據(jù)牛頓第二定律，有根據(jù)牛頓第二定律，有1111amfFWN 0cossincossin121111211 gmamFamamgmN xyO 以以m2作為研究對象，在慣性系作為研究對象，在慣性系xoy中考察它的運動中考察它的運動2NF2W2NF 2a根據(jù)牛頓第二定律，有根據(jù)牛頓第二定律，有22212amFFWNN 根據(jù)題意，只需考察根據(jù)題意，只需考察x軸軸分量形式，有分量形式，有221sinamFN m2 聯(lián)立三個方程聯(lián)立三個方程0cossin1211 gmamFN11211cossinama

30、mgm 221sinamFN 0cossinsin12122 gmamam0cossinsin12122 gmmma）（11211cossinamamgm cossin21aga 212211sincossinsinmmgmga 21212sincossinmmgma gmmmma 212211sincossin)( m1m2xyO x1yx2hx y 1a sin221amFN gmmmmFN 212211sincos 例題例題2 雜技演員站在沿傾角為雜技演員站在沿傾角為的斜面下滑的車廂內(nèi)，的斜面下滑的車廂內(nèi)，以速率以速率v0垂直于斜面上拋紅球，經(jīng)時間垂直于斜面上拋紅球，經(jīng)時間t0后又以后又

31、以v0垂垂直于斜面上拋一綠球，車廂與斜面無摩擦。參考題圖。直于斜面上拋一綠球，車廂與斜面無摩擦。參考題圖。問二球何時相遇。問二球何時相遇。 分析：分析： 這是一道較復雜的問題這是一道較復雜的問題其復雜在于兩個方面：其復雜在于兩個方面： 一是兩個小球的運動軌一是兩個小球的運動軌跡不是直線，它們相遇的跡不是直線，它們相遇的點是平面上的點；點是平面上的點； 二是從什么參考系觀察，建立怎樣的坐標系？不同的二是從什么參考系觀察，建立怎樣的坐標系？不同的坐標系得到的方程難易程度不同，怎樣的坐標系能夠幫坐標系得到的方程難易程度不同，怎樣的坐標系能夠幫助我們更清晰地認識雜技演員、兩個小球之間的關系，助我們更清

32、晰地認識雜技演員、兩個小球之間的關系，以及兩個小球相遇的圖景？以及兩個小球相遇的圖景？ 解法一：解法一： 以地面為慣性參考系，取雜技演員拋出紅球時以地面為慣性參考系，取雜技演員拋出紅球時刻和位置為時間、坐標原點，建立刻和位置為時間、坐標原點，建立Oxy坐標系如圖。坐標系如圖。Oxy1、研究車廂和雜技演員、研究車廂和雜技演員初始時刻初始時刻作平動，看作質點，作平動，看作質點，沿沿x軸作勻加速直線運動軸作勻加速直線運動i0)0(車車車車 iga sin車車 singa 車車g0)0( 車車x任意時刻任意時刻ttgt sin)(0車車車車20sin21)(tgttx 車車車車時刻時刻t000sint

33、g 車車車車2000sin21tgtx 車車車車 Oxy2、研究紅球、研究紅球0車車 0 ji0010 車車紅球在重力作用下以初始速度紅球在重力作用下以初始速度 作斜拋運動。作斜拋運動。10 10 g sing cosg jaiaayx 1 cossingagayx初始時刻初始時刻 001001 yx車車 001010yx任意時刻任意時刻t1 101101cossintgtgyx 車車 2110121101cos21sin21tgtytgtx 車車 Oxy3、研究綠球、研究綠球0 綠球在重力作用下以初始速度綠球在重力作用下以初始速度 由由O起作斜拋運動。起作斜拋運動。20 車車 20 g si

34、ng cosg jaiaayx 1 cossingagayx初始時刻初始時刻O l2000sin21tgtxl 車車車車ji020 車車 00202 yx車車00sintg 車車車車 02020ylx Oxy0 車車 20 O l任意時刻任意時刻t2 20222cossintgtgyx 車車 222022222cos21sin21tgtytgtlx 車車 22202222002cos21sin21)sin(tgtytgttglx 車車兩球時間的關系兩球時間的關系021ttt 兩球相遇的條件兩球相遇的條件 2121yyxx求解滿足此求解滿足此條件的條件的t1 2110121101cos21sin

35、21tgtytgtx 車車 22202222002cos21sin21)sin(tgtytgttglx 車車2000sin21tgtl 車車21xx 由由 無法求出無法求出t1；21yy 由由 ，有，有22202110cos21cos21tgttgt 0)(cos21)(2221210 ttgtt 0212221)2()(ttttt 得得 cos21001gtt 0 車車 20 OxyO l0車車 0 10 從從x1=x2式可以看出式可以看出 雖然兩球沿雖然兩球沿 x軸的加軸的加速度分量相同，但綠球速度分量相同，但綠球之所以在之所以在 x軸上趕上紅軸上趕上紅球，在于綠球沿球，在于綠球沿 x軸的

36、軸的初速度大于紅球初速度大于紅球 x軸的初速度；同時其位置超前紅球軸的初速度；同時其位置超前紅球一段距離。一段距離。 但是從但是從 x軸上看，軸上看， 的大小有一定的限制，的大小有一定的限制，就是就是 不能大于紅球紅球落地的斜面距離。不能大于紅球紅球落地的斜面距離。ll01 y由由 ，有，有 從從 y軸上看，兩球具有相同的加速度軸上看，兩球具有相同的加速度 y分量和相同的分量和相同的初速度初速度 y分量，甚至初始的分量，甚至初始的 y坐標都相同，只要與坐標都相同，只要與 對對應的應的t0小于落地時間就能夠相遇。小于落地時間就能夠相遇。l cos200gt )(cos2000 tggl 車車解法

37、二：解法二： 以車廂為非慣性參考系，取雜技演員拋出紅球以車廂為非慣性參考系，取雜技演員拋出紅球時刻和位置為時間、坐標原點，建立時刻和位置為時間、坐標原點，建立Oxy坐標系如圖。坐標系如圖。 O x y sin|mgf mgW singa 車車 因為車廂以因為車廂以 沿斜面沿斜面向下作勻加速直線運動，向下作勻加速直線運動，車車a 所以在非慣性系中，紅所以在非慣性系中，紅球和綠球除了受到重力球和綠球除了受到重力W作用外，還受到慣性力作用外，還受到慣性力的作用，如右圖所示。的作用，如右圖所示。iga sin車車igamf sin車車1、研究紅球、研究紅球1amfW yxxmamgmafmg11cos

38、sin yxmamgmamgmg11cossinsin cos011gaayx初始條件：初始條件：000101001 yxjt，時時， 由此可知，紅球沿由此可知，紅球沿y軸作初速度為軸作初速度為v0，加速度為，加速度為 的勻減速直線運動。在的勻減速直線運動。在 t 時刻的速度、坐標為時刻的速度、坐標為ya1 tgyx cos0011 2011cos210tgtyx dtgdty 0cos10 tdtgdtydtty 0000cos1 2、研究綠球、研究綠球2amfW yxxmamgmafmg22cossin yxmamgmamgmg22cossinsin cos022gaayx由此看見，即使紅

39、球與綠球的質由此看見，即使紅球與綠球的質量不同，也能得到相同的結果。量不同，也能得到相同的結果。初始條件：初始條件：002020020 yxjtt，時時， 由此可知，綠球沿由此可知，綠球沿y軸作初速度為軸作初速度為v0，加速度為，加速度為 的勻減速直線運動。在的勻減速直線運動。在t1時刻的速度、坐標為時刻的速度、坐標為ya2dtgdtty 020cos )(cos00022ttgyx dtttgdtydtttty)(cos000002 200022)(cos21)(0ttgttyx 在車廂這個非慣性系中觀察，紅球和綠球作類似于在車廂這個非慣性系中觀察，紅球和綠球作類似于沿豎直向上的上拋運動，只

40、是它們的加速度小于重力沿豎直向上的上拋運動，只是它們的加速度小于重力加速度而已。由此，兩球相遇的條件為；加速度而已。由此，兩球相遇的條件為；21yy 即：即：200020)(cos21)(cos21ttgtttgt 得：得：000cos21tgtt 兩種解法比較，非慣兩種解法比較，非慣性系有其解題簡單、物性系有其解題簡單、物理圖景清晰的優(yōu)點。理圖景清晰的優(yōu)點。 m1觀觀察察者者TFm*F2觀觀察察者者TF動畫演示動畫演示（二）離心慣性力（二）離心慣性力 t |t |rmfc2 如圖所示：圓盤以勻角速率如圖所示：圓盤以勻角速率 繞鉛直軸繞鉛直軸轉動，圓盤上用長為轉動，圓盤上用長為r的線將質量為的

41、線將質量為m的的小球系于盤心且相對于圓盤靜止。小球系于盤心且相對于圓盤靜止。 從慣性系看：小球受線拉力的作用下做從慣性系看：小球受線拉力的作用下做勻速圓周運動，符合牛頓第二定律。勻速圓周運動，符合牛頓第二定律。 從圓盤非慣性系看：小球受到拉力的作用，從圓盤非慣性系看：小球受到拉力的作用，卻保持靜止，不符合牛頓第二定律。卻保持靜止，不符合牛頓第二定律。 故有：故有：相對于慣性系做勻速轉動的參考系也是非慣性系相對于慣性系做勻速轉動的參考系也是非慣性系 引入慣性力引入慣性力： 上式的力稱為離心慣性力上式的力稱為離心慣性力, 是自轉軸向質點所引的矢是自轉軸向質點所引的矢量，與轉軸垂直。量，與轉軸垂直。

42、 r若質點靜止于勻速轉動的非慣性系中，則作用于此物若質點靜止于勻速轉動的非慣性系中，則作用于此物體所有相互作用力與離心慣性力的合力等于零。即：體所有相互作用力與離心慣性力的合力等于零。即： 0 ciifF例題例題3 北京紫竹院公園有一旋風游戲機，大意如圖所北京紫竹院公園有一旋風游戲機，大意如圖所示。設大圓盤轉軸示。設大圓盤轉軸OO 與鉛直方向成與鉛直方向成 =18，勻速轉，勻速轉動，角速度為動，角速度為 0= 0.84 rad/s 。離該軸。離該軸 R 2.0 m 處又處又有與有與 OO 平行的平行的PP ，繞，繞 PP 轉動的座椅與轉動的座椅與 PP 軸軸距離為距離為 r =1.6m。為簡單

43、起見，設轉椅靜止于大圓盤。為簡單起見，設轉椅靜止于大圓盤。設椅座光滑，側向力全來自扶手。又設兩游客質量均設椅座光滑，側向力全來自扶手。又設兩游客質量均為為 m =60 kg 。求游客處于最高點。求游客處于最高點B和較低點和較低點A處時受座椅處時受座椅的力的力.RrOO PP AB 0要求在非慣性系中求解要求在非慣性系中求解. . neteAFPAFNWA*C AFBFPBFNWB*CBF解解 選大轉盤為參考系，選大轉盤為參考系， 0*CPN AAAFWFF0*CPN BBBFWFFn20*C)(erRmFA n20*C)(erRmFB （三）科里奧利力（三）科里奧利力 如圖：兩人坐在轉盤的同一

44、條半徑上，轉盤順時針如圖：兩人坐在轉盤的同一條半徑上，轉盤順時針轉動，某時刻轉動，某時刻A A朝朝B B扔出一籃球，結果發(fā)現(xiàn)球并沒有扔出一籃球，結果發(fā)現(xiàn)球并沒有沿直線飛出，而是發(fā)生了偏轉沿直線飛出，而是發(fā)生了偏轉! !AB也就是說，對轉盤上的觀也就是說，對轉盤上的觀察者來說，籃球離開手之察者來說，籃球離開手之后，還受到一個力的作用，后，還受到一個力的作用，使其飛行方向發(fā)生改變使其飛行方向發(fā)生改變! !這個力就是這個力就是科里奧利力科里奧利力（三）科里奧利力（三）科里奧利力 如圖所示：一圓盤繞鉛直軸以勻角速率如圖所示：一圓盤繞鉛直軸以勻角速率 轉動，盤轉動，盤心有一光滑小孔，沿半徑方向有一光滑槽

45、，其中置一心有一光滑小孔，沿半徑方向有一光滑槽，其中置一 t 向外運動，經(jīng)時間向外運動，經(jīng)時間 ，圓盤轉過，圓盤轉過 角，而小球自角，而小球自A運動至運動至D。t t 1、從地球慣性參考系：從地球慣性參考系： 當小球位于當小球位于A點時其速度：點時其速度： tr 設設A點的半徑為點的半徑為r0，則，則0rt tr 0dtdatt 槽對小球的作用有沿切線或圓弧方向的力，使小球獲得槽對小球的作用有沿切線或圓弧方向的力，使小球獲得切向加速度，使小球多走出弧長切向加速度，使小球多走出弧長DD。 r 小球小球 m m，可視作質點，以細線連之，線另一端穿過小，可視作質點，以細線連之，線另一端穿過小孔，可控

46、制小球在槽中作勻速運動，速度為孔，可控制小球在槽中作勻速運動，速度為 沿槽沿槽trttrDDr 00)( t 0 t2)( tDDr 2)(21tatDBkt DDACDB 2)(21taDDk rka2 引入引入“角速度矢量角速度矢量”，記，記作作 。 由上圖可知：由上圖可知： trkaa 2 稱作稱作科里奧利加速度，科里奧利加速度，它是在慣性系中看到的，是它是在慣性系中看到的，是槽施于小球的推力所產(chǎn)生的加速度。槽施于小球的推力所產(chǎn)生的加速度。 ka2、非慣性系討論：、非慣性系討論： 小球的受力：小球的受力： 線的拉力線的拉力 ， TT小球沿槽向外運動小球沿槽向外運動離心慣性力離心慣性力 c

47、f cfF槽對球的推力槽對球的推力 ， FkFkF科里奧利力科里奧利力 kF 稱作科里奧利力或科氏力稱作科里奧利力或科氏力-不不屬于相互作用范疇。是在轉動非慣屬于相互作用范疇。是在轉動非慣性系中觀測到的。性系中觀測到的。 rkkmamF 2 rkmF2注：注：若質點相對于勻速轉動的圓盤作變速轉動，則若質點相對于勻速轉動的圓盤作變速轉動，則慣性力為：離心慣性力和科里奧利力。慣性力為：離心慣性力和科里奧利力。 傅科擺傅科擺3.3.科里奧利力的應用科里奧利力的應用 67mn科里奧利力科里奧利力傅科擺傅科擺傅科擺直接證明了地球的自轉傅科擺直接證明了地球的自轉*KF北極懸掛的單擺北極懸掛的單擺擺面軌跡擺面軌跡擺平面轉動方向擺平面轉動方向 tv*KF北北半半球球北半球的科里奧利力；北半球的科里奧利力；tv *KF*KF*KFtvtv *KF v落體偏東落體偏東 旋風旋風 低壓低壓氣區(qū)氣區(qū)向低壓中心流動的氣流因科氏力而偏轉向低壓中心流動的氣流因科氏力而偏轉氣漩與反氣漩氣漩與反氣漩 edtddtdrdtdredtdrdtrda