高三導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題題型1.高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m). (2013全國(guó)新課標(biāo)H卷)(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并討論f(x)的單調(diào)性： (2)當(dāng)說(shuō)2時(shí)，證明f(x)>0.(1)解 /(x) = cv - ln(x += er - ！f(0) = e° - ! = 0m = 1 fx + m0 + mi cKx+ 1 - 1定義域?yàn)镸> - 1 , ,f(x) = er-二，a + m x + 1顯然於)在(-1。上單調(diào)遞減,在0 , +8)上單調(diào)遞增.(2)證明 g(x) = - ln(x + 2),貝！ g'(x)= er -二一

2、(x> - 2).x + 2h(x) = g'(x) = er (a> _ 2)/ix) = ev + -;>0 , x + 2a + 2-所以/心)是增函數(shù)"心)=0至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又 -；)=南-；<°，(0)二 1 - %。，2所以h(x) = (X)= 0的唯一實(shí)根在區(qū)間(-0)內(nèi)， 設(shè)/(x) = 0的根為t ,則有冢=e;-= 0( - 1<<0),所以，ez = -！-f + 2 = e-z, t + 2當(dāng) x£( - 2 , f)時(shí),g'(x)<gXt) = 0 , g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)

3、%, + 8)時(shí),g3>g© = 0 , g(x)單調(diào)遞增；1 1十戶所以 g(x)min = g(t) = ez - ln(z + 2) = ; +1 = ->0 f f+2t+2當(dāng) m<2 時(shí),有 ln(x + /H)<ln(x + 2),所以./(x)= er - ln(x + m)>cx - ln(.r + 2) = g(x)遂(x)疝n>0.例2已知函數(shù)/(x)滿足f(x) = f'()ex-f(O)x + -x2 (2012全國(guó)新課標(biāo)) 2(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間：若 f(x)>-x2 +ax + b,求(“ +

4、 1)Z?的最大值。2(1) fW = fX-fWx + -x2 = fx) = /Wv-，-/(0) + x令 x = l 得：/(0) = 1得：f(x) = ex-x+-x2 g(x) = fr(x) = ex-+x乙g'(x) = / +1 > 0 = y = g(x)在X e R上單調(diào)遞增得：f(x)的解析式為f(x) = ex-x + -x22且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+s)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-s,0)(2) f(x) >x2 + ax + /? <> h(x) = ex -(«4-l)x-Z? > 0 W (x) = e" -

5、 (a +1) 2當(dāng)a +1 < 0時(shí)，hx) > 0 = y = h(x)在a e R上單調(diào)遞增 x > -oo 時(shí)，hx f yo 與 /?(x) > 0 矛盾當(dāng)4 +1 >0時(shí)，hx) >0<=>x>ln(a +1)v0 ox vln(a +1) 得：當(dāng) x = ln(a + l)時(shí)，-(x)min =3 + 1)-(a + l)ln(a + l)-bNO 令 F(x) = x2-x2 In xx > 0)；則 F(x) = x(l-21n x)當(dāng)x = J7 時(shí)，F(xiàn)（x）max = j當(dāng)。=時(shí)，（a + l）b的最大值為2例3

6、已知函數(shù)/0）=也）+ ,曲線），= /1）在點(diǎn)（1J）處的切線方程為 x+l xx + 2y 3 = 0, （2011全國(guó)新課標(biāo)）求4、。的值:(II)如果當(dāng)x>°,且時(shí)，/«>- + -,求后的取值范圍。 x-1 X(X+l)2"1)=1,1即， 廣=-5， 乙Xb = l.a fb12由于直線x+2y-3 = 0的斜率為一；,1 解得 a = l, Z? = 1 o 5'(H )由(I )知 f(x) = W" + , x + x所以I,、z Inx k、 "幻一噌1+?=1一r.x +出止當(dāng)。七十即 ci(女1)(r

7、1) z 八、ni. IZ x (k 1)(r +1) + 2x考慮函數(shù) A(x) = 21nx+ (x > 0),則(幻=-一；設(shè)由 (x)=知,當(dāng) XN1 時(shí)，(x)<0, h(x)遞減。而x力=0 故當(dāng) X£(0,l)時(shí)，h(x) > 0 ,可得丁/?(x)>0：當(dāng) xe (1, +s)時(shí)，h (x) <0,可得"j!v h (x) >0,/in x kIn x kI 從而當(dāng) x>0.且 xw 1 時(shí)，f (x) - ( + ) >0,即 f (x) >+ .x-1 xx-I X(ii)設(shè)0<k<l.由

8、于(左一 1)(小+1) + 2%=(攵- 1)9+2%+火-1的圖像開(kāi)口向下,且 = 4 - 4(攵- 1了>0,對(duì)稱軸 x=!>1 當(dāng) xe (1, L)時(shí)，(k-1) (x2 + l) -kl-k.11+2x>0,故 (x) >0,而 h (1) =0,故當(dāng) xe (1, )時(shí)，h (x) >0,可得-hl k1-x2(x) vO,與題設(shè)矛盾。(iii)設(shè) kNL此時(shí)V+122x,(-l)(x2+ l) + 2x>0=>(x) >0,而 h (1) =0,故當(dāng)xe (1, +s)時(shí)，h (x) >0>可得一二 h (x) <

9、;0,與題設(shè)矛盾。1-x2綜合得，k的取值范圍為(-8, 0例 4 已知函數(shù) f(x)=(x3+3x2+ax+b)e (2009 寧夏、海南)(1)若a=b=-3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若f(x)在(一8內(nèi)),(2晶)單調(diào)增加，在(a,2)鄧.+8)單調(diào)減少，證明p-a>6.解：當(dāng) a=b=-3 時(shí),f(x)=(x3+3x23x 3)e-故f(x) = (x3+3x23x 3)e"x +(3x2+6x 3)e"x=e"x (x39x)= x(x 3)(x+3)e"當(dāng) XV 3 或 0VXV3 時(shí)f(x)>0;當(dāng)一3 vxVO 或 x>3

10、 時(shí)f(x)vO.從而 以)在(-oo,-3),(0,3彈調(diào)增加，在(-3.0),(3,+oo)單調(diào)減少.(2)f(x)= (x3+3x2+ax+b)e"x +(3x2+6x+a)e"x= e"x x3+(a6)x+baZ .由條件得 f(2)=0,即 23+2(a-6)+b - a=0,故 b=4-a.從而 f(x)=-e-x >3+(a-6)x+4-2a1 .因?yàn)?f(a)=f(p) = O,所以 x'+(a6)x+4 2a=(x 2)(x a)(xB) = (x 2) x2 (ap)x*ap.將右邊展開(kāi)，與左邊比較系數(shù)，得a+P= -2,ap=

11、a-2.故一一a = /(77 + a)24a/7=J12 - 4aU-2)(a2)v0,即 aB-2(a+0)+4O.由此可得 a<-6.于是 p-a>6.2 .在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(1)曲線)，= /*)在+ = (處的切線的斜率等于/'(%),且切線方程為丁 =尸(入0)。-/)+ /(%)。(2)若可導(dǎo)函數(shù)y = /(x)在X = %處取得極值，則/'(4) = 0。反之，不成立。對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/.不等式:"） > 0 （v 0）的解集決定函數(shù)/3）的遞增（減）區(qū)間。（4）函數(shù)/*）在區(qū)間I上遞埴 減 的充要條件是：Vx e I /'

12、（工）20 （K 0）恒成立f'（x） 不恒為0 ） .函數(shù)/« （非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于/（x）在區(qū)間I上有極值，則可等 價(jià)轉(zhuǎn)化為方程f（x） = 0在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R ,則有>（）。（6） /*）在區(qū)間I上無(wú)極值等價(jià)于/（X）在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù) 進(jìn)而得到（x） N 0或 廣"）<0在I上恒成立（7）若Vxe/ , /（x） >0恒成立，則/"Ln >0;若m , /*） V。恒成立，則 "X）皿 <。（8）若三 xoel ,使得/（?。?gt;0 ,則/（x）ma*

13、 >0 ;S3 xoel ,使得/（%） <0 ,則設(shè)/（X）與g（x）的定義域的交集為D ,若V X £ D /（X）> g（x）恒成立，則有 f（X）-g（X）hn >0（10）若對(duì) X £/、X2el2 , /a）>g（%2）恒成立，則/（X）min>g（X）max- 若對(duì) T 芭 el1 , 3 x2el2 ,使得/（$） > 8（匕），則/（項(xiàng)后 > gWmm - 若對(duì)V2£乙，三/ £乙，使得/（司）< 8（），則/（X）max < g（X）max （11 ）已知/（X）在區(qū)間上的值

14、域?yàn)锳, , g（X）在區(qū)間上值域?yàn)锽 , 若對(duì)V x, e /）,3 x2el2 ,使得/（演）=g（x?）成立，則A三8。（12）若三次函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則方程/'（幻=。有兩個(gè)不等實(shí)根內(nèi)、，且極大值 大于o,極小值小于0.（13）證題中常用的不等式: lnx<x -1 (x>0) In* <xTx+12(x>l) x 1 <ln(x+l)<x (x>-l) ex >l-xi (x>0)2 2x3 .題型歸納（構(gòu)造函數(shù)，最值定位）（分類討論，區(qū)間劃分）（極值比較）（零點(diǎn)存在性定理應(yīng)用）（二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換） 例1 （切線）設(shè)函數(shù)/

15、=3一".（1）當(dāng)“=1時(shí)，求函數(shù)ga）=xfa）在區(qū)間上的最小值:當(dāng)時(shí)，曲線）'=/"）在點(diǎn)尸（陽(yáng)J（陽(yáng)）（匹>疝處的切線為/, /與x軸交于 點(diǎn) A（X2,0）求證：Xi>x2> 幾例2 （最值問(wèn)題，兩邊分求）已知函數(shù)/W = lnx - or +上1 （«eR）. X當(dāng)時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性；2設(shè)g（x） = Y-2bx + 4.當(dāng)。=；時(shí)，若對(duì)任意玉e（0,2）,存在1,2,使/（內(nèi)）2g（x,）,求實(shí)數(shù)取值范圍.例3 （切線交點(diǎn)）已知函數(shù)/6） = ©3+桁23x（力£R）在點(diǎn)（1，/）處的切線方程 為，+

16、 2 = 0.求函數(shù)/（1）的解析式；若對(duì)于區(qū)間一2,2上任意兩個(gè)自變量的值國(guó),占都有/（西）/（七）歸c ,求實(shí)數(shù) c的最小值：若過(guò)點(diǎn)M（2,?）（mw2）可作曲線y = x）的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.f（x） = ln（2 + 3x）-x2.例4 （綜合應(yīng)用）己知函數(shù)2求於）在0,1上的極值：x e !,不等式 I 一 Inx I +ln/"（x） + 3x > 0若對(duì)任意 6 3成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：若關(guān)于X的方程/“）= -2工+匕在 1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)人的取值 范府/X）= -例5（變形構(gòu)造法）已知函數(shù)1+ 1 , 4為正常數(shù).=2若/（x） =

17、 ln” + 9（x）,且”一2,求函數(shù)/O）的單調(diào)增區(qū)間；在中當(dāng)"二°時(shí)，函數(shù)尸/的圖象上任意不同的兩點(diǎn)AG"） 風(fēng),力），線段A8的中點(diǎn)為C（x。，>'。），記直線A8的斜率為2,試證明：k > ./ o）.若+ 且對(duì)任意的不，小«0吐內(nèi)。，都有 叼一匹 ， 求的取值范圍.例6 （高次處理證明不等式、取對(duì)數(shù)技巧）已知函數(shù)/（"）=m（aD（>o） *（1）若對(duì)任意的x>°恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；,g(x) = x9Xy e(-J),X| +為 <1< 2 )當(dāng)” =1時(shí)，設(shè)函數(shù) x

18、,若 -e .，求證 Xx2 <(Xj +x2)4例7(絕對(duì)值處理)已知函數(shù)/(x) = Y+穌2+/m + c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x = l處取 得極大值.(I)求實(shí)數(shù)。的取值范圍：(II)若方程/") = -三字二恰好有兩個(gè)不同的根，求/(X)的解析式；(III)對(duì)于(II)中的函數(shù)/*),對(duì)任意c、/7eR,求證：l/(2sina)-/(2sin/?)l<81.例8 (等價(jià)變形)已知函數(shù)/(x) = ax-l-ln x (a e R).(I)討論函數(shù)/(八)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)：< II)若函數(shù)/(x)在x=l處取得極值，對(duì)Vxe (0,+oo) J(

19、x)之法-2恒成立， 求實(shí)數(shù)b的取值范圍：(III)當(dāng)Ovx v y </且xwe時(shí)，試比較上與!”的大小.x 1 - In x1 、7/(x) = In x, g(x) = x2 + tnx + (m < 0)例9 (前后問(wèn)聯(lián)系法證明不等式)已知22 ，直線/與函數(shù)/(x)，g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)/(幻的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10(I)求直線的方程及m的值：(H)若(x) = /(x + l)-g'(x)(其中g(shù)' (x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)*)的 最大值。f(a + b)-f(2a)<.(Ill)當(dāng)。時(shí)，求證：2a例10(整體把握，貫穿全題)

20、巳知函數(shù)x(1)試判斷函數(shù)/(處的單調(diào)性：(2)設(shè)?>0,求f(x)在上的最大值;(3)試證明：對(duì)任意wN,不等式ln(f <4都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). n n12(IH)證明： + + + > .q %4 +1例11(數(shù)學(xué)歸納法)已知函數(shù)/(x) = ln(x + l) + 7x,當(dāng)x = 0時(shí)，函數(shù)/(刈取得極大值.(1)求實(shí)數(shù)觀的值；(2 )已知結(jié)論：若函數(shù)/(x) = ln(x + l) + ?x在區(qū)間(/)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a>1 , 則存在與£(力)，使得廣(%)= ,"") "),試用這個(gè)結(jié)論證明:若 b-a

21、-l<x, <x,函數(shù) g(x) = /(、)/(士)(x-X) + / ($),則對(duì)任意 xe(xrx2),都有/(x)>g(x)：(3)已知正數(shù)4，4，4，滿足4+4+4 = 1，求證：當(dāng)之2, eN時(shí)， 對(duì)任意大于-1,且互不相等的實(shí)數(shù)內(nèi),，天，都有 /(4玉 +49 +4占)> 4/(x】)+4/(x2)+3+4J(x)例12 (分離變量)已知函數(shù)/W = / + "ln*3為實(shí)常數(shù))(1)若 =-2,求證：函數(shù)/(X)在(1,+8)上是增函數(shù);(2)求函數(shù)/(幻在10上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在使得/(x)"(" + 2)x

22、成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.例13 (先猜后證技巧)已知函數(shù)/ J+“心+ Dx(I)求函數(shù)f(x)的定義域(II)(HI)確定函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.若Q0時(shí)/")>恒成立，求正整數(shù)A的最大值.x+l例 14 (創(chuàng)新題型)設(shè)函數(shù) f(x)=ex+sinx.g(x)=ax.F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的極值點(diǎn)，求a的值：(II)當(dāng) a=l 時(shí)，設(shè) P(X】,f(Xi),Q(X2, g(x 2)(X1>O,X2>O), 且g(x)pQ g(x) = ax2 - lax + + b(aO,b< 1) 2, 3= a

23、,b f(2x)-k-2x>0/(l2r-ll) + (3) = 0.,xe -1k 2l -11 k /(x) = (x-")(x + b)e' 0、be Rx = a fM = 0 h a xe x2f x3 f W b % w R %，% x3, x4九，%，勺 123,4 % %4x)= nx g(x)= _l以2+加 3工0)若 = _2,函數(shù) 2/7(X)= /(X)-g(X)在其定義域是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)0(x)=eN+be”，xG 0, ln2,求函數(shù)°(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象G與函數(shù)g(x)

24、的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作工 軸的垂線分別交CI、C2于點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使G在M處的切線與C2在 N處的切線平行若存在，求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.X例18 (全綜合應(yīng)用)已知函數(shù)/(x) = l + ln(0VXV2).2-x(1)是否存在點(diǎn)M(a,b)，使得函數(shù))，=f(x)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q 也在函數(shù)y = /(a)的圖像上若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；定義S“ = X /'(-)= /(-) + /(-)+ + /(3二)，其中W z ,求S2OI3;(3)在的條件下，令5“ +1 = 2/ ,若不等式2冊(cè)

25、(4)”' > 1對(duì)e N且22恒成立, 求實(shí)數(shù)?的取值范圍.導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合例19 （換元替代，消除三角）設(shè)函數(shù)/（x）= x（x "）2 （xeR）,其中“eR.（I）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線）' = /（x）在點(diǎn)（2, /（2）處的切線方程：（H）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)“外的極大值和極小值；（III）當(dāng)0>3,時(shí)，若不等式/（女一8$工）三/（/_85、）對(duì)任意的 xeR恒成立，求攵的值。創(chuàng)新問(wèn)題積累x - 2 x例20已知函數(shù)/（x） = Inx-4 4I、求/1）的極值.II、求證/（刈的圖象是中心對(duì)稱圖形.IIL設(shè)/（X）的定義域?yàn)?，是否存在，力仁?當(dāng)句時(shí)

26、，/（X）的取值范圍是若存在，求實(shí)數(shù)。、b的值：若不存在，說(shuō)明理由L4 4導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納參考答案例解："=1時(shí)，放幻=-7,由g'（x） = 3/_l = 0,解得_ 3 ./（X）的變化情況如下表：01-0+0、極小值/0（=走（.2.所以當(dāng) 3時(shí)，有最小值耳3 - 9(2)證明：曲線'="X)在點(diǎn)尸2年-a)處的切線斜率k = fx) = 2x1 曲線y = /U)在點(diǎn)P處的切線方程為y-(2x-0)= 2陽(yáng)(A-A-1)x." + ax+a 4 一 Xa = x, _ jq =_ xA =a - X X > ci 2A')X

27、 aH V2 又 2 2M，令 y = 0,得-2M ,，-2a-i2 陽(yáng)<0,即、2<包2玉 2 2x, V 2 2»一“廠 +x + d , c、;(x>0)所以X >七例2/(X)= In x - ax + -l(x > 0), x令 /i(x) = ax2 - x +1 - a(x > 0)當(dāng) a = 0 時(shí)，/?(、) = 一x + l(x > 0),當(dāng) x e (0J),/?(x)> 0,/'(x) v 0 ,函數(shù)/(x)單調(diào)遞 減：當(dāng)xe(l,+oo),(x)<0/(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)

28、，由/"。)= 0,即ca2x + l-。= 0,解得內(nèi)=1,占=1一 1. a當(dāng)。=_L時(shí)玉=，(x)NO恒成立，此時(shí)/"(aOWO,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減：2當(dāng) 0<。<，時(shí)，一 1>1>O,X£(OJ)時(shí) (x)>0,/'(x)<。，函數(shù)/(X)單調(diào)遞減：2 a工£(1一1)時(shí)，力(x)<0J'(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增； axe(L 1,+s)時(shí)，/?(x)>0，r(x)v0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.a當(dāng) < 0時(shí),- 1 v 0 ,當(dāng)x e (0,1),力(幻>

29、 0 J'(x) < 0 ,函數(shù)/(外單調(diào)遞減； a當(dāng) X e (l,y),力(x) < 0 J'(x) > 0 ,函數(shù) /(x)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)aKO時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+s)單調(diào)遞增；當(dāng)。=；時(shí)內(nèi)=，力(工)之。恒成立，此時(shí)/'(X)<。，函數(shù)/(a)在(。,+s)單調(diào)遞減：乙當(dāng)0 < a < 1時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,1)遞減,(1,1 -1)遞增,(L 一 1,*0)遞減.2aa當(dāng)。=1時(shí)，/(幻在(0.1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對(duì)任意為£(0,2), 4有/(再)2/

30、(1) = 一；，又已知存在公£1，2,使/(斗)之且(公)，所以：Ng(4)，&el，2，()又 g(x) = (x-b)2+4-,xel,2當(dāng)心 1 時(shí)，g(X)min=g(D = 5-2>0與()矛盾；當(dāng)bel,2時(shí),g(x)min=g(D = 4_b2N0也與(JK)矛盾:117當(dāng)人>2 時(shí)，g(x)min = g(2) = 8-4/? < -J? > .1o17 綜上，實(shí)數(shù)8的取值范圍是不,+s).8例 3 解：(1)/(.¥)= 3ar2 +2bx-3 .根據(jù)題意，得fj-2'即卜+ "-3 = -2,解得小，=

31、1所以“刈=9_3兒 :(1) = 0,3a + 2-3 = 0,b = 0- 7(2)令/'(x) = 0,即3/-3 = 0.得工=±1.+增極大值減極小值增2因?yàn)?) = 2, 1) = 一2,所以當(dāng)xw2,2時(shí),/皿2,2.則對(duì)于區(qū)間-2,2上任意兩個(gè)自變量的值的,占，都有|/(x1)-/(x2)|<|/(x)_-/(x)mjn| = 4,所以c" .所以c 的最小值為4.因?yàn)辄c(diǎn)用(2,?)(用工2)不在曲線)，=/(工)上，所以可設(shè)切點(diǎn)為(,%,.%).則3Ao.因?yàn)?'(%) = 3宕一3,所以切線的斜率為3*-3.則 3x：,即 2,$

32、-6玉；+ 6 + / = 0.-v0-2因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M(2, ?)(/工2)可作曲線> =/(x)的三條切線, 所以方程2"-6%；+6 + ? = 0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.所以函數(shù)8() = 2136+6+加有三個(gè)不同的零點(diǎn).則 g'(x) = 6/T2x .令g'(x) =。, 則 x =?；騲 = 2.02+極大值:成極小值增則|g(0)>0，即J6+ >0，解得_6<z<2 h(2)<2-2 + m<0例4解：(1)/r(x)=3 _ 3( = _3(x+1)(3x-1)2 + 3x3x + 2令/'(x) = 0

33、得X = L或x = l (舍去)當(dāng)o < X v 1 時(shí)，/") > 0,/(a)單調(diào)遞增：當(dāng) 1 < x K 1 時(shí),/'") < 0,/(x)遞減./(!)= In 3 1為函數(shù)/(x)在0,1上的極大值. 36由 I a-lnx I +ln"'(x) + 3x > 0得 > Inx- In-或a < lnx + ln- 2 + 3x2 + 3x、八，/、 i 13. 2x + 3x2/、1133x設(shè) 力。)=In x - In= In， g(x) = In x + In= In.2 + 3x 32

34、+ 3x2 + 3x依題意知a > /心)或“< g(x)在x e上恒成立，6 3，,、2 + 3x 3(2 + 3x)-3x32 八.通=丁.(2+3j=而后>°,“、31 0,、2 + 6% dh (x)=,一(2 + 6x) = > 0，2x + 3x2 32x + 3x2：.g(x)與力。)都在!'上單增，要使不等式成立， 6 3當(dāng)且僅當(dāng)a > (')或a < g('),即a > Ini或a < In-.36353由/(4) = -2x + b = ln(2 + 3x)-x2 +2x-b = 0.23令(

35、p(x) = ln(2 + 3x)- -x2 + 2x - 則(px)=2一一2 二 土2 + 3x2 + 3x行Fj當(dāng) x e 0,_時(shí)«(X) 0,于是p(x)在0,上遞增：后萬(wàn)x e 一刀時(shí)，9(x) 0,于是9(x)在工-,1上遞減，/7行而。(彳)。(。)，9(、) 。，/(x) = -2x +“即叭x)=。在0恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于例5解：r-品x2+(2-a)x+lx(x + l)29= 令八幻0得人2或0x5，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0弓),(2,+00). 乙乙乙證明：當(dāng) =0時(shí)/(x) = lnxI12ini，又一/(司)_11】- 1呻_ X不妨設(shè)演，要比較

36、k與廣(曲)的大小，即比較與 _的大小, X + X22盧-1)又;巧 >王，即比較In也與2(工，牛)=_的大小.玉 Aj +X2 包+ 令/(a) = lnx-"< A -1 (a >1)，則人'(x) = -4 7 = (: ? , >0,X + 1X (x + 1)" x(x+y./?(X)在6+8)上位增函數(shù).2(-1)又上>1,.力(上)>/7(1) = 0, lni>,即2>r(x°) xX1再 入2十貝上)一()7.8()+小一卜(藥)+ 土()X2 -xx2 - x由題意得F*) = 8(x

37、) + x在區(qū)間(0,2上是減函數(shù).10 當(dāng)lWxK2,F(x) = lnx + - + x,，Ef(x) = - + 1x + 1k (A + lf由 P'(x) W 0 = 4 之(v - D +。+1)2 =/+3x + , + 3 在 xel,2 卜恒成立.XX設(shè)m(x)=r+3x + J_ + 3, xeh2,則M(x) = 2x-+ 3>0 XX"，心)在1,2上為增函數(shù)，：.a> M2)=,.2° 當(dāng)0<x<l.E") = - lnx + - + x,，F(xiàn)'(x) = - + 1 x + X (x+l).由 F

38、'(x)s0 = N-ililL +(x+i)2 =/+4一1一1 在xe(OJ)恒成立XX設(shè)“X)二+ X- J_一 1 , A.(0,1)為增函數(shù), >/(1)= 0 X77綜上：。的取值范圍為3.2例6解：(1) /*(x) = 2a1ii(6/a) + x, f"(x) = 2aln(ar) + x<x2,即2 In ax + 1 S x在k > 0上恒成立2設(shè) (x) = 21nax + l - K /(x) =二一 l=0,x = 2, k>2 時(shí)，單調(diào)減，x<2 單調(diào)增, ， x所以x = 2時(shí)，心)有最大值WO,21n2a + l

39、W2,所以。<三五.2f ( V)(2)當(dāng) a = l 時(shí)，g(x)= =xh】x, xg") = 1 + Inx = 0,x = L所以在(L+8)上8(x)是增函數(shù)，(0,)上是減函數(shù). eee因?yàn)?1<用< 1，所以g(M +刀2)= (» + as)n(x + x)> g(x) = x In%,e即 In 內(nèi) < 二 ln(x)+ 占)同理 In x-> < 二.n(x1 +x7).內(nèi)x2所以Ex】 +lnx7 <( " + " + " " )E(. + xI) = (2+ +

40、-)ln(x)+&) X2»_X2 X又因?yàn)? +上+ *2 4,當(dāng)且僅當(dāng)"勺=叼”時(shí)，取等號(hào).又看,工2 e(-J),X1 +/ <1, In(x)+x2)<0,JV X所以(2 +2+二)ln(X +)&4111(玉 +x2)所以ln» +lnx2 <4皿1+x2) X2 X所以:xx2 <(xt +x2)4.例 7 (I) /(0) = 0 = c = 0J'(x) = 3/ + 2av + A/'=0 =匕=-24-3 由/0) = 0 =入=1曲=”1,因?yàn)楫?dāng)x = l時(shí)取得極大值, 所以2士2 &

41、gt; 1 = < 一3 ,所以4的取值范圍是：(-8.-3)：3(II)由下表：+0一0-遞增極大值 一0-2遞減極小值遞增依題意得：上(2 + 3)2 =-白上上，解得：。=一9 279所以函數(shù)/(X)的解析式是：/(x) = x3-9x2 + 15x(III)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,夕都有一2 V 2sina « 2,-2 <2sin/7<2,在區(qū)間-2, 2有:/(-2) = -8-36-30 = -74,/(1) = 7,/(2) = 8-36 + 30 = 2函數(shù)/。)在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值的差等于81.所以 l/(2sinc) /(2sin /?)1

42、<81.例8解：(I )/(幻=。一，=竺二1,當(dāng)“W0時(shí)，廣(x) V0在(0,+oc)上恒成立，函數(shù)f(x) X X在(0,+oc)單調(diào)遞減，/(X)在(0,+8)上沒(méi)有極值點(diǎn)：當(dāng)4>0時(shí),/")vO 得 OvxJ,/'3)>0得工1, a “X)在(0,L)上遞減，在(L,+s)上遞增，即/(幻在x = i處有極小值.aaa，當(dāng)a W 0時(shí)/(x)在(0,+8)上沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)“>0時(shí)，力在(0,+8)上有一個(gè)極值點(diǎn).(1【):函數(shù)/(X)在 x = l 處取得極值，4 = 1, A f(x)>bx-2 + - - >b, X X令g

43、(x) = l + L-”二可得g(x)在(o,e上遞減，在卜,+8)上遞增， X，g(X)mm =放/)= 1一4，即人工 I-! 6一夕令 g(x)= i(川)證明："”>器子=3>舟而 ,則只要證明g(x)在(e-l,+oo)上單調(diào)遞增,ex ln(x + l) -.x + ln2(x + l)-顯然函數(shù)b(x) = ln(x +1) 在(e 1,+s)上單調(diào)遞增. x+h(x) > 1 - - > 0 HP g'(x) > 0，ee/ g(x)在(e - 1,+s)上單調(diào)遞增,即>ln(x+ 1) ln(y+ 1)，當(dāng) x>y

44、>e l 時(shí)，有"7In(x + 1) > ln(y + l)例9解：(I) 0飛X)=1,./<1) = 1；.直線/的斜率為1, x且與函數(shù)/(X)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0),直線/的方程為丁 =%一1.y = x - 1又直線/與函數(shù)丁 = g(x)的圖象相切，方程組41 ,7有一解.y =一廠+ mx + C 22由上述方程消去y,并整理得x2 + 2(? l)x + 9 = 0依題意，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，. = 2(l1)24x9 = 0解之，得m=4或m=-2, Qm < 0,二 m = -2. ,7(II)由(I)可知g(x) = 5，d

45、2x + s，Yg x) = x _ 2,h(x) = ln(x +1) _ x + 2(x > _ 1) /. h x) =1 =.'x+x+：.當(dāng)x e (T, 0)時(shí)，h' (x) >0, h(x)單調(diào),當(dāng) x w (。,+°°)時(shí),hx) < OJi(x)單減。.當(dāng)x=0時(shí)， (x)取最大值,其最大值為2。(111) f (a + 力)- f Qa) = n(a + Z?)-In2a = In " " = ln(l + -).2a2ah ci a證明，當(dāng)X£(T,O)時(shí)，ln(l + x)<x,/

46、. ln(l +)<.2ala例10解：(1)函數(shù)的定義域是(0,衿).由己知/")=匕”.令人幻=0,得1=八T因?yàn)楫?dāng) Ovxve 時(shí)，fx) > 0 ；當(dāng) 時(shí)，/(a) < 0 .所以函數(shù)/(X)在(0,可上單調(diào)遞增，在但母)上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知當(dāng)2"Qe,即“時(shí)，在九2網(wǎng)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)?“時(shí)，f(x)在也2/川上單調(diào)遞減,所以/")3=皿7.當(dāng)?vev加，即 me 2In/r?.、1, m>e m:機(jī) <e時(shí)，/(x)g =/(e) = Ll 綜上所述，di=, 2e(3 )由(1 )知當(dāng)xg(0.+oo)時(shí)f(x

47、)g=/() = 1-1.所以在xe(O,-wo)時(shí)恒有 ex) = -1ST,即把當(dāng)且僅當(dāng)x = ?時(shí)等號(hào)成立.因此對(duì)任意xe(O,y) x e x e恒有IXL因?yàn)?>。，*，所以n巴.巴，即®匕與巴.因 ennn e nn n此對(duì)任意 eNZ不等式皿*),<以. n n例11解：(1 )當(dāng)xe(1,0)時(shí)，f(x) > 0 ,函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,0)上單調(diào)遞增：當(dāng)xe(0,y)時(shí)，fx) <0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(。，)上單調(diào)遞減.，函數(shù)/3)在x = 0處取得極大值，故? = 7.(2 )令 h(x) = fM-g (x) = f(x)-二3 (x

48、 再)一 /(再)， 石一當(dāng)則 1(x) = r(x)_/(5/(£).函數(shù) / 在 xe(x，x)上可導(dǎo)，存在MF-王)e (司,占)，使得 ffM ="、)二"七)不一當(dāng)./'*)=/幻=/'(X)-/'(X。)=U一: = ： ,充' " X+1X +1 x0 +1 (x + l)(x0 + 1)二,當(dāng)xeac)時(shí)，hx) > 0 ,力(x)單調(diào)遞增，,*)>/?(占)=0：.,當(dāng):(/，天)時(shí),hr(x) <0, Zi(x)單調(diào)遞減，.,.力(%)>力(巧)=0：故對(duì)任意xe(x1,X2)，

49、都有/(x)>g(x).(3 )用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)” =2時(shí)，-4+4 = 1,且4>o, 4>o,4$ w 區(qū),占)，二由(H)得 /*) > g(x),即/(4% + 4x,)> "')"士)(4% + 4占一玉)+/(內(nèi))=4/(%)+4/(占)，-王一 W-一-，當(dāng) =2時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n = k(k>2)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)4+4+4=1時(shí)， /(4內(nèi)+ 4占+"/)> Af(X) + 4/(七)+ %f(*k ) ,當(dāng)九=女+ 1時(shí)，設(shè)正 數(shù) 4,4,，4+i 滿 足 4+小 +4+1 = 1 ， 令

50、 ？ = 4+4+4 ，M =，2 = &，£ =,，則' + 4+l = 1 'L“ + 2 + + /4 = L.當(dāng) =1 + 1時(shí),結(jié)論也成立.綜上由(§),對(duì)任意“22, ”eN,結(jié)論恒成立.例 12 解：當(dāng)。=一2 時(shí)，/(x) = x /'(x)=二匚 + ln(x + l)當(dāng)x > 0時(shí)，/(x) < 0 單調(diào)遞減。廠x + 1當(dāng) xt(1,0),令111XSW = - + ln(x +1)g'(x) = " -_+ - =. 、< ox + 1(x + 1” x + 1 (x + 1)-21

51、nx,當(dāng) xw(l,+oc), /y)=2(r 1) >0 ,故函數(shù)/(X)在(L+8)上是增函數(shù).(x)=2i +“(x>0),當(dāng)xeHM, 2x2 +aea + 2,a + 2e2. x若之2 /(x)在口上非負(fù)(僅當(dāng)” =-2, x=l時(shí),/V) = 0),故函數(shù)/(x)在U，e上是增函數(shù)，此時(shí)/(Mmin =/«)= L若一2><“<一2,當(dāng)尤=，/時(shí),/'(%) = 0：當(dāng)時(shí)，/“(幻<0,此時(shí)/(幻是減函數(shù)：當(dāng)J于時(shí)，/'(%)> 0,此時(shí)/是增函數(shù).若“W-2J,八外在U，e上非正(僅當(dāng) = _2e2, x=e時(shí)

52、,<(x) = 0),故函數(shù)/3) 在乩可上是減函數(shù)，此時(shí)/*)而n =/(e)=" +J.不等式/W (" + 2)x,可化為a(x - In x) >x2 - lx.丁 xehe, A Inx < 1 < x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以Inx< x ,即x - Inx> 0 ,因而心f (xe10)x-nx人 r2 -2x】，/、 (x-l)(x + 2-21nx)令K(x)= r1一±1 (xel,ej),又一(外二一,，x-lnxdnx)-當(dāng)xel,e時(shí)，x-l>0Jnx<l t x + 2-21nx>0,從

53、而8(x)N0 (僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào))，所以g(x)在1,(上為增函數(shù),故g&)的最小值為8=-1,所以“的取值范圍是-1,+8).g(x) =+ ln(x + Dx+1g'(x) =I 1 X-T + = T(x+ir x+i (x+i)2<0例 13 解：(1)定義域(一1,0) = (0,+8)故g(x)在(T, 0)上是減函數(shù)，即g(x)>g(O) = l>。，故此時(shí)/'(x) =-一+也(工+ 1)在(- 1, 0)和(0, +OO)上都是減函數(shù) 廠X+1(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)> 恒成立，令x = l有k<2l + ln

54、2x + 1又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下而證明當(dāng)k=3時(shí)，*>0)恒成立x + 1當(dāng)x>0時(shí)(x + 1)In(x + l) + l-2x > 0恒成立令 g*) = (x + l)ln(x + l) + l-2x 則 g，(x) = ln(x + 1)-1,當(dāng)xe-1 時(shí)g，(x) = n(x + l) - 1,當(dāng)e-l時(shí),gr(x) > 0 當(dāng)0cxe e-l時(shí)，g'(x) < 0*當(dāng) x = e -附，g(x)取得最小值 g(e -1) = 3 - e >。當(dāng)工>0時(shí)，(x + 1) ln(x +1) +1 - 2x > 0恒

55、成立，因此正整數(shù)k的最大值為3 例 14 解：(I )F(x)= eK+sinx ax. F x) = ex + cos x-a.因?yàn)閼?是F(x)的極值點(diǎn)，所以尸(0) = 1 +1 -。= 0,a = 2.又當(dāng) a=2 時(shí)，若 x<0, Fx) = ex + cos x - a < 0 ；若 x>0, F x) = ex + cos x - a >0.：.x=0是F(x)的極小值點(diǎn)，.a=2符合題意.(II)且 PQ X2 = eXx + sinx1 x2 -= eX + sinxA -x1 令(x) = ex + sin x - x,h '(x) = ex

56、 + cos x -1 > 0 當(dāng) a>0 時(shí)恒成立.Axe0,+oo)時(shí),(x)的最小值為 A(0)=L，IPQ加產(chǎn)L (HI)令夕(x) = F(x)- F(-x) = ex -eTx + 2sin x - 20r.則(px) = ex +6一, + 2cosx-2a S(x) =(px) = ex -e"x -2sinx.因?yàn)镾 '(X)= ex +_ 2 cos x之0當(dāng)a>0時(shí)恒成立，所以函數(shù)S(x)在0,+s)上單調(diào)遞增，.S(x)NS(O)=O 當(dāng) x£0,+oo)時(shí)恒成立；因此函數(shù)?'()在也+s)上單調(diào)遞增，0'(

57、x) >。(0) = 4-2當(dāng)a 0,+oo)時(shí)恒成立.當(dāng)壯2時(shí),夕(幻> 0.(p(x)在0,+8)單調(diào)遞增，即(px >奴0) = 0.故a<2時(shí)Rx)汁(一；v)恒成立.例15 解：(I ) (l)g(x) = a(x-lf+1+Z?-。當(dāng)。>0時(shí),g(x)在2, 3上為增函數(shù)g=219 一 6a + 2 + = 5a = 1g(2) = 514"-4 + 2 + /? = 2b = 0當(dāng)"耐,g(x)在2, 3上為減函數(shù)m g(3) = 29a 6a + 2 + b = 2a = -1楨g =2 = 4a4a + 2 + b = 5=

58、b = 3 b v 1 ：. a = 1 b = 0 即 g(x) = x2 2x + l. f(x) = x + -2. X(H)方程/(2*)粗2*20化為21 +二一22211 +(/)2-2衣之左，令呆f，k<r-2t + lx e -1,1 .，e g,2i己例。=r _2/ +1，(Omin =0：.k<0(HD 方程/(I2*ll) +攵(百二一3) = °化為 12-11+谷j-(2 + 3幻=° 12 1 I12 1112-H2 -(2 + 31)12*-11+(1 +24) = 0, 12、一1X0令12* -11= f,則方程化為產(chǎn) ,(2 + 令)f + (1 + 22) = 0 (t