理論力學(xué)空間簡(jiǎn)單力系

1、Mechanics of Theory 理論力學(xué)理論力學(xué)第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 2- -1 力的投影力的投影合力投影定理合力投影定理 2- -2 空間匯交力系合成與平衡條件空間匯交力系合成與平衡條件 2- -3 力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩 2- -4 力偶和力偶矩（矢量）力偶和力偶矩（矢量） 2- -5 空間力偶系合成與平衡條件空間力偶系合成與平衡條件 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系作用線不在同一

2、平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。是最一般的力系。 空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 空間匯交力系與空間力偶系習(xí)慣上稱為空間簡(jiǎn)單力系，空間匯交力系與空間力偶系習(xí)慣上稱為空間簡(jiǎn)單力系，它們是研究復(fù)雜力系的基礎(chǔ)，它們是研究復(fù)雜力系的基礎(chǔ)，空間任意力系空間任意力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系一、力的投影一、力的投影 2-1 力的投影力的投影 合力投影定理合力投影定理1.1.一次投影法一次投影法 co

3、scoscosxyzFFFFFF（2-1）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系sinxyF = F2. 二次投影法二次投影法FzFxFyzxFyFxy (2-2)sincossinsincosxyzFFFFFF(2-3) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 如果力如果力F在在x，y，z三軸上的投影三軸上的投影Fx，F(xiàn)y和和Fz為已知，為已知，則可求得力則可求得力F的大小和方向余弦為的大小和方向余弦為 222cos, cos, cosxyzyxzFFFFFFFFFF(2-4)理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力

4、學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 力在坐標(biāo)軸上的投影為代數(shù)量與力的分量為矢量是兩力在坐標(biāo)軸上的投影為代數(shù)量與力的分量為矢量是兩個(gè)不同的概念。個(gè)不同的概念。cossinxyFFFF22cos cos = xyxyFFFFFFF當(dāng)力當(dāng)力F的作用線位于的作用線位于xy平面內(nèi)時(shí)，平面內(nèi)時(shí)，F(xiàn)z=0，此時(shí)空間力投影成為平面，此時(shí)空間力投影成為平面中力的投影：中力的投影：理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。即的代數(shù)和。即二、二、 合力投影定理合力投影定理R

5、12R12Rz12xxxnxixyyynyiyzznzizFFFFFFFFFFFFFFF (2-5) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系證明：證明：123,xxxRxFab Fbc Fcd Fad因因 , 故故 cdbcabad123xxxRxFFFF同理可得同理可得123yyyRyFFFFyoxbdCABDcaFRF3F1F2oF2F3F1理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 解：解：sin , coszxyFFFF coscoscossincos sinxxyyxyFFFFFF 例例2-1 圖示的圓柱斜齒

6、輪，其上受嚙合力圖示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力F的作用。已知的作用。已知斜齒輪的齒傾角（螺旋角）和壓力角，試求力斜齒輪的齒傾角（螺旋角）和壓力角，試求力F在在x、y、z軸上的投影。軸上的投影。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系一、空間匯交力系合成與平衡的幾何法（矢量法）一、空間匯交力系合成與平衡的幾何法（矢量法）2-2 空間匯交力系合成與平衡條件空間匯交力系合成與平衡條件 1.平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的

7、表達(dá)式：合力的表達(dá)式：AF2F1F4F3理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 各力矢首尾相接，形成一個(gè)開口的多邊形，稱為力多邊各力矢首尾相接，形成一個(gè)開口的多邊形，稱為力多邊形。由開口的力多邊形始點(diǎn)指向終點(diǎn)的封閉邊為合力。合力形。由開口的力多邊形始點(diǎn)指向終點(diǎn)的封閉邊為合力。合力的作用點(diǎn)仍在力系的公共作用點(diǎn)上。的作用點(diǎn)仍在力系的公共作用點(diǎn)上。力的多邊形法則力的多邊形法則eaF2F1F4F3FRbcdeaF2F1F4F3FRbcd改變力多邊形中的各力順序改變力多邊形中的各力順序，合力的大小和方向、作用，合力的大小和方向、作用點(diǎn)不變。點(diǎn)不變。理理 論論 力力

8、 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2. 2. 空間匯交力系合成的幾何法空間匯交力系合成的幾何法與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。求合力。niin121RFFFFF即：合力等于各分力的矢量和。即：合力等于各分力的矢量和。幾何法對(duì)空間力系不方便，一般不用。幾何法對(duì)空間力系不方便，一般不用。（2-7）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力FR等等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量

9、式表達(dá)為于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表達(dá)為R0iFF (2-8) 3. 空間匯交力系平衡的幾何條件空間匯交力系平衡的幾何條件平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-2 門式剛架如下圖所示，在門式剛架如下圖所示，在B點(diǎn)受一水平力點(diǎn)受一水平力F=20 kN，不計(jì)剛架自重，求支座，不計(jì)剛架自重，求支座A、D的約束力。的約束力。FBADC8m4mFBADCFDFAcabFAFDFFD=bc=10 kNFA=ca=22.5 kN，=26.5理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河

10、南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系代入式（代入式（2-7）后得）后得(1,2, )ixiyiziFFFinFijk (2-9) RixyzFFFFFijk(2-10) 合力合力FR在坐標(biāo)軸上的投影為在坐標(biāo)軸上的投影為,RxxRyyRzzFF FF FF(2-11) 合力合力FR可用解析式表達(dá)為可用解析式表達(dá)為 二、匯交力系合成與平衡的解析法二、匯交力系合成與平衡的解析法 niin121RFFFFF理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系合力的大小及方向余弦為合力的大小及方向余弦為222222RRRRRRR()()()cos, cos,

11、cosxyzxyzyyxzxzFFFFFFFFFFFFFFFFFFF(2-12) 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零，即力等于零，即0RFF (2-13) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 由（由（2-12）式可得平衡方程為）式可得平衡方程為000 xyzFFF(2-14) （1）對(duì)于平面匯交力系，則第三個(gè)方程恒等，獨(dú)立的平衡）對(duì)于平面匯交力系，則第三個(gè)方程恒等，獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)。方程只有兩個(gè)。（2）投影軸是可以任意選取的，只要這三個(gè)軸不共面以及）投影軸是可以任意選取的，只要這

12、三個(gè)軸不共面以及它們中的任何兩個(gè)軸不互相平行。它們中的任何兩個(gè)軸不互相平行。00 xyFF理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系N3 .12945cos45cos60cos30cos4321RFFFFFFixxN3 .11245sin45sin60sin30sin4321RFFFFFFiyyN3 .1712R2RRyxFFF7548. 0cosRRxFF6556. 0cosRRyFF01.49,99.40解：解：例例2-3 平面共點(diǎn)力系平面共點(diǎn)力系,已知已知 , ， ， ，求：此力系的合力。，求：此力系的合力。N2001FN3002FN1003FN250

13、4F理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1. 選分離體，分離體選取最好含題設(shè)的已知條件。選分離體，分離體選取最好含題設(shè)的已知條件。2. 畫受力圖。畫受力圖。3. 列平衡方程求解列平衡方程求解。重點(diǎn)掌握匯交力系合成及平衡條件應(yīng)用的重點(diǎn)掌握匯交力系合成及平衡條件應(yīng)用的解析法解析法。歸歸 納納理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2.4 圖示重物重為圖示重物重為Q=30kN，由繩索，由繩索AB、AC懸掛，懸掛，求求AB、AC的約束反力。的約束

14、反力。解解:1）取研究對(duì)象）取研究對(duì)象力系的匯力系的匯交點(diǎn)交點(diǎn)A；AQFC 3）建立坐標(biāo)系；）建立坐標(biāo)系；yx4）列出對(duì)應(yīng)的平衡方程：）列出對(duì)應(yīng)的平衡方程：FB 600CBAQ30000sin60sin300BCFF5）聯(lián)立求解：）聯(lián)立求解：2）畫受力圖；）畫受力圖；00cos60cos30 -0BCFFQ0,xF 0,yF B=15kN, 26kNCFF 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2.5 水平力水平力F作用在門式剛架的作用在門式剛架的B點(diǎn)，如圖點(diǎn)，如圖2.12a所示，所示，剛架的自重忽略不計(jì)。試求剛架的自重忽略不計(jì)。試求A、D兩處的約束

15、力。兩處的約束力。 解解:1）選取剛架為研究對(duì)象）選取剛架為研究對(duì)象 ；2）畫受力圖；）畫受力圖；FAFADCByxFD5aFADCBa2a理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系3）建立坐標(biāo)系，列平衡方程：）建立坐標(biāo)系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：）聯(lián)立求解：0, cos0 xAFFF0, sin0yADFFF2cos5aasin5aa5 ,2AFF 2DFF F FA A為負(fù)值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際指向相反，為負(fù)值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際指向相反，F(xiàn) FD D為正值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際指向相同。為正值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際

16、指向相同。FAFADCByxFD5a理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2.6 支架的橫梁支架的橫梁AB與支桿與支桿BC在在B點(diǎn)用鉸鏈連接，梁的點(diǎn)用鉸鏈連接，梁的A端以及支桿的端以及支桿的C點(diǎn)以鉸鏈固定在鉛垂墻上。已知力點(diǎn)以鉸鏈固定在鉛垂墻上。已知力F作用作用在梁中間，即在梁中間，即ADDB，且，且F15kN，支桿，支桿BC與水平橫與水平橫梁成梁成30o角。設(shè)橫梁和支桿的重量忽略不計(jì)，試求鉸鏈角。設(shè)橫梁和支桿的重量忽略不計(jì)，試求鉸鏈A的的約束力及支桿約束力及支桿BC所受的力。所受的力。 解解:1） 取橫梁取橫梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖；為研究對(duì)象，

17、畫受力圖；CBA DF30 xEBFAFBA D30y30F理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2）列平衡方程，建立）列平衡方程，建立Axy坐標(biāo)系；坐標(biāo)系； 3）聯(lián)立求解。）聯(lián)立求解。xEBFAFBA D30y30F0, cos30cos300 xABFFF0, sin30sin300yABFFFF 15 kNABFFF理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系F60ABCDaaFyxCF60ABCAF45例例2.7 邊長為邊長為a的直角彎桿的直角彎桿ABC的的A端與固定鉸鏈支座聯(lián)結(jié)，端與固定鉸鏈支座聯(lián)結(jié)，C端與桿端

18、與桿CD用銷釘聯(lián)結(jié)，而桿用銷釘聯(lián)結(jié)，而桿CD與水平線的夾角為與水平線的夾角為60o，略去各桿的重量。沿略去各桿的重量。沿BC方向作用已知力方向作用已知力F=60N。試求。試求A，C兩點(diǎn)的約束力。兩點(diǎn)的約束力。解解:1） 取取ABC為研究對(duì)象，受力圖如圖。為研究對(duì)象，受力圖如圖。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系FyxCF60ABCAF452） 列平衡方程；列平衡方程；3）聯(lián)立求解。）聯(lián)立求解。A=-53.79 N, 43.92NCFF yxFCF75ABCAF45 正值表示受力圖中所假設(shè)的指向正值表示受力圖中所假設(shè)的指向與真實(shí)的方向一致與真實(shí)的方向一

19、致; 負(fù)值表示受力圖中所假設(shè)的指向與負(fù)值表示受力圖中所假設(shè)的指向與真實(shí)的方向相反。真實(shí)的方向相反。0,xF sin 45cos600ACFFFsin 60cos 450CAFF0,yF 注意：坐標(biāo)軸（投影軸）可以任意選取，與合成結(jié)果無注意：坐標(biāo)軸（投影軸）可以任意選取，與合成結(jié)果無關(guān)，最好取成與各分力夾成已知角度，以便于投影計(jì)算。關(guān)，最好取成與各分力夾成已知角度，以便于投影計(jì)算。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系060 cos30 cos, 0030 cos60 cos, 02121FFFFFFFFBCyABx解方程得桿AB和BC所受的力:kN 32

20、.27366.1kN 321.7366.0PFPFBCBA解：解： 由滑輪B的平衡。顯然，F(xiàn)1=F2=P例題例題 2-8 如圖，如圖，P=20 kN,求求AB、BC兩桿受力。兩桿受力。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系答案：理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2.9 桿桿AO

21、，BO，CO用光滑鉸鏈連接在用光滑鉸鏈連接在O處，并在處，并在O處掛有重物處掛有重物F。如圖。如圖2.15a所示。各桿的自重不計(jì)，且所示。各桿的自重不計(jì)，且45o，OB=OC，試求平衡時(shí)各桿所受的力。，試求平衡時(shí)各桿所受的力。 解解:1） 取鉸鏈取鉸鏈 O為研究對(duì)象，受力圖如圖。為研究對(duì)象，受力圖如圖。OyzxFCFBFAW理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2）列平衡方程，建立坐標(biāo)系；）列平衡方程，建立坐標(biāo)系； 3）聯(lián)立求解。）聯(lián)立求解。0, sinsin0 xBCFFF0, sincoscos0yABCFFFF0, cos0zATFFF 2cosc

22、os45TAFFFF 2 2BCFFF FA為負(fù)值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際指向相反，為負(fù)值，說明圖中所假設(shè)的指向與其實(shí)際指向相反，即即AO桿受壓。桿受壓。OyzxFCFBFAW理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-10 如圖所示。起重機(jī)吊起重物如圖所示。起重機(jī)吊起重物, 連線連線CD平行于平行于x軸。已軸。已知知CE=EB=DE,角角=30o ，CDB平面與水平面間的夾角平面與水平面間的夾角EBF= 30o ,重物重物G=10 kN。不計(jì)起重桿的重量。不計(jì)起重桿的重量,試求起重桿試求起重桿所受的力和繩子的拉力。所受的力和繩子的拉力。理理 論

23、論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系解解: 取桿取桿AB與重物為研究對(duì)象，受力分析如圖。與重物為研究對(duì)象，受力分析如圖。GF1F2F3045 sin45 sin, 021FFFx31 20,sin 30cos 45 cos 30cos 45 cos 300yFFFF1230,cos 45 sin 30cos 45 sin 30cos 300zFFFFG解出解出1233.54 kN8.66 kNFFF理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2-3 力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩用扳手?jǐn)Q螺母用扳手?jǐn)Q螺母一、力對(duì)點(diǎn)

24、之矩一、力對(duì)點(diǎn)之矩力力F 使物體繞使物體繞 o 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用乘積點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用乘積 Fd 來度量。稱來度量。稱為力為力F 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)o 之之矩，簡(jiǎn)稱力矩，矩，簡(jiǎn)稱力矩，用用 表示。表示。)(FMoOAFBd1. 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系力矩的正負(fù)號(hào)：力矩的正負(fù)號(hào)：逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。FdFMo)( o點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為矩心矩心；o點(diǎn)到力線的垂直距離點(diǎn)到力線的垂直距離 d , ,稱為稱為力臂力臂。 也可表示為也可表示為 MO(F) =2AOBOAFBd應(yīng)注意應(yīng)注意：平面平面力對(duì)

25、點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小及其旋轉(zhuǎn)方力對(duì)點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小及其旋轉(zhuǎn)方向（力矩的正負(fù)），因此它是一個(gè)代數(shù)量。向（力矩的正負(fù)），因此它是一個(gè)代數(shù)量。力矩的單位：力矩的單位：國際單位制國際單位制 ， N mkN m理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 在平面中：力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量。在平面中：力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量。 在空間中：力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。在空間中：力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。 2. 空間力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示空間力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示( )2OmFF hAOB 面積如果如果r 表示表示A點(diǎn)的矢徑，則：點(diǎn)的矢徑，則：( )OMFrF（2-15）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河

26、南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系即：即：力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。21 兩矢量夾角為兩矢量夾角為OsinrFrFFhxyzFF iF jF krxiyjzk3. 力對(duì)點(diǎn)之矩矢的解析表示式力對(duì)點(diǎn)之矩矢的解析表示式理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系xyxijkxyzFFF()()()xyxzyxyFzF izFxF jxFyF k( )() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk 則則: :( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF (

27、 )oyzzMFxFyF 力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O的矩的矩 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為: :()OMF（2-16）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零。的矩為零。( )()zoxyxyM FM FF h 力對(duì)軸之矩等于力對(duì)軸之矩等于垂直于該軸平面上的垂直于該軸平面上的投影對(duì)軸于平面交點(diǎn)投影對(duì)軸于平面交點(diǎn)之矩。之矩。二、力對(duì)軸的矩二、力對(duì)軸的矩（2-18）理

28、理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系 空間匯交力系的合力對(duì)某一軸之矩等于各個(gè)分力對(duì)同空間匯交力系的合力對(duì)某一軸之矩等于各個(gè)分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。一軸之矩的代數(shù)和。 FR=F1+F2+Fn 以以r對(duì)上式兩端做矢積，有對(duì)上式兩端做矢積，有 rFR= rF1+ rF2+ rFn 于是有：于是有： MO(FR)= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) 把左右兩邊都對(duì)把左右兩邊都對(duì)z軸做投影，可得：軸做投影，可得：R12()()()()()zzzznziMMMMMFFFFF (2-19) 三、力合力矩定理三、力合力矩定理證明：證明：理理 論論 力力 學(xué)

29、學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系已知：力已知：力 在三根軸上的分力在三根軸上的分力 ， ， ，力作用點(diǎn)的坐標(biāo)，力作用點(diǎn)的坐標(biāo) x, y, z。xFyFzFF求：力求：力 對(duì)對(duì) x, y, z軸之矩軸之矩F四、力對(duì)坐標(biāo)軸之矩的解析式四、力對(duì)坐標(biāo)軸之矩的解析式( )()()()zzxzyzzMFMFMFMFyxxFyF同理可得同理可得Mx、My，合寫為，合寫為()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyFFFF (2-20) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )ox

30、yyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 比較（比較（2-16）式和（）式和（2-20）式）式,定理：定理：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該力對(duì)點(diǎn)的矩矢在過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。軸的矩。五、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系五、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系 可得：可得：()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyFFFF( )()()()OxyxzyxMFyFzF izFxFjxFyF k（2-22）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系)()(cos,)()(cos,)()(co

31、sFmFmFmFmFmFmOzOyOx222)()()()(FmFmFmFmzyxOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于又由于所以力對(duì)點(diǎn)所以力對(duì)點(diǎn)O的矩為：的矩為：（2-23）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-11 水平圓盤的半徑為，外緣水平圓盤的半徑為，外緣C處作用有已知力，如處作用有已知力，如圖所示。力位于鉛垂平面內(nèi)，且與圖所示。力位于鉛垂平面內(nèi)，且與C處圓盤切線夾角為，處圓盤切線夾角為，其它尺寸如圖所示。求力對(duì)其它尺寸如圖所示。求力對(duì)x，y，z軸之矩。軸之矩。力力F在在x，y

32、，z軸上的投影為軸上的投影為 解：解：oo3cos60 cos304xFFFoo1cos60 sin304yFFF o3sin 602zFFF 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系力作用點(diǎn)力作用點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為12xr32yrzh代入式（代入式（2-20）得）得()(3 )4xzyFMyFzFhrF3()()4yxzMzFxFF rhF1()2zyxMxFyFFr F理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-12 手柄手柄ABCE在平面在平面Axy內(nèi)內(nèi),在在D處作用一個(gè)力處作用一個(gè)力F，如圖如圖所示，它在

33、垂直于所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為 。如果如果CD=b，桿桿BC平行于平行于x軸軸,桿桿CE平行于平行于y軸，軸，AB和和BC的的長度都等于長度都等于l。試求力試求力F 對(duì)對(duì)x，y和和z三軸的矩。三軸的矩。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系解解: 應(yīng)用合力矩定理求解。應(yīng)用合力矩定理求解。 Fcoscos Fcoscos Fsinsin xyzMFABCDF lbMFBCFlMFABCDF lb 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系一、力偶和力偶矩一、力偶和力偶

34、矩例如：例如：（1）方向盤；）方向盤；（2）絲錐；）絲錐；（3）水龍頭。）水龍頭。力偶作用面力偶作用面力偶臂力偶臂dFF1. 1. 力偶的概念力偶的概念把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力叫做力偶。并記作（叫做力偶。并記作（ ， ）。）?？捎脠D表示：可用圖表示：FF2-4 力偶和力偶矩（矢量）力偶和力偶矩（矢量）理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系無法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一。無法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一。度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為單位為Nm或或kNm。 力偶系：力偶系：作用于剛體上的

35、一作用于剛體上的一群力偶。群力偶。 力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力偶力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，平面力偶是代數(shù)量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。矩的大小和轉(zhuǎn)向，平面力偶是代數(shù)量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?. 力偶矩力偶矩(,) 2BAKM F FFd FFdDABK理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系二、力偶矩矢的概念二、力偶矩矢的概念力偶的作用效果取決于三個(gè)要素：力偶的作用效果取決于三個(gè)要素： 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用平面。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用平面。 可用可用力偶矩矢力偶矩矢來表示三個(gè)要素。來

36、表示三個(gè)要素。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系力偶矩矢可用矢量積表示力偶矩矢可用矢量積表示()ABABABBAMrFrFrFrFrrFrFO在力偶作用面內(nèi)任取一點(diǎn)在力偶作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O，則力偶對(duì)則力偶對(duì)O點(diǎn)之矩為點(diǎn)之矩為 表明力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力偶矩自身。表明力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力偶矩自身。xyzMMMMijk (2-25) 在直角坐標(biāo)系中，力偶矩矢的解析表示式為在直角坐標(biāo)系中，力偶矩矢的解析表示式為理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系三、力偶等效及性質(zhì)三、力偶等效及性質(zhì) 兩個(gè)力偶的等效

37、條件是它們的兩個(gè)力偶的等效條件是它們的力偶矩矢力偶矩矢相等。相等。（兩個(gè)力偶矩矢相等的力偶等效。）（兩個(gè)力偶矩矢相等的力偶等效。）1. 1. 力偶的等效條件力偶的等效條件理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2. 2. 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì) 性質(zhì)一性質(zhì)一 力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無合力），力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無合力），本身又不平衡，也不能與一個(gè)力平衡（力偶只能由力偶本身又不平衡，也不能與一個(gè)力平衡（力偶只能由力偶來平衡）。是一個(gè)基本的力學(xué)量。來平衡）。是一個(gè)基本的力學(xué)量。 性質(zhì)二性質(zhì)二 力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，或移到另一力偶可在其作用面內(nèi)

38、任意轉(zhuǎn)移，或移到另一平行平面，而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)（自由矢量）。平行平面，而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)（自由矢量）。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系性質(zhì)三性質(zhì)三 保持力偶轉(zhuǎn)向和力偶矩的大?。戳εc力偶臂保持力偶轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小（即力與力偶臂的乘積）不變，力偶中的力和力偶臂的大小可以改變，的乘積）不變，力偶中的力和力偶臂的大小可以改變，而不會(huì)改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)。而不會(huì)改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)。力偶的表示方法力偶的表示方法理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系四、空間力偶理論四、空間力偶理論 平面力偶作用效果取決

39、于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，平面力偶作用效果取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，可用代數(shù)量表示，空間力偶作用效果取決于力偶矩的可用代數(shù)量表示，空間力偶作用效果取決于力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向和作用面的方位，需用矢量表示。大小、轉(zhuǎn)向和作用面的方位，需用矢量表示。 平面力偶是代數(shù)量，空間力偶是矢量平面力偶是代數(shù)量，空間力偶是矢量理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系( ,)()oABMF FrrFM BAMrF力偶矩力偶矩FF因因力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。( ,)()()oooMF FMFMF ABrFr

40、F理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成平面力偶系平面力偶系：作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶的總稱。作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶的總稱。=111dFM222MF d 1F2F1F2F1d2dd2PF1PF1PF2PFdRFRF,21212211PPPPPPFFFFFFdFMdFM2-5 力偶系的合成與平衡條件力偶系的合成與平衡條件理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系任意個(gè)平面力偶的合成，有任意個(gè)平面力偶的合成，有 , 或 nMMMM21MM這樣得到新的力偶這樣得到新的

41、力偶( ( , ), , ), 則則RFRF121212()PPPPMFdFFdF dF dMM 1M2M3M平面力偶的合成，是一個(gè)力平面力偶的合成，是一個(gè)力偶，合力偶矩等于各分力偶偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系二、平面力偶系的平衡條件二、平面力偶系的平衡條件 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。 0M理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河

42、南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-13 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為每個(gè)鉆頭的力偶矩為 求工件求工件A 、B端的水平反力。端的水平反力。 123415 N mmmmm12340.20BFmmmm60300 N0.2BF300 NABFF 0m解：由工件平衡解：由工件平衡FAFB理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-14 梁梁AB上作用一力偶上作用一力偶, ,其力偶矩大為其力偶矩大為 , ,轉(zhuǎn)向如圖，梁長轉(zhuǎn)向如圖，梁長l=5 m

43、, ,不計(jì)自重。求支座不計(jì)自重。求支座A A、B 的約束力。的約束力。 100 N mM Ml解解:由梁的平衡由梁的平衡解出解出ABFBFAM0 0MlFMA20 NABMFFl理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系例例2-15 橫梁橫梁AB受受力偶力偶M的作用，不計(jì)梁和支桿的自重，求的作用，不計(jì)梁和支桿的自重，求A和和B端的約束力。端的約束力。ABDM45l解：解：由由AB 梁的平衡梁的平衡lMlMFFBA245 cos解得解得 cos450AMFl0,M ABMFBFA45理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系

44、OBDA1M2M例例 2-16 圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿在桿OA 和和BD 上上分別作用著矩為分別作用著矩為 和和 的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。于平衡。 已知已知OA = r，DB = 2r，= 30，不計(jì)桿重，試求，不計(jì)桿重，試求 和和 間的關(guān)系。間的關(guān)系。1M2M1M2MOAABF1MOFDBBAF2MDF解：解：1）畫受力圖，桿）畫受力圖，桿AB為二力桿。為二力桿。理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2）分別寫出桿）分別寫出桿AO 和和BD 的平衡方程：的平衡方程：1cos0ABM

45、Fr22cos0BAMF r0,M 212ABBAFFMMOAABF1MOFDBBAF2MDF理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系1M2M2MAF1OF1MAFCF例例2-17 圖示機(jī)構(gòu)處于平衡。圖示機(jī)構(gòu)處于平衡。已知，已知，OA=a, 30 , M1,不計(jì)不計(jì)桿重，求桿重，求M2。解：畫出曲柄和擺桿的受力圖解：畫出曲柄和擺桿的受力圖0,M 曲柄平衡曲柄平衡0,M 擺桿平衡擺桿平衡1sin300AMFOA210AMFO A可得：可得：214MM理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大

46、學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系1S2SBA4FF3F3FF4FBAr1F1F1M2F2F2MM1M2M33)FF（ ，44FF（ ， ）34F = FF+34F = FF+343412 ABABABABMrFrFFrFrFMM（） 兩個(gè)力偶合成的結(jié)果得到一個(gè)合力偶，合力偶的力兩個(gè)力偶合成的結(jié)果得到一個(gè)合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：12MMMM為合力偶矩矢。為合力偶矩矢。三、空間力偶系的合成三、空間力偶系的合成先作力偶等效變換，得先作力偶等效變換，得(2-27) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間

47、簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系推廣：推廣： 力偶系合成的結(jié)果得到一個(gè)合力偶，合力偶的力力偶系合成的結(jié)果得到一個(gè)合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：122RMMMMM將上式分別向?qū)⑸鲜椒謩e向x、y、z軸投影，則：軸投影，則：, , xixyiyzizMMMMMM(2-28) (2-30) 合力偶矩矢的解析表達(dá)式為合力偶矩矢的解析表達(dá)式為xyzMMMijk (2-29) 理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系222()()()xyzMMMMcosxMMcosyMMcoszMM合力偶矩矢的大小和方向余

48、弦可表示為：合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示為：理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系2216FFN11F ,F例例2-18 一個(gè)矩形體上作用三個(gè)力偶（一個(gè)矩形體上作用三個(gè)力偶（ ）、（）、（ ）、）、22,F F33F ,F （ ）。已知：）。已知： 1110FFN3320NFF、a=10cm，試求出三個(gè)力偶的合成結(jié)果。，試求出三個(gè)力偶的合成結(jié)果。解：方法解：方法1110 10100 N cmxMF a 122cos452 = 10 20 16 0.707 20 426.3 N cmyMFaFa 23cos452 16 0.707 2020 10 26.27 N cmzMFaFa理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章第二章 空間簡(jiǎn)單力系空間簡(jiǎn)單力系11cos105100 N cm55xixaaMMMMaaa1222sinsin45 = 1053225 =426.3 N cmyiyaMMMMaaa 232cos45(3220 )26.27 N cm2zizMMMMaa方法方法2理理 論論 力力 學(xué)學(xué)河南理工大學(xué)力學(xué)系第二章