壽險(xiǎn)精算 第三講 人壽保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)

1、壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)第二章第二章 人壽保險(xiǎn)的人壽保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)保險(xiǎn)金是壽險(xiǎn)公司的主要負(fù)債，將由壽險(xiǎn)公司在未來的時(shí)間里支付，具體支付時(shí)間視被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間而定。通常這些保險(xiǎn)根據(jù)給付保險(xiǎn)金方式的不同分為兩大類： （1）普通人壽保險(xiǎn)： 如果被保險(xiǎn)人在某一期限內(nèi)死亡或活過某一期限，保險(xiǎn)人將向被保險(xiǎn)人給付一筆保險(xiǎn)金，即一次性給付保險(xiǎn)金。 （2）年金保險(xiǎn)：在約定期間當(dāng)被保險(xiǎn)人活著時(shí)，保險(xiǎn)人在相同間隔的時(shí)間上向被保險(xiǎn)人多次給付一系列保險(xiǎn)金。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)人壽保險(xiǎn)簡介人壽保險(xiǎn)簡介什么是人壽保險(xiǎn) 狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否

2、死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)人壽保險(xiǎn)的分類人壽保險(xiǎn)的分類受益金額是否恒定定額受益保險(xiǎn) 變額受益保險(xiǎn)保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行非延期保險(xiǎn)延期保險(xiǎn) 保障標(biāo)的的不同人壽保險(xiǎn)（狹義）生存保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn) 保障期是否有限 定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長期性 這使得從投保到

3、賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性 人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性 這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險(xiǎn)。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測將來的投資受益（即預(yù)定

4、利率）。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)原則保費(fèi)凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值 壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)基本符號基本符號 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值)(xxtbtvtztttvbz壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)的定義在保單生效日一次性支付將來保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值 躉繳純保費(fèi)的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于(

5、)tE z壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2. 1 離散型的人壽保險(xiǎn)模型離散型的人壽保險(xiǎn)模型(死亡年末賠付死亡年末賠付) 所謂離散型的人壽保險(xiǎn)模型，是指以離散型未來壽命K(x)為基礎(chǔ)，保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人死亡所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型。 對保險(xiǎn)人 (x) ，其未來壽命整年數(shù)為K(x)，則其概率分布率為假設(shè)金額在K(x)+1處給付，給付金融為 元，記 為在K(x)+1處給付1個(gè)單位時(shí)的利息貼息貼現(xiàn)系數(shù)，Z為給付保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則 Z的期望值 E(Z) 的一般表達(dá)式是E(Z) 稱為躉繳純保費(fèi)|Pr( )p q= q (k=0,1,2,) kxx kk

6、xK xkkb1kv11 (K=0,1,2,)KKZbv11|0( ) q (2.1.1)kkkxkE Zvb壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值與分布給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值與分布保險(xiǎn)人(x)的 給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值Z 是一隨機(jī)變量,其分布為:2b3b2v1kb3v1kv0|xq未來壽命K(x)012k給付數(shù)額B貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z給付概率p22bv11b v11kkbv1|xq| kxq11|0() q kkkxkEZvb2211|0()() q kkkxkEZvb2|xq1b1v33b v壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2. 1.1 死亡保險(xiǎn)死亡保險(xiǎn)分

7、為n 年期和終身人壽保險(xiǎn)基本符號 歲投保的人整值剩余壽命 保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。 躉繳純保費(fèi)。kxK)(kbkvkz()kE z壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場合定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場合n 年定期保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保了保險(xiǎn)期限為 n 年，保險(xiǎn)金額為 1元的定期壽險(xiǎn)，即：當(dāng)且僅當(dāng)被保險(xiǎn)人（x）在保險(xiǎn)期間內(nèi)死亡時(shí)，即未活過x+n 歲，壽險(xiǎn)公司才給付保險(xiǎn)金1元。如果被保險(xiǎn)人（x）活到保險(xiǎn)期末，壽險(xiǎn)公司將不作任何支付。為了清楚起見，我們先假定，當(dāng)被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期間內(nèi)死亡時(shí)，保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡那年年末支付（以后我們將會討

8、論于死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金的情況）。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則1111111 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkkvvknknbknvknzbvkn壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)定期壽險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)則其有關(guān)函數(shù)為：則其躉繳純保費(fèi)為：用換算函數(shù)計(jì)算111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd未來壽命K(x)012n-1給付數(shù)額B1111貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z給付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnv1

9、v2v3vnv壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)換算符號換算符號換算引進(jìn)的目的：簡化計(jì)算常用換算符號：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC1:xx nx nxMMAD111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02

10、躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)換算表換算表1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記等價(jià)方差為1222220( )()( )( )nkkxx kkVar zE zE zvpqE z12122:0nkkxx kx nkAvpq2112:( )()x nx nVar zAA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)

11、壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例2.1.1設(shè)年齡為35歲的人投保離散型的保險(xiǎn)金額為5000元的25年定期保險(xiǎn)。求該保單的躉繳純保費(fèi)（年利率i=6%）。壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)在人壽保險(xiǎn)中，純保費(fèi) 通常稱為自然純保費(fèi)，用 表示，即 在一般情況下，年齡越大，自然純保費(fèi)越高。 1 : 1xAxcxxxCcD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)定義 保險(xiǎn)人對被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 對于有限期保險(xiǎn)，令 ，就可得到終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)計(jì)算公式： 用換算符號計(jì)算：對式(2.1.5)兩邊乘以 ，則得

12、 式(2.1.7)表明，保單簽發(fā)時(shí)， 個(gè)年齡為x歲的被保險(xiǎn)人所支付的躉繳純保費(fèi)組成的基金總額等于按死亡預(yù)定流出資金的現(xiàn)值總額。 nxxxMAD1|0 (2.1.5)kxkxkAvqxl10 (2.1.7)kxxxkkl Avd壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.1.2 兩全保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.1.2 兩全保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)是由

13、n 年期生存保險(xiǎn)和n 年定期保險(xiǎn)組成，假設(shè)(x)投保離散型的保額為1單位的兩全保險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)為：則其躉繳純保費(fèi)為：用換算函數(shù)計(jì)算未來壽命K(x)012n-1n給付數(shù)額B11111貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z給付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnvnv1v2v3vnvnvnxp11|:0( ) (2.1.10)nknkxnxx nkAE zvqvp: (2.1.11)xxnxnx nxMMDAD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.1.3 延期壽險(xiǎn)延期壽險(xiǎn)被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n

14、年的定期壽險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)為：則其躉繳純保費(fèi)為：用換算函數(shù)計(jì)算未來壽命K(x)mm+1m+2m+n-1給付數(shù)額B01111貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z 0給付概率p|mxq2|mxq1|mxq1mv2mv3mvm nv111|:( ) (2.1.13) m nkmkxx nk mAE zvq1|: (2.1.14)xmxmnmx nxMMAD1mv2mv3mvm nv1| m nxq壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例子例子例2.1.4 試證：證明:1 1 1|:hx nx nxh nAAA11111|:011011|0 11: = = = nhnkkhhkxkhxx nkhknhkh

15、xkxhxhkknhkhxkxhkx hxh nAvqvqv vppqvpvqAA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.1.4 變額受益保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)1.遞增的n年定期保險(xiǎn)如果保險(xiǎn)金額的給付是隨著被保險(xiǎn)人未來壽命的變化而改變的,這類人壽保險(xiǎn)稱為變額年金保險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)為：則其躉繳純保費(fèi)為：用換算函數(shù)計(jì)算未來壽命K(x)0123n-1給付數(shù)額B1234n貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z給付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1v22v33v44vnnv111|:0()( )(1) (2.1.17)nkkxx nkIAE

16、zkvq1:() (2.1.18)xxnxnx nxRRnMIAD1|nxq壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.1.4 變額受益保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)2.遞減速的n年定期保險(xiǎn)其有關(guān)函數(shù)為：則其躉繳純保費(fèi)為：用換算函數(shù)計(jì)算未來壽命K(x)0123n-1給付數(shù)額Bnn-1n-2n-31貼現(xiàn)系數(shù)V給付現(xiàn)值Z給付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1nv2(1)nv3(2)nv4(3)nvnv111|:0()( )() (2.1.21)nkkxx nkDAE znk vq111:()() (2.1.23)xxxnx nxn

17、MRRDAD1|nxq壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例子例子 例2.1.5 設(shè)年齡為30歲的人,購買離散型的遞增的30年定期保險(xiǎn),保險(xiǎn)利益是:被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單內(nèi)死亡,則給付1000元;在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付1100;在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付1200;依次下去,直到第30個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付3900.試求該保單的躉繳純保費(fèi)(預(yù)定年利率i=6%).解： 時(shí)間1232930給付數(shù)額B10001100120038003900900*11111100*12329301130:3030:3030603060603030900100()30 =900100PAIAM

18、MRRMDD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例子例子例2.1.6 設(shè)年齡為30歲的人,購買離散型的遞減的20年定期保險(xiǎn),保險(xiǎn)利益是:被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單內(nèi)死亡,則給付5000元;在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付4900;在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付4800;依次下去,直到第20個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付3100.試求該保單的躉繳純保費(fèi)(預(yù)定年利率i=6%).解： 時(shí)間1231920給付數(shù)額B500049004800320031003000*11111100*201918211130:2030:20305030315130303000100()() =3000100PADAMMM

19、RRDD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的n年期兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqA10kxkxxkkAvpq壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2. 2 連續(xù)型的人壽保

20、險(xiǎn)模型 連續(xù)型的人壽保險(xiǎn)模型，就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)連續(xù)型的人壽保險(xiǎn)模型，就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。 它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。 2.2.1 死亡保險(xiǎn)死亡保險(xiǎn) 保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)。假定：(x) 歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系 則其躉繳純保費(fèi)1:0() (2.2.3)ntx nTtx

21、x tAE Zvpdt , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)在 時(shí)間區(qū)間內(nèi)，因?yàn)門(x) 的密度函數(shù)為 故即(x) 在 區(qū)間內(nèi)死亡率概率為 ，其支付金額 =1，貼現(xiàn)系數(shù)為 給付現(xiàn)值 為 。故 的期望值即躉繳純保費(fèi)為：Pr()( ) Ttxx ttTtdtftdtpdt()()Ttxtxxtdftppd x( ,)t tdttxx tpdt( ,)t tdttvtZtvtvtbtZ1:000()( ) = nnnttx nTtTtxx ttxx tAE ZZft dtvpdtepd

22、t壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.2.2終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。假定： 歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 01 , 0 ttttt ttvvtzbvvtbt壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精

23、算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)方差公式記所以方差等價(jià)為 22220( )( )( )( )( )ttttTtVar zE zE zef t dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例例2.2.1設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計(jì)算1 , 060(t)600 , Tt

24、f 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)60lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉

25、繳純保費(fèi)例2.2.2 設(shè)有100 個(gè)相互獨(dú)立的年齡都是x歲的被保險(xiǎn)人投保保險(xiǎn)金額為10元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn),死力 ,保險(xiǎn)金將從利力 計(jì)息的投資基金中支付.試計(jì)算該項(xiàng)基金在最初(t=0) 時(shí),其數(shù)額至少有多大,才能保證從該項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡受益金的概率近似于95%.0.04t0.06壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例例2.2.2解:從而可得10TTjZve1001jjZZ0()1010exp() exp() =104jxE ZAttdt220()1010exp( 2) exp() =10252jxE ZAttdt222()() () =25-49jjjVar ZE

26、 ZE Z1001( )()100 4400jjE ZE Z1001( )()100 9900jjVar ZVar Z壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例例2.2.2續(xù)續(xù)設(shè)該基金在最初時(shí)的數(shù)額至少是h,則這等價(jià)于:Pr()0.95Zh( )( )Pr()0.95( )( )ZE ZhE ZVar ZVar Z0.95( )( ) =400+1.645 30=449.35hE ZzVar Z壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)延期終身壽險(xiǎn)延期終身壽險(xiǎn) 保險(xiǎn)人對被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。假定: (x)歲的人，保額1元，延期m年的

27、終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系符號： , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm|tmxTmAvftd ttTmeftd t壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例子例子例2.2.3 考察保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期5年的終身壽險(xiǎn)，設(shè)

28、年齡為x歲的被保險(xiǎn)人死力為常值勤 ，利力 ，Z表示給付死亡受益金在投保時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量。試求： (1) 期望值 E(Z) (2) 方差 Var(Z) (3) 中位數(shù)解： ex p ()Tftt0.040.100.55|0(1) E (Z )=ex p ()ex p () =ex p 5()0 .1 4 1 9 xAtt d t20 E (Z)=ex p (2)ex p () =ex p 5(2)0 .0 5 0 22 tt d t22(2) Var(Z)()( ( )0.0301E ZE Z壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)n年期兩全保險(xiǎn)年期兩全保險(xiǎn)被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)

29、發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。它等價(jià)于n年生存保險(xiǎn)加上n年定期壽險(xiǎn)的組合。假定 (x) 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系符號及保費(fèi)厘定 , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt11:xx nx nnAAA0ntntxx tnxvpdtvp壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)延期延期m年年n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn)定義 被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險(xiǎn)假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全

30、保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm ntmvtm nbtm 壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.2.2 變額受益保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn)定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)特別： 一年遞增一次 一年遞增m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精

31、算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞增一次一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 1ttztv壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞增一年遞增m次次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定ttztv0()()txttxxtIAE ztvpdt壽險(xiǎn)精算數(shù)

32、學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的n年期定期壽險(xiǎn)年期定期壽險(xiǎn)定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)特別： 一年遞減一次 一年遞增減m次 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞減一次一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞減一年遞減m次次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定,0,tttmn

33、vtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.2.4 躉繳純保費(fèi)的換算公式躉繳純保費(fèi)的換算公式常用換算符號： 1 011dt , xxx tx txxxxxyy xxyxxy xCDDv lMCCCRMMM壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽

34、險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)由式(2.2.2),可得1:00110110011001101 =1 =1 =11 =( nnttx tx ntxx tx txnkx tx tx tkkx xnx k sx k sx k skx xnx k sx k skx xnx kxxkxxlAvpdtvdtlvldtv lvldtv lDdtv lCCCCDD1) = x nxx nxMMD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)連續(xù)型壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)換算公式連續(xù)型壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)換算公式類似可得到1:xx nx nxMMADxxxMAD1:x nx nxDAD:xx nx n

35、x nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMI AD111:()() xxx nx nxnMRRDAD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.3 在在死亡均勻分布下死亡均勻分布下的壽險(xiǎn)模型的壽險(xiǎn)模型2.3.1 與 之間的關(guān)系以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：則有 類似地,可得到其他公式,參見式(2.3.2)xAxA( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE v

36、iAAvdsA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)例子例子 例2.3.1 設(shè)年齡為40歲的人投保連續(xù)型的遞減的10年定期保險(xiǎn),保險(xiǎn)利益是:若被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付受益金10000元;若在第二個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付受益金9900元;若在第三個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付受益金9800元;依次遞減,直至到第十個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付受益金9100元.試在死亡均勻分布假設(shè)條件下求其躉繳純保費(fèi)(預(yù)定年利率i=6%). 解:1140:1040:101140:1040:109000100() 9000100()PADAiADA1405040:1040140505140:1

37、04010()(DA)MMADMRRD壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.4 遞推方程式遞推方程式2.4.1離散型終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的遞推方程式推導(dǎo):理解(x)的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。1 (2.4.1)xxx xAvqvp A 11|0011 111101111|1001 = = =vqvpkkxkxkxxkkkkkxkxxkxkxxkkkkkxx kxxkxxkxkkxxxAvqvp qvqvp qvqvp qvqvvppqvqvpvqA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保

38、費(fèi)其他變形其他變形在式(2.4.1)中用 替代 ,且兩邊乘以 ,可得:解釋： 個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外的 。公式三：同理,在式(2.4.2)兩邊乘以 ,可得解釋:-年齡為x的被保險(xiǎn)人在活到x+1歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)與當(dāng)初歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)之差等于保費(fèi)的一年利息減去提供一年的保險(xiǎn)成本。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxp(1)xq(1)xi l11xA1xAxl1xxvl1(1)xxxxxAAiAqA壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)2.4.2 連續(xù)型終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的微分方程式連續(xù)型終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的微分方程式對于連續(xù)型終身壽險(xiǎn),其躉繳純保費(fèi)的微分方程式是推導(dǎo):()(1) (2.4.4)xxxxdAAAdx00000