直線與圓的位置關(guān)系

1、陜西省數(shù)學第六章圖形的性質(zhì)(二)第25講直線與圓的位置關(guān)系要點梳理 1直線和圓的位置關(guān)系 (1)設(shè) r 是O 的半徑，d 是圓心O 到直線l 的距離 直線和 圓的位置 圖形 公共 點個 數(shù) 圓心到直線的 距離d 與半 徑 r 的關(guān)系 公共點 名稱 直線 名稱 相交 2 dr 交點 割線 相切 1 dr 切點 切線 相離 0 dr 無 無 要點梳理 (2)切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)定理：圓的切線 經(jīng)過切點的半徑推論1：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 推論2：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 垂直于垂直于圓心圓心切點切點要點梳理 (3)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且 這條半徑的直線是圓的切線(4

2、)三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都 的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是 ，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ，內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊的距離，且在三角形內(nèi)部垂直于垂直于相切相切三角形三條角平分線的交點三角形三條角平分線的交點內(nèi)心內(nèi)心要點梳理 2相關(guān)輔助線兩種方法：欲證直線為圓的切線時：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連接公共點和圓心，證明直線垂直半徑；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑兩個防范：(1)直線和圓有一個公共點，則直線與圓相切分析：直線和圓有一個公共點，不排除還有另一個公共點正確說法：直線和圓有且只有一個公共點，則直線與圓相切(2)圓的切線垂

3、直于圓的半徑分析：圓的半徑有無數(shù)條，切線垂直于哪條半徑呢？正確說法：圓的切線垂直于過切點的半徑一種分類思想圓是一種極為重要的幾何圖形，由于圖形位置、形狀及大小的不確定，經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況解題時漏解出錯時有發(fā)生，解決這類問題，一定要仔細分析，縝密思考，分類討論，逐一解答，切忌因思維定勢或考慮不周而造成漏解(1)由于點在圓周上的位置的不確定而分類討論；(2)由于弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論；(3)由于弦的位置不確定而分類討論；(4)由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論1(2014陜西)如圖， O的半徑為4，B是 O外一點，連接OB，且OB6，過點B作 O的切線BD，切點為D，延長BO交

4、 O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C.(1)求證：AD平分BAC；(2)求AC的長 2.(2013陜西)如圖，直線l與 O相切于點D，過圓心O作EFl交 O于E，F(xiàn)兩點，點A是 O上一點，連接AE，AF，并分別延長交直線l于B，C兩點(1)求證：ABCACB90；(2)當 O的半徑R5，BD12時，求tanACB的值 3(2012陜西)如圖，PA，PB分別與 O相切于點A，B，點M在PB上，且OMAP，MNAP，垂足為N.(1)求證：OMAN；(2)若 O的半徑R3，PA9，求OM的長 判斷直線與圓的位置關(guān)系【例 1】 (1)如圖，O 的半徑為 4 cm，OAOB，OCAB 于 C，O

5、B4 5 cm，OA2 5 cm，試說明 AB 是O 的切線 解：(1)OAOB， ABOA2OB2（2 5）2（4 5）210.又SAOB12ABOC 12OAOB， OCOAOBAB2 54 5104.又O 的半徑為 4，AB 是O 的切線 (2)如圖，已知在OAB中，OAOB13，AB24， O的半徑長為r5.判斷直線AB與 O的位置關(guān)系，并說明理由【點評】在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證題方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點未知，證題方法是“作垂線，證半徑”這兩種情況可概括為一句話：“有交點連半徑，無交點作垂線”1(1)如圖，以 O 為圓心的兩個同心圓中，大圓的

6、弦 AB 切小圓于點 C.若AOB120，則大圓半徑 R 與小圓半徑 r之間滿足( ) AR 3r BR3r CR2r DR2 2r C(2)(2012蘭州)如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5 cm，小圓的半徑為3 cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是 8AB10圓的切線的性質(zhì)【例2】(2014黃岡)如圖，在RtABC中，ACB90，以AC為直徑的 O與AB邊交于點D，過點D的切線，交BC于點E.(1)求證：EBEC；(2)若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷ABC的形狀，并說明理由 解：當以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形時，則DEB90，又DEBE，DEB是

7、等腰直角三角形，則B45，ABC是等腰直角三角形【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接CD構(gòu)造直角三角形2(2014涼山州)如圖，P是 O外一點，過點P引圓的切線PC(C為切點)和割線PAB，分別交 O于A，B，連接AC，BC.(1)求證：PCAPBC；(2)利用(1)的結(jié)論，已知PA3，PB5，求PC的長切線的判定與性質(zhì)的綜合運用【例3】(2014德州)如圖， O的直徑AB為10 cm，弦BC為6 cm，D，E分別是ACB的平分線與 O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PCPE.(1)求AC，AD的長；(2)試判斷直線PC與 O的位置關(guān)系，并說明理由直線

8、PC與 O相切，理由：連接OC，OCOA，CAOOCA，PCPE，PCEPEC，PECCAEACE，CD平分ACB，ACEECB，PCBCAEACO，ACB90，OCPOCBPCBACOOCBACB90，OCPC，直線PC與 O相切【點評】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理和圓周角，解題的關(guān)鍵是運用圓周角和角平分線及等腰三角形正確找出相等的角3(2013涼山州)在同一平面直角坐標系中有5個點：A(1，1)，B(3，1)，C(3，1)，D(2，2)，E(0，3)(1)畫出ABC的外接圓 P，并指出點D與 P的位置關(guān)系；(2)若直線l經(jīng)過點D(2，2)，E(0，3)，判斷直線l與 P的位置關(guān)系連接PE，PD，直線l過點D(2，2)，E(0，3)，PE2123210，PD25，DE25.PE2PD2DE2.PDE是直角三角形，且PDE90.PDDE.點D在 P上，直線l與 P相切 試題已知：如圖，P是 O外一點，PA切 O于點A，AB是 O的直徑，BCOP交 O于點C. (1)判斷直線PC與 O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；