行烈式定義按第一行展開(含義)

1、 （復習）（復習） 行烈式定義：按第一行展開。（含義）行烈式定義：按第一行展開。（含義） 性質性質1 行列式與其轉置行列式相等行列式與其轉置行列式相等. 性質性質2 行列式的兩行對換行列式的兩行對換,其值變號其值變號. 性質性質3 若行列式的某一行的元素有公因子，則可把若行列式的某一行的元素有公因子，則可把公因子提出。公因子提出。 性質性質 4 若行列式中某行的元素均為兩項之和，則可拆開，若行列式中某行的元素均為兩項之和，則可拆開， 性質性質5 若把行列式的某一行乘上一常數(shù)加到另一行上若把行列式的某一行乘上一常數(shù)加到另一行上（簡稱對行進行倍加運算），則行列式的值不變。（簡稱對行進行倍加運算），

2、則行列式的值不變。 性質性質6 行列式可以按任一行展開，行列式可以按任一行展開， 性質性質7 行列式中的任意一行的元素與另一行相應元素的行列式中的任意一行的元素與另一行相應元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。代數(shù)余子式乘積之和為零。 克萊姆法則克萊姆法則 如果線性方程組的系數(shù)行列式如果線性方程組的系數(shù)行列式D0,那么那么它有解為它有解為DDnDDDDnxxx ,2211性質性質7 行列式行列式D= a11 a12 a1n ai1 ai2 ain ak1 ak2 akn an1 an2 ann 第第i行行第第k行行 中的任意一行的元素與另一行相應元素的代數(shù)余中的任意一行的元素與另一行相應元素的代數(shù)余子

3、式乘積之和為零。即當子式乘積之和為零。即當i k時，有時，有ak1Ai1+ak2Ai2+aknAin =0證證Do= a11 a12 a1n ak1 ak2 akn ak1 ak2 akn an1 an2 ann 第第i行行第第k行行我們注意到這樣構造的我們注意到這樣構造的 D0其第其第i行每個元素的代數(shù)余子式與行每個元素的代數(shù)余子式與D中第中第i行相應元素的行相應元素的代數(shù)余子式是相同的，即代數(shù)余子式是相同的，即D0中中 Aij等于等于 D中中Aij ，j=1, 2, , n. 而一方面由而一方面由 D0中中 i 行和第行和第 k行相同故應為零，另一方面我們把行相同故應為零，另一方面我們把

4、D0按第按第 i行展開，即有行展開，即有0 = D0 = ak1Ai1+ak2 Ai2 + + akn Ain 1.3 克菜姆法則克菜姆法則設設 n 個未知數(shù)的線性方程組為個未知數(shù)的線性方程組為行列式行列式D = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 稱為方程組稱為方程組 (1) 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式.而而D中第中第j列的元素列的元素a1j,a2janj分別換成常數(shù)分別換成常數(shù)b1,b2, bn而得到的行列式記為而得到的行列式記為Dj.克萊姆法則克萊姆法則 如果線性方程組如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式D0,那么它有解那么它有解a11x1+a1

5、2 x2 + + ain xn = b1 a21x1+a22 x2 + + a2n xn = b2 an1x1+an2 x2 + + ann xn = bn (1)DDnDDDDnxxx ,2211證證 把把x1,x2, ,xn代入第代入第i個方程的左端個方程的左端,有有然后導出其等于然后導出其等于bi(i=1,2, ,n)即完成證明即完成證明.把把(2)中的中的Dj按第按第j列展開列展開,得得 Dj=b1A1j+b2A2j+bnAnj j=1,2, ,n (3)DDinDDiDDinaaa 2211(2)把把(3)代入代入(2),有有DDinDDiDDinaaa 2211=1/Dai1( b

6、1A11+b2A22+bnAn1 )+ai2( b1A12+b2A22+bnAn2 )+ +ain( b1A1n+b2A2n+bnAnn ) 把小括號打開重新組合得把小括號打開重新組合得=1/Db1( ai1A11+ai2A12+binA1n )+b2( ai2A21+ai2A22+ainA2n )+ +bi( ai1Ai1+ai2A22+binA2n ) + +bn(ai1An1+ai2An2+ainAnn ) =bi因由性質因由性質7 ai1Ak1+ai2Ak2+ainAkn=0 ikD i=k 例例1 解方程組解方程組:2x1+x2-5x3+x4=8 x1-3x2-6x4=9 2x2-x

7、3+2x4=-5x1+4x2-7x3+6x4=0 解解 利用克萊姆法則利用克萊姆法則,計算計算如下各行列式的值如下各行列式的值D= 2 1 -5 1 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 1 4 -7 6=27D1= 8 1 -5 1 9 -3 0 -6 -5 2 -1 2 0 4 -7 6=81D2= 2 8 -5 1 1 9 0 -6 0 -5 -1 2 1 0 -7 6=-108D3= 2 1 8 1 1 -3 9 -6 0 2 -5 2 1 4 0 6=-27D4= 2 4 -5 8 1 2 0 9 0 -3 -1 -5 1 1 -7 0=27得解得解. 1, 1, 4, 327274

8、2727327108227811 xxxx1.4 行列式的計算行列式的計算例例1 計算行列式計算行列式:D= 3 0 0 0 0 4 -1 0 0 0 5 8 9 0 0 -3 4 7 1 0 1 -2 -4 -6 7 解解 由于第一行只有一個非零元素由于第一行只有一個非零元素,故按第一行展開故按第一行展開D=3 -1 0 0 0 8 9 0 0 4 7 1 0 -2 -4 -6 7再按第一行展開再按第一行展開=3(-1) 9 0 0 7 1 0 -4 -6 7=3(-1) 9 1 0 -6 7=3(-1) 917=-189例例2 計算行列式計算行列式:=11（-1）9=-9 D= 1 2 0

9、 1 2 4 -1 1 -1 3 4 2 1 3 6 5對此行作倍對此行作倍加運算操作加運算操作倍倍加加解解= 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -1 -1 0 0 0 9-D= 1 2 0 1 0 0 -1 -1 0 5 4 3 0 1 6 4 1 2 0 1 0 1 6 4 0 5 4 3 0 0 -1 -1（，）= - 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -26 -17 0 0 -1 -1 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -1 -1 0 0 -26 -17（，）倍倍加加性質性質2 2：行列式的兩行對換行列式的兩行對換, ,其值變號其值變號. .例例3 計算行列式：計算行

10、列式：D= 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3解解D+ 10 2 3 4 10 3 4 1 10 4 1 2 10 1 2 3- 10 2 3 4 0 1 1 -3 0 2 -2 -2 0 -1 -1 -1=10 1 1 -3 2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 + 1 1 -3 0 -4 4 0 0 -4 10=101 -4 4 0 -4=10（16-0）=160D= c a d b a c d b a c b d c a b d解解D- c-a a-c 0 0 a c d b a c b d c-a a-c 0 0=0例例5 計算行列式：計算行列式：D5=

11、0 a1 a2 a3 a4 -a1 0 b1 b2 b3 -a2 - b1 0 c1 c2 -a3 -b2 -c1 0 d-a4 -b3 -c2 -d 0D5= 0 -a1 -a2 -a3 -a4 a1 0 - b1 -b2 - b3 a2 b1 0 -c1 -c2 a3 b2 c1 0 -d a4 b3 c2 d 0解解 行列互換得行列互換得一方而由性質一方而由性質1得得 D5= D5，另一方而若，另一方而若D5中中每行提出公因子（每行提出公因子（-1），得），得D5=(-1)5 D5=- D5比較上兩式，得比較上兩式，得D5=- D5，即，即D5=0例例4 計算行列式：計算行列式： 第第i

12、行第行第j列的元素列的元素aij和第和第j行第行第i列的元素列的元素aji僅差一負僅差一負號即號即aij=-aji具有這種性質的行列式稱為反對稱行列式。具有這種性質的行列式稱為反對稱行列式。奇數(shù)階的反對稱行列式等于零。奇數(shù)階的反對稱行列式等于零。性質性質2 2推論推論：若行列式中有兩行相同，則此行列式必為若行列式中有兩行相同，則此行列式必為0 0例例6 計算行列式：計算行列式：D4= 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3此行列式名為范德蒙行列式。此行列式名為范德蒙行列式。解解 D4- 1 0 0 0 a b-a c-a d-a a2 b2 -a2 c2

13、 - a2 d2 - a2 a3 b3-a3 c3 a3 d3 a3性質性質3(b-a)(c-a)(d-a) 1 0 0 0 a 1 1 1 a2 b+a c + a d + a a3 b2 +ba+a2 c2 +ca+ a2 d2 +da+ a2- -(b-a)(c-a)(d-a) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a c - b d -b a3 b2 +ba+a2 c2 +ca- b2 -ba d2 +da-ba-b2性質性質3(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a 1 1 a3 b2 +ba+a2 c + b+a d+b+

14、a-(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a 1 0 a3 b2 +ba+a2 c + b+a d-c= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)性質性質3：若行列式的某一行的元素有公因子，則可把公因子提出。若行列式的某一行的元素有公因子，則可把公因子提出。例例7 計算行列式：計算行列式：D= 0 n 2 1 0 這是一般的這是一般的n階行列式，其結構如上圖，階行列式，其結構如上圖，其副對角線元素分別為其副對角線元素分別為1，2，n 其它元其它元素為素為0。解解 方法一：由于第一行只有一個非零元方法一：由于第一行只有一

15、個非零元素，所以按第一行展開：素，所以按第一行展開： 0 n-1 2 1 0D=n(-1)1+n再按第一行展開再按第一行展開 0 n-2 2 1 0=(-1) 1+n n.(n-1) (-1) 1+(n-1)繼續(xù)進行展開，并注意抓住規(guī)律，最后可得繼續(xù)進行展開，并注意抓住規(guī)律，最后可得D=(-1)(1+n)+1+(n-1)+1+(n-2)+(1+2n!=!)1(212nnnn 方法二：若注意到為把對角線上的非零元素方法二：若注意到為把對角線上的非零元素調整至主對角線上，即成為三角行列式，于是調整至主對角線上，即成為三角行列式，于是可用行交換的辦法。可用行交換的辦法。-D（, )n 1 0 0 0 0 0 0 0 n-1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 n繼續(xù)把第繼續(xù)把第n-1行交換，第三行與第行交換，第三行與第n-2行交換，行交換，就能成為三角行列式，但要注意到每作一次行就能成為三角行列式，但要注意到每作一次行交換，行列式就要變號，所以要計算進行交換交換，行列式就要變號，所以要計算進行交換的總次數(shù)。容易看