高等代數(shù)歐幾里得空間知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九章 歐幾里得空間（ * * * ）一、復(fù)習(xí)指導(dǎo)：在第九章中，有兩個(gè)重要的考點(diǎn)：1.標(biāo)準(zhǔn)正交基（施密特正交化）2.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣如何相似對(duì)角化，如何求標(biāo)準(zhǔn)形。除此之外，歐氏空間的含義，概念，性質(zhì)也要作為一個(gè)比較重要的內(nèi)容來(lái)復(fù)習(xí)。二、考點(diǎn)精講：三、首師大真題：（一）歐氏空間1.設(shè)V是是數(shù)域R上一線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為內(nèi)積，記為，特具有一下性質(zhì)：（1）；（2）（3）；（4），當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)=0.這里是V中任意的向量，k是任意實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V稱(chēng)為歐幾里得空間。2.非負(fù)實(shí)數(shù)稱(chēng)為向量的長(zhǎng)度，記為。3.非零向量的夾角規(guī)定為4.如果向量的內(nèi)積為零，即，那么稱(chēng)

2、為正交或互相垂直，記為。5.設(shè)V是一個(gè)n維歐幾里得空間，在V中取一組基令矩陣 稱(chēng)為基的度量矩陣。（1）度量矩陣是正定的；（2）不同基底的度量矩陣是合同的。6.歐氏空間V中一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱(chēng)為一正交向量組。在n維歐氏空間中，由n個(gè)向量組成的正交向量組稱(chēng)為正交基；由單位向量組成的正交基稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基。（1）施密特正交化這是把線性無(wú)關(guān)向量組改造為單位正交向量組的方法.以3個(gè)線性無(wú)關(guān)向量a1,a2,a3為例.令b1=a1,b2=a2-,b3=a3-.此時(shí)b1,b2,b3是和a1,a2,a3 等價(jià)的正交非零向量組.（二）同構(gòu)1.實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V與稱(chēng)為同構(gòu)，如果由V到有一個(gè)1-1上的

3、映射，適合（1）（2）（3） 這里，這樣的映射稱(chēng)為V到的同構(gòu)映射。2.兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分條件是它們的維數(shù)相同。（三）正交矩陣1.基本概念（1）n級(jí)實(shí)數(shù)矩陣A稱(chēng)為正交矩陣，如果。（2）歐氏空間V的線性變換A稱(chēng)為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)任意的 都有2.主要結(jié)論設(shè)A是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面4個(gè)命題等價(jià)：（1）A是正交變換；（2）A保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于，；（3）如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；（4）A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。（四）正交子空間1.基本概念（1）設(shè)是歐氏空間V中兩個(gè)子空間。如果對(duì)于任意的恒有=0，則稱(chēng) 為正交的，記。一個(gè)向量，

4、如果對(duì)于任意的，恒有=0，則稱(chēng)與子空間正交，記為。（2）子空間稱(chēng)為子空間的一個(gè)正交補(bǔ)，如果，并且=V。2.主要結(jié)論（1）如果子空間兩兩正交，那么和是直和。（2）歐氏空間V的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)。（3）恰由所有與正交的向量組成。（五）對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)1.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)（1）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù)。（2）設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則中屬于A的不同特征值的特征向量必正交。（3）對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T，使成對(duì)角矩陣。2.對(duì)稱(chēng)矩陣（1）設(shè)A是歐氏空間V中的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于任意的，有則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)變換。（2）對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

5、。設(shè)A是對(duì)稱(chēng)變換，是A-子空間，則也是A-子空間。設(shè)A是n維歐氏空間V中的對(duì)稱(chēng)變換，則V中存在一組由A得特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。（3）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則它的對(duì)角化問(wèn)題有特殊的結(jié)論.A的特征值和特征向量有以下特點(diǎn):(1) 特征值都是實(shí)數(shù).(2) 對(duì)每個(gè)特征值l,其重?cái)?shù)=n-r(lE-A).(3) 屬于不同特征值的特征向量互相正交.于是,我們得出:實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可對(duì)角化,并且可以用正交矩陣將其對(duì)角化.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,構(gòu)造正交矩陣Q(使得Q-1AQ是對(duì)角矩陣)的步驟:(1)求出A的特征值;(2)對(duì)每個(gè)特征l,求(lE-A)X=0的單位正交基礎(chǔ)解系,合在一起得到A的n個(gè)單位正交的特征向量;(3)用它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)造正交矩陣Q.（六）向量到子空間的距離，最小二乘法1.長(zhǎng)度稱(chēng)為向量和的距離，記為，且（1）=（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3） （三角不等式）2.實(shí)系數(shù)線性方