第三章 直線與平面平面與平面的相

1、第三章第三章 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置3 31 1 平行問題平行問題1. 若一直線平行于平面上的若一直線平行于平面上的任一直線，則該直線必平行任一直線，則該直線必平行于此平面。于此平面。3-1 3-1 平行問題平行問題一、直線與平面平行一、直線與平面平行直線與平面平行、兩平面互相平行直線與平面平行、兩平面互相平行2. 若一直線平行于一平面，若一直線平行于一平面，通過平面上的任一點(diǎn)必能在通過平面上的任一點(diǎn)必能在該平面上作一直線平行于已該平面上作一直線平行于已知直線。知直線。A B C D aa a b b b bc c d d c c d d f f e

2、e e e f f p p 3 31 1 平行問題平行問題c c a a a ab b b bd d e e d d e e c c f f f f 直線直線ABAB不平行于已知平面不平行于已知平面。例例1 1 判斷直線判斷直線ABAB是否平行于是否平行于CDECDE平面。平面。3 31 1 平行問題平行問題c c k k k kb b b bd d e e d d e e c c 例例2 2 過點(diǎn)過點(diǎn)K K作水平線作水平線ABAB平行于平行于CDECDE平面平面f f f f 3 31 1 平行問題平行問題c c b b b bd d e e d d e e c c 例例3 3 過點(diǎn)過點(diǎn)A

3、A作一鉛垂面平行于作一鉛垂面平行于DEDE直線。直線。a a a a3 31 1 平行問題平行問題ABCEF GPQ若一平面上的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的相交若一平面上的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的相交兩直線，則此兩平面互相平行。兩直線，則此兩平面互相平行。二、兩平面互相平行二、兩平面互相平行3 31 1 平行問題平行問題例例4 4 過點(diǎn)過點(diǎn)K K作一平面，使其與平面作一平面，使其與平面ABCABC平行。平行。分析：分析：如果過如果過K點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于ABC的兩條邊，的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就平行于已知平面。則這兩條相交直線所確定的平

4、面就平行于已知平面。作圖步驟作圖步驟：2 2）作）作KDAC(k d a c ,kdac);a cac bb k ke ed dX1 1）作）作KEBC(k e b c , kebc);3 3）平面）平面KDE即為所求。即為所求。3 31 1 平行問題平行問題例例5 5 過過K K點(diǎn)作平面平行于點(diǎn)作平面平行于ABCABC 兩特殊位置平面相互平行時(shí)，它們有積聚性的同面投影互相平行。兩特殊位置平面相互平行時(shí)，它們有積聚性的同面投影互相平行。X12Xa a b b b bc c a ac c b b m m m mk k k kf ff f c c c c a aa a b bk kk k 1 1

5、2 2 3 31 1 平行問題平行問題例例6 6 過過K K點(diǎn)作平面平行于已知平面。點(diǎn)作平面平行于已知平面。Xa a b b b bc c a ak k k kc c d d d d m m f f g h hgf fm msdaacbPHSH例例7 7 試判斷兩平面是否平行。試判斷兩平面是否平行。3 31 1 平行問題平行問題a a b b c c d d f f e e e e f f s s r r r rs s3 32 2 相交問題相交問題3-2 3-2 相交問題相交問題PKAB交點(diǎn)交點(diǎn)直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交BAMCNL交線交線3 32 2 相交問題相

6、交問題一、直線與平面相交一、直線與平面相交PKAB交點(diǎn)特性：交點(diǎn)特性： 直線與平面的共有點(diǎn)直線與平面的共有點(diǎn);1. 直線可見性的分界點(diǎn)。直線可見性的分界點(diǎn)。3 32 2 相交問題相交問題1.1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交FEKPABCPHb ba ac c k k 特殊位置平面投影有積聚性特殊位置平面投影有積聚性 直線與平面的交點(diǎn)屬于直線直線與平面的交點(diǎn)屬于直線和平面和平面 交點(diǎn)的投影一定與平面的積聚交點(diǎn)的投影一定與平面的積聚性投影重合性投影重合3 32 2 相交問題相交問題2. 2. 特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交EBCb ba

7、 ac c 特殊位置直線投影有積聚性特殊位置直線投影有積聚性 直線與平面的交點(diǎn)屬于直線直線與平面的交點(diǎn)屬于直線和平面和平面 交點(diǎn)的投影一定與直線的積聚交點(diǎn)的投影一定與直線的積聚性投影重合性投影重合AFKa a b b c c k ke f k k e e k 3 32 2 相交問題相交問題例例8 8 求求DEDE直線與直線與 ABCABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。k k1 2 (1)2Xd e a b c abcde 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)K屬于直屬于直線和平面線和平面 ，所以交點(diǎn)的正，所以交點(diǎn)的正投影投影k 可以確定?？梢源_定。利用線上定點(diǎn)的方法可以利用線上定點(diǎn)的方法可以求出交點(diǎn)的水平投影求

8、出交點(diǎn)的水平投影k 。三角形三角形ABC為正垂面，為正垂面，正投影正投影a b c 積聚。積聚。 利用重影點(diǎn)判定直線的可利用重影點(diǎn)判定直線的可見性。見性。3 32 2 相交問題相交問題例例9 求求DE直線與直線與 ABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。k kd e a b c abcdef 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)K屬于直線屬于直線和平面和平面 ，所以交點(diǎn)的水平投影，所以交點(diǎn)的水平投影k可以先確定。可以先確定。利用面上定點(diǎn)的方法可以求出利用面上定點(diǎn)的方法可以求出交點(diǎn)的正面投影交點(diǎn)的正面投影k 。直線直線EF為鉛垂線，水平投影為鉛垂線，水平投影有積聚性。有積聚性。 判定直線的可見性。判定直線的可見性。f

9、 3 32 2 相交問題相交問題二、平面與平面相交二、平面與平面相交交線特性：交線特性：1. 1. 交線是兩平面的公有線。交線是兩平面的公有線。ABCNEF GM2. 2. 交線的投影一般是直線。交線的投影一般是直線。3. 3. 交線是可見性的分界線。交線是可見性的分界線。3 32 2 相交問題相交問題a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g gn m nm例例10 求四邊形求四邊形DEFG與與 ABC的交線。的交線。分析與作圖：分析與作圖：四邊形四邊形DEFG是正垂面，所以是正垂面，所以 其正面投影有積聚性。其正面投影有積聚性。2

10、.交線是兩個(gè)平面的共有線。交線是兩個(gè)平面的共有線。 設(shè)交線為設(shè)交線為MN,則則m n 一定與一定與 平面的積聚性投影重合。平面的積聚性投影重合。3.利用面上定線的方法求出交利用面上定線的方法求出交 線的水平投影線的水平投影mn4.判別可見性。判別可見性。交線是可見性的分界線交線是可見性的分界線3 32 2 相交問題相交問題a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g g例例11 求兩四邊形求兩四邊形ABCD 與與EFGH的交線。的交線。分析與作圖：分析與作圖： 兩四邊形都是鉛垂面，所以兩四邊形都是鉛垂面，所以它們的水平投影有積聚性。它們

11、的水平投影有積聚性。2.交線是兩個(gè)平面的共有線。交線是兩個(gè)平面的共有線。設(shè)交線為設(shè)交線為MN,則則m n一定為兩平一定為兩平面積聚性投影的交點(diǎn)。面積聚性投影的交點(diǎn)。3. 求出交線的正面投影。求出交線的正面投影。4.判別可見性。判別可見性。n m nmh h h h問題：交線是什么位置線？問題：交線是什么位置線？3 32 2 相交問題相交問題求直線與平面交點(diǎn)、兩平面交線作圖方法總結(jié)求直線與平面交點(diǎn)、兩平面交線作圖方法總結(jié): :1.利用特殊位置直線、平面的積聚性求交點(diǎn)利用特殊位置直線、平面的積聚性求交點(diǎn)(線線)的一個(gè)的一個(gè) 投影投影;2.利用線上定點(diǎn)或面上定點(diǎn)利用線上定點(diǎn)或面上定點(diǎn),定直線的方法求

12、交點(diǎn)定直線的方法求交點(diǎn) (線線)的另一個(gè)投影的另一個(gè)投影;3.利用積聚性或重影點(diǎn)判別可見性利用積聚性或重影點(diǎn)判別可見性.交點(diǎn)交點(diǎn)(線線)是可見性是可見性 的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)(線線).3 33 3 垂直問題垂直問題3-3 3-3 垂垂 直直 問問 題題a a b b d d f f e e e e f f d d ABCDEF c cb ba a 已知直線已知直線EF垂直于四邊垂直于四邊形形ABCD平面。平面。2. 四邊形四邊形ABCD是鉛垂面是鉛垂面,其垂線其垂線EF一定為一定為水平水平線。故線。故ef必定與平面的必定與平面的水平投影垂直。水平投影垂直。 e f 平平行于行于OX軸。軸。3 33 3 垂直問題垂直問題例例12 12 求點(diǎn)求點(diǎn)G G到到 ABCABC平面的距離。平面的距離。a a b b b bc c f f g a ac c f f g 三角形三角形ABCABC是正垂面是正垂面, ,其垂線應(yīng)其垂線應(yīng) 為正平線。所以垂線的正投影為正平