橢圓的簡單幾何性質(zhì)課時學習教案

1、會計學1橢圓的簡單幾何橢圓的簡單幾何(j h)性質(zhì)課時性質(zhì)課時第一頁，共66頁。橢圓橢圓(tuyun) 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax范圍范圍(fnwi)：, 122ax得：得：122 by -axa, -byb 橢圓橢圓(tuyun)落在落在x=a,y= b圍成的矩形中（如圖）圍成的矩形中（如圖） oyB2B1A1A2F1F2cab1. 觀察：觀察：x,y的范圍？的范圍？2. 思考：如何用代數(shù)思考：如何用代數(shù)方法解釋方法解釋x,y的范圍？的范圍？ -axa, -byb 一一.范圍范圍第2頁/共66頁第二頁，共66頁。22221(0)，xyabab在中令令 x=0 x=0，得，

2、得 y= y=？，說明橢圓？，說明橢圓(tuyun)(tuyun)與與 y y軸的交點軸的交點（ ），）， 令令 y=0 y=0，得，得 x= x=？, , 說明橢圓說明橢圓(tuyun)(tuyun)與與 x x軸的交點軸的交點（ ）。）。* *頂點：橢圓與它的對稱軸的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點四個交點(jiodin)(jiodin)，叫做，叫做橢圓的頂點。橢圓的頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0* *長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分別叫做橢圓的長分別叫做橢圓的長軸和短軸。軸和短軸。a a、b

3、 b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半軸長半軸長長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上! !第3頁/共66頁第三頁，共66頁。YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)換成換成(-X),方程方程(fngchng)不變不變,說明橢圓關于說明橢圓關于( )軸對稱；軸對稱； 把把(Y)換成換成(-Y),方程方程(fngchng)不變不變,說明橢圓關于說明橢圓關于( )軸對稱；軸對稱； 把把(X)換成換成(-X), (Y)換成換成(-Y),方程方程(fngchng)還是不變還是不變,說說明橢圓關于明橢圓關于( )對稱；對稱；Y X 原點原點 所以所以

4、(suy)(suy)，坐標軸，坐標軸是橢圓的對稱軸，是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對原點是橢圓的對稱中心。稱中心。第4頁/共66頁第四頁，共66頁。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x練習：根據(jù)前面所學有關練習：根據(jù)前面所學有關(yugun)知識畫出下列圖形知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 第5頁/共66頁第五頁，共66頁。ace 離心率離心率(xn l)：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓叫做橢圓(tu

5、yun)的離心率。的離心率。11離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1 1）e e 越接近越接近 1 1，c c 就越接近就越接近 a a，從而，從而 b b就越小，就越小，橢圓就越扁橢圓就越扁因為因為 a c 0a c 0，所以，所以0e 10e b)(ab)cea知識知識(zh shi)歸納歸納a2=b2+c2 ) 0(ba，第7頁/共66頁第七頁，共66頁。標準方程標準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的的關系關系22221(0)xyabab關于關于(guny)x(guny)x軸、軸、y y軸成軸對稱；關于軸成軸對稱；

6、關于(guny)(guny)原點成中心對稱原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸長短半軸長為為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0 , c)(0 , c)、(0, -c)(0, -c)關于關于(guny)x(guny)x軸、軸、y y軸成軸對稱；關于軸成軸對稱；關于(guny)(guny)原點成中心對稱原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(ab)(

7、ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba第8頁/共66頁第八頁，共66頁。)5,0(),5,0(21FF例題例題1: 1: 求橢圓求橢圓 9 x2 + 4y2 =36 9 x2 + 4y2 =36的長軸和短軸的長、的長軸和短軸的長、離心離心 率、焦點率、焦點(jiodin)(jiodin)和頂點坐標。和頂點坐標。橢圓橢圓(tuyun)(tuyun)的的長軸長是長軸長是: :離心率離心率(xn (xn l):l):焦點坐標是焦點坐標是: :四個頂點坐標是四個頂點坐標是: :)3

8、 , 0(),3, 0(),0 , 2(),0 , 2(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是:2a=62b=435ace解題步驟：解題步驟：1 1、將橢圓方程轉化為標準方程求、將橢圓方程轉化為標準方程求a a、b b：2 2、確定焦點的位置或長軸的位置、確定焦點的位置或長軸的位置.解：把已知方程化成標準方程解：把已知方程化成標準方程19422yx549,2,3cba第9頁/共66頁第九頁，共66頁。練習練習: :求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400 16 x2 + 25y2 =400的長軸和的長軸和短軸的長、離心率、焦點短軸的長、離心率、焦點(jiodin)(jiodin)

9、和頂和頂點坐標。點坐標。解：把已知方程解：把已知方程(fngchng)化成標化成標準方程準方程(fngchng)1452222yx31625,4,5cba橢圓橢圓(tuyun)(tuyun)的長的長軸長是軸長是: :離心率離心率: :6.053ace焦點坐標是焦點坐標是: :)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標是四個頂點坐標是: :)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是: :2a=102b=8第10頁/共66頁第十頁，共66頁。例例2: 2: 求適合下列條件的橢圓的標準方程求適合下列條件的橢圓的標準方程(fngchng)(fng

10、chng)：（1 1）經(jīng)過點（）經(jīng)過點（-3-3，0 0）、（）、（0 0，-2-2）；）；22194xy22194xy23解：解： 方法方法(fngf)(fngf)一：設橢圓方程為一：設橢圓方程為mx2mx2ny2ny21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），將點的坐標代入方程，求出），將點的坐標代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所以橢圓的標準方程為。所以橢圓的標準方程為 方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x x軸上，且

11、點軸上，且點P P、Q Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a a3 3，b b2 2，所以橢，所以橢圓的標準圓的標準(biozhn)(biozhn)方程為方程為 （2 2）離心率為）離心率為 ，經(jīng)過點（，經(jīng)過點（2,02,0）第11頁/共66頁第十一頁，共66頁。練習練習(linx)(linx)： 橢圓的一個頂點為橢圓的一個頂點為 , ,其長其長軸長是短軸長的軸長是短軸長的2 2倍，求橢圓的標準方程倍，求橢圓的標準方程02，A分析：題目分析：題目(tm)沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置 橢圓的標準方程為： ；11422yx

12、橢圓的標準方程為： ；116422yx解：解：（1）當 為長軸端點時， ， ， 2a1b02，A（2）當 為短軸端點時， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的標準方程是 或 11422yx116422yx第12頁/共66頁第十二頁，共66頁。第13頁/共66頁第十三頁，共66頁。標準方程標準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關的關系系22221(0)xyabab關于關于(guny)x(guny)x軸、軸、y y軸成軸對稱；關于軸成軸對稱；關于(guny)(guny)原點成中心對稱原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、

13、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)關于關于(guny)x(guny)x軸、軸、y y軸成軸對稱；關于軸成軸對稱；關于(guny)(guny)原點成中心對稱原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸長短半軸長為為b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba第14頁/共66頁第十四

14、頁，共66頁。162x82y1.1.直接直接(zhji)(zhji)算出算出a a、c c帶入公式求帶入公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.幾何意義：幾何意義：e e為為OPFOPF2 2的正弦值的正弦值第15頁/共66頁第十五頁，共66頁。3. 3. 已知已知a2a2、c2c2直接直接(zhji)(zhji)求求e2 e2 222cea221bea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 第16頁/共66頁第十六頁，共66頁。題型二：方程(fngchng)法例2.根據(jù)(gnj)條件，構造關于a,c,的齊次式，解出e即可

15、。注意橢圓離心率范圍是0e00直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2) (2)=0 =0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3) (3)0 k-3366-k33當 =時有一個交點當或時有兩個交點當時沒有交點第44頁/共66頁第四十四頁，共66頁。例例 2 2: :已知橢圓已知橢圓221259xy, ,直線直線45400 xy, ,橢圓橢圓上是否存在一點上是否存在一點, ,到直線到直線l的距離最小的距離最小? ?最小距離是多少最小距離是多少? ? lmm第45頁/共66頁第四十五頁，共66頁。 oxyml解：設直線 平行于 ，2245

16、01259xykxy由方程組22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk則 可寫成：12k25k25解得=，=-25.k 由圖可知例例 2 2: :已知橢圓已知橢圓221259xy, ,直線直線45400 xy, ,橢圓橢圓上是否存在一點上是否存在一點, ,到直線到直線l的距離最小的距離最小? ?最小距離是多少最小距離是多少? ? 第46頁/共66頁第四十六頁，共66頁。 oxy45250mxy直線 為：22402515414145mld直線 與橢圓的交點到直線 的距離最近。且思考(sko)：最大的距離是多少？max22402565414

17、145d例例 2 2: :已知橢圓已知橢圓221259xy, ,直線直線45400 xy, ,橢圓橢圓上是否存在一點上是否存在一點, ,到直線到直線l的距離最小的距離最小? ?最小距離是多少最小距離是多少? ? 第47頁/共66頁第四十七頁，共66頁。設直線設直線(zhxin)(zhxin)與橢圓交于與橢圓交于P1(x1,y1)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P2(x2,y2)兩點，直線兩點，直線(zhxin)P1P2(zhxin)P1P2的斜率為的斜率為k k弦長公式弦長公式(gngsh)：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2：弦長公式：弦長公式(gngsh)可推廣到

18、任意二次曲線第48頁/共66頁第四十八頁，共66頁。例例3 3：已知斜率：已知斜率(xil)(xil)為為1 1的直線的直線L L過橢圓過橢圓 的右焦點，交橢圓于的右焦點，交橢圓于A A，B B兩點，求弦兩點，求弦ABAB之長之長222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85第49頁/共66頁第四十九頁，共66頁。第50頁/共66頁第五十頁，共66頁。第51頁/共66頁第五十一頁，

19、共66頁。例例5 ：已知橢圓：已知橢圓(tuyun) 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達定理韋達定理(dngl)斜率斜率韋達定理韋達定理(dngl)法：利用韋達定理法：利用韋達定理(dngl)及中點坐標公式來構造及中點坐標公式來構造知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題第52頁/共66頁第五十二頁，共66頁。例例 5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點引一弦，使弦在這點(zh din)被被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線點差法：利用端點

20、在曲線(qxin)上，坐標滿足方程，作差上，坐標滿足方程，作差構造構造 出中點坐標和斜率出中點坐標和斜率點點作差作差第53頁/共66頁第五十三頁，共66頁。知識點知識點3：中點：中點(zhn din)弦問題弦問題點差法：利用點差法：利用(lyng)端點在曲線上，坐標滿足方端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率程，作差構造出中點坐標和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy設中點，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,

21、), (,)A x yB xy在橢圓上，第54頁/共66頁第五十四頁，共66頁。2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓(tuyun)相交有關弦的中點問題，常用設而不求的思想方法 第55頁/共66頁第五十五頁，共66頁。例例5已知橢圓已知橢圓(tuyun) 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點引一弦，使弦在這點被被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在

22、直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有兩點的直線有且只有(zhyu)一條一條解后反思：中點弦問題求解解后反思：中點弦問題求解(qi ji)關鍵在于充分利用關鍵在于充分利用“中中點點”這一這一 條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，第56頁/共66頁第五十六頁，共66頁。第57頁/共66頁第五十七頁，共66頁。例例6、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓(tuyun) 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中點M與橢圓與橢圓(tuyun)中中心連線的心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2

23、2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 第58頁/共66頁第五十八頁，共66頁。練習：練習： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)

24、與橢圓的位置與橢圓的位置(wi zhi)關系關系,并求以并求以A為中為中點點橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(1)195xy解橢圓(2,0)F2lyx直線 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦長第59頁/共66頁第五十九頁，共66頁。練習：練習： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線的直線(zhxin)被橢圓截得的弦長被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢圓的位置關系與橢圓的位置關系,并求以并求以A為中點為中點橢圓的弦所在的直線橢圓的弦所在的直線(zhxin)方程方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在橢圓內(nèi)。1122( ,),(,)AMNM x yN x y設以 為中點的弦為且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy兩式相減得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 為中點的弦為方程為:59140 xy第60