全維狀態(tài)觀測(cè)器

1、全維狀態(tài)觀測(cè)器全維狀態(tài)觀測(cè)器xp809584068Page 22狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測(cè)器 狀態(tài)重構(gòu)即狀態(tài)觀測(cè)器的提出，主要是為了解決狀態(tài)反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實(shí)現(xiàn)性的矛盾。 （1）不可替代性：先前各節(jié)中極點(diǎn)配置，鎮(zhèn)定，動(dòng)態(tài)解耦控制，靜態(tài)解耦控制，漸進(jìn)跟蹤和擾動(dòng)控制，以及線性二次型最優(yōu)控制等都有賴于狀態(tài)反饋才能實(shí)現(xiàn)。 （2）物理上的不能實(shí)現(xiàn)性：狀態(tài)作為系統(tǒng)內(nèi)部變量組，或由于不可能全部直接測(cè)量，或由于測(cè)量手段在經(jīng)濟(jì)性和適用性上限制，使?fàn)顟B(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為不可能或很困難的事。 解決狀態(tài)反饋物理構(gòu)成的途徑：采用理論分析和對(duì)應(yīng)算法的手段，導(dǎo)出在一定意義下等價(jià)于原狀態(tài)的一個(gè)重構(gòu)狀態(tài)，并用重

2、構(gòu)狀態(tài)代替真實(shí)狀態(tài)組成狀態(tài)反饋。 Page 33狀態(tài)重構(gòu)實(shí)質(zhì)狀態(tài)重構(gòu)實(shí)質(zhì) 狀態(tài)重構(gòu)直觀說(shuō)明 狀態(tài)重構(gòu)的實(shí)質(zhì)是，對(duì)給定確定性線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng) ，構(gòu)造與 具有相同屬性的一個(gè)系統(tǒng) ，利用 中可直接量測(cè)的輸出y和輸入u作為 的輸入，并使 狀態(tài)或其變換 在一定指標(biāo)提法下等價(jià)于 狀態(tài)x。等價(jià)指標(biāo)的提法通常取為漸近等價(jià)，即 并且，稱 狀態(tài) 為被觀測(cè)系統(tǒng) 狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)，所構(gòu)造系統(tǒng) 為被觀測(cè)系統(tǒng) 的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。x ) t (xlim(t)x limttx Page 44觀測(cè)器的分類觀測(cè)器的分類 對(duì)線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)，觀測(cè)器也是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，觀測(cè)器可按兩種方式進(jìn)行分類。功能角度：狀態(tài)觀測(cè)器和函

3、數(shù)觀測(cè)器。狀態(tài)觀測(cè)器特點(diǎn)：以重構(gòu)被觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)為目標(biāo)，當(dāng) 即系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)可使重構(gòu)狀態(tài) 完全等同于被觀測(cè)狀態(tài)x。函數(shù)觀測(cè)器特點(diǎn)：以重構(gòu)被觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)如反饋線性函數(shù)kx為目標(biāo)，將等價(jià)指標(biāo)取為重構(gòu)輸出w和被觀測(cè)狀態(tài)函數(shù)kx的漸近等價(jià)，即 k為常數(shù)陣結(jié)構(gòu)角度：全維觀測(cè)器和降維觀測(cè)器維數(shù)等于被觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器稱為全維觀測(cè)器，維數(shù)小于被觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器為降維觀測(cè)器。tx )()(limlimttkxtwtPage 55全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案一全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案一考慮n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)：其中 ，狀態(tài)x不能直接量測(cè)，輸出y和輸入u是可以利用的。(1)全維狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)造思

4、路 方案I全維狀態(tài)觀測(cè)器在構(gòu)造思路上由“復(fù)制”和“反饋”合成。復(fù)制就是，基于被觀測(cè)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,B,C，按相同結(jié)構(gòu)建立一個(gè)復(fù)制系統(tǒng)。反饋是指，取被觀測(cè)系統(tǒng)輸出y和復(fù)制系統(tǒng)輸出 的差值作為修正變量，經(jīng)增益矩陣L反饋到復(fù)制系統(tǒng)中積分器組輸入端以構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。xy0txx(0)uxx0CBA，nqpnnnRCRBRA，y 路圖全維狀態(tài)觀測(cè)器構(gòu)造思方案圖I22. 6Page 66引入反饋?lái)?xiàng) 的必要性只有“復(fù)制”組成的開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器存在的問(wèn)題：1.對(duì)系統(tǒng)矩陣A包含不穩(wěn)定特征值情形，只要初始狀態(tài) 和 存在很小的偏差，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和重構(gòu)狀態(tài) 的偏差就會(huì)隨t增加而擴(kuò)散或震蕩，不可能滿足漸近等價(jià)目標(biāo)。2

5、.對(duì)系統(tǒng)矩陣A為穩(wěn)定情形，盡管系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和重構(gòu)狀態(tài) 最終趨于漸近等價(jià)，但收斂速度不能由設(shè)計(jì)者按期望要求來(lái)綜合，從控制工程角度這是不允許的。3.對(duì)系統(tǒng)矩陣A出現(xiàn)攝動(dòng)情形，開(kāi)環(huán)型狀態(tài)觀測(cè)器由于系數(shù)矩陣不能相應(yīng)調(diào)整，從而使系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和重構(gòu)狀態(tài) 的偏差情況變壞。引入反饋?lái)?xiàng)就能克服或減少上述這些問(wèn)題的影響。結(jié)論6.52全維觀測(cè)器狀態(tài)空間描述對(duì)按圖6.22思路組成的全維狀態(tài)觀測(cè)器，狀態(tài)空間描述為 (6.370)相應(yīng)結(jié)構(gòu)圖如圖6.23所示，虛線框內(nèi)為被觀測(cè)系統(tǒng)，虛線框外為全維狀態(tài)觀測(cè)器。)x -y(CL0 x0 x ) t (x ) t (x ) t (x BuLyx )(x LCA0 x )0

6、(x Page 77證 ：對(duì)按圖6.22思路所給出的全維狀態(tài)觀測(cè)器，可以導(dǎo)出：化簡(jiǎn)后可導(dǎo)出式（6.370）。結(jié)論6.53觀測(cè)偏差狀態(tài)方程 對(duì)圖6.23所示結(jié)構(gòu)的全維狀態(tài)觀測(cè)器，表x為被觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)， 為觀測(cè)器狀態(tài)，則觀測(cè)偏差 的狀態(tài)方程為 (6.373)證：由 ，并利用被觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)方程和全維觀測(cè)器狀態(tài)方程，即可得到x y x )0(x u)y -y(x x 0CBLA，x x -xx000 x -xx(0)xx)LC-(x，Ax -xxPage 88對(duì)初始條件，可由 直接導(dǎo)出。結(jié)論6.54觀測(cè)偏差表達(dá)式 對(duì)圖6.23所示結(jié)構(gòu)的全維狀態(tài)觀測(cè)器， 的表達(dá)式為 (6.375)證：利用線性時(shí)不變系統(tǒng)

7、零輸入響應(yīng)關(guān)系式，由式(6.373)即可導(dǎo)出式(6.375).結(jié)論6.55 全維觀測(cè)器漸近等價(jià)條件 對(duì)圖6.23所示結(jié)構(gòu)n維全維狀態(tài)觀測(cè)器，存在nxq反饋矩陣L使成立充分必要條件是被觀測(cè)系統(tǒng) 不能觀測(cè)部分為漸近穩(wěn)定，充分條件為被觀測(cè)系統(tǒng)(A,C)完全能觀測(cè)。證：基于對(duì)偶原理，(A,C)能觀測(cè)性等價(jià)于 能控性。由此，并利用線性時(shí)不變系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題對(duì)應(yīng)結(jié)論，即可證得 ，等價(jià)地這又意味著 。結(jié)論6.56全維觀測(cè)器極點(diǎn)配置 對(duì)圖6.23所示結(jié)構(gòu)n維全維狀態(tài)觀測(cè)器，存在nxq反饋矩陣L可任意配置觀測(cè)器全部特征值，即對(duì)任給n個(gè)期望特征值 可找到nxq矩陣L使成立：充分必要條件為被觀測(cè)系統(tǒng)(A,C)完全能觀測(cè)

8、。x)()x -x)( BuLCxx LC)-(A-Bu)(Ax x -x xLCALCAx -xxx -xx0txe) t (x0t )(，LCA) t (xlim) t (x limtt),(TTCA0) t (xlimt) t (xlim) t (x limttn21，n, 2 , 1i)(ii，LCAPage 99證：基于對(duì)偶原理，(A,C)能觀測(cè)性等價(jià)于 能控性。由此，并利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的極點(diǎn)配置定理，即可證得結(jié)論。算法6.9全維觀測(cè)器綜合算法 給定完全能觀測(cè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)：其中， 。進(jìn)而，對(duì)綜合方案I全維觀測(cè)器，指定一組期望特征值 step1：計(jì)算對(duì)偶系統(tǒng)系數(shù)矩陣

9、. step2：對(duì) 和期望特征值組 ，采用極點(diǎn)配置算法，計(jì)算使 的qxn狀態(tài)反饋狀態(tài)矩陣 。其中 表示所示矩陣的特征值。 step3：取 . step4：計(jì)算(A-LC)。 step5：所綜合全維觀測(cè)器為),(TTCAxy0txx(0)uxx0CBA，nqpnnnRCRBRA，n21，TTCBAA,),(BAn21，n.3 , 2 , 1i)(ii，KBAK)(TKL BuLyx )(x LCAPage 1010全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案II考慮n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)： 其中， ，(A,B)完全能控，狀態(tài)x不能直接測(cè)量，輸出y和輸入u是可以利用的。(1)全維狀態(tài)

10、觀測(cè)器的結(jié)構(gòu) 給定n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)(6.378)，方案II全維狀態(tài)觀測(cè)器也是一個(gè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)。狀態(tài)觀測(cè)器的輸入取為被觀測(cè)系統(tǒng)的輸出y和輸入u，狀態(tài)空間描述為其中待定系數(shù)矩陣 ， 為被觀測(cè)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)。方案II全維狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖如圖6.24所示。xy0txx(0)uxx0CBA，nqpnnnRCRBRA，zx zz(0)uyzz10THGF，nnpn,RTRHRGRFpnnn，x )378. 6()379. 6(Page 1111(2)全維狀態(tài)觀測(cè)器的條件結(jié)論6.57全維狀態(tài)觀測(cè)器條件 給定n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)(6.378)，n維線性時(shí)不變系統(tǒng)(

11、6.379)對(duì)任意 可成為全維狀態(tài)觀測(cè)器的充分必要條件是： (i) TA-FT=GC, T非奇異； (ii) H=TB； (iii) 矩陣F的全部特征值 均具有負(fù)實(shí)部。證：表e=z-Tx，并利用式(6.379)和式(6.378),可以導(dǎo)出： 先證充分性。已知條件(i)(iii),欲證式(6.379)為全維狀態(tài)觀測(cè)器。對(duì)此，將條件(i)(ii)代入式(6.380)，可以得到： 由條件(iii)知，對(duì)任意非零 ，有 或等價(jià)地有注意到T非奇異，由上式可導(dǎo)出： uxz00，n,.2 , 1i)(i，F(xiàn)TB)u-(HGC)TA-(FTFe TBx-TAx-HuGCxFTxFTx-Fz u-x-uyz x

12、-zeTBTAHGFTeeFuxz00，0)x)(explim)( elim00ttTzFtt) t (xlim)(zlimttTt)(xlim) t (xlim) t (zlim)(x limt1-t1-tttTTTt)380. 6(Page 1212從而x和 為漸近等價(jià)，即系統(tǒng)(6.379)為全維狀態(tài)觀測(cè)器。必要性：已知系統(tǒng)(6.379)為全維狀態(tài)觀測(cè)器，欲證條件(i)(iii).若條件(iii)不成立，則系統(tǒng)(6.379)不為漸近穩(wěn)定，這意味著對(duì)任意 和u(t)=0，當(dāng) 有若條件(ii)不成立即HTB，則可找到一個(gè)u(t)使當(dāng) 有 。若條件(i)不成立即TA-FTGC，但由(A,B)完全

13、能控，則可找到一個(gè)u(t)產(chǎn)生一個(gè)x(t)，使當(dāng) 有 。注1：上述結(jié)論中，條件(i)是最為關(guān)鍵的條件，涉及到求解西爾維斯特方程TA-FT=GC問(wèn)題。并且，只有滿足一定條件，才能保證非奇異nxn解陣T存在。注2：要求解陣T非奇異是基于導(dǎo)出重構(gòu)狀態(tài) 的需要。這是因?yàn)?，只?存在，才能由全維狀態(tài)觀測(cè)器(6.379)唯一導(dǎo)出被觀測(cè)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài) 。結(jié)論6.58解陣T非奇異條件 對(duì)多輸出n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)(6.378)和方案II全維狀態(tài)觀測(cè)器(6.379)，設(shè)矩陣F的全部特征值均具有負(fù)實(shí)部，且矩陣A和F不具有公共特征值，則西爾維斯特方程 TA-FT=GC存在非奇異nxn解陣T的必要條件是

14、A,C完全能觀測(cè)和F,G完全能控。x 0 x0t0)( ettt0)( ettt0)( ettx 1Tzx 1T)385. 6(Page 1313結(jié)論6.59解陣T非奇異條件對(duì)單輸出n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)(6.378)和方案II全維狀態(tài)觀測(cè)器(6.379)，設(shè)矩陣F的全部特征值均具有負(fù)實(shí)部，且矩陣A和F不具有公共特征值，則A,C完全能觀測(cè)和F,G完全能控是西爾維斯特方程(6.385)解陣T為非奇異的充分必要條件 。算法6.10全維觀測(cè)器綜合算法 給定完全能觀測(cè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng) ： 其中， 。再對(duì)所有綜合全維狀態(tài)觀測(cè)器，指定一組期望特征值且滿足限制 。那么。方案II全維觀測(cè)器可按如下步驟綜合。 step1:：計(jì)算期望特征值組 對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式： step2：組成nxn矩陣： step3：任取nxn非奇異矩陣S，計(jì)算 ,計(jì)算 。 step4：任取F,G完全能控的nxq矩陣G。 step5：求解西爾維斯特方程TA-FT=GC解陣T。 step6：