S2-非線(xiàn)性離散系統(tǒng)

1、非線(xiàn)性系統(tǒng)理論非線(xiàn)性系統(tǒng)理論 返回首頁(yè) Section Section 2 2 非線(xiàn)性離散系統(tǒng)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)目 錄 返回首頁(yè)不動(dòng)點(diǎn)和周期點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)和周期點(diǎn))(xfy ),(),(),(231201xfxxfxxfx, 3 , 2 , 1),(1nxfxnn不動(dòng)點(diǎn)：經(jīng)過(guò)一次迭代后保持不變的點(diǎn)。周期點(diǎn)：經(jīng)過(guò)k次迭代后回到原來(lái)地方，迭代次數(shù)小于k的話(huà)都不回到原來(lái)地方，這樣的點(diǎn)叫做k周期點(diǎn)。 返回首頁(yè)，13210nnxxxxxx),(1nnxfx時(shí)間序列或軌道 返回首頁(yè)n 解的類(lèi)型 定常解（不動(dòng)點(diǎn)解） 周期解 混沌解n 求解方法 解析求解 圖像描述 數(shù)值迭代 返回首頁(yè)（1）解析求解：),(1nnxfx一

2、元離散映射系統(tǒng))(xfx 定常解：x)1 ()(xxxf邏輯斯蒂映射：迭代函數(shù)：)1 (xxx0) 1(xx11021xx4 , 0)-1 (1nnnxxx 返回首頁(yè)一維系統(tǒng)定一維系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性：常解的穩(wěn)定性：是穩(wěn)定的：定常解xxf1)(是不穩(wěn)定的：定常解xxf1)(臨界穩(wěn)定：定常解xxf1)(邏輯斯蒂映射：)1 ()(xxxf)21 ()(xxf穩(wěn)定：0101x穩(wěn)定：11311x都不穩(wěn)定：21,3xx1()nnnxfxx【攝動(dòng)方程】 返回首頁(yè)是穩(wěn)定的定常解：0101x（2）圖像描述：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.

3、80.911x-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811x2x5 . 05 . 0 返回首頁(yè)是穩(wěn)定的定常解：11311x0 . 200.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91（2）圖像描述： 返回首頁(yè)都不穩(wěn)定：21,3xx00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.913.2（2）圖像描述： 返回首頁(yè)（3）數(shù)值迭代：，13210nnxxxxxx4 , 0)-1 (1nn

4、nxxx5 . 02.03.2 返回首頁(yè)（3）數(shù)值迭代：5 . 00.1000 0.0450 0.0215 0.0105 0.0052 0.0026 0.00130.0006 0.00030.00020.00010.0000 0.00000.00000 . 20.1000 0.1850 0.2952 0.4161 0.4859 0.4996 0.50000.5000 0.50000.50000.50000.50000.50000.50002 . 30.1000 0.2880 0.6562 0.7219 0.6424 0.7351 0.62310.7515 0.59750.76960.56750

5、.78540.53930.79510.5214 0.7985 0.5148 0.7993 0.5133 0.7994 0.51310.7995 0.51300.79950.51300.79950.51300.7995 返回首頁(yè)周期周期2 2解解(P-2)(P-2)nnnnnxxfxffxfx)()()(212)-1 (1nnnxxx)1 (1)1 (xuxxxx)-1 (112nnnxxx0) 1() 1(22223343xxxx0)1()()1(222uxuuxuuuxx周期周期4 4解解(P-4)(P-4)()(4xfxffffx周期周期8 8解解(P-8)(P-8)()(8xfxffff

6、ffffx周期周期k k解解(P-k)(P-k)()(xfxffffxkkk( )( )kxffff xfx混沌解混沌解(Chaos)(Chaos)思考：思考：解的不同形態(tài)隨著參數(shù)如何變化？解的不同形態(tài)隨著參數(shù)如何變化？020406080100120012345678x 102902040608010012000.10.20.30.40.50.60.7xxf5 . 0)(xxf2)(x=0.6;for i=1:100 y=0.5*x; x=y;end y運(yùn)行結(jié)果：y = 4.7332e-031x0=0.6;for i=1:100 x(1)=x0; x(i+1)=0.5*x(i); endx)1

7、 ()(xxxfx=0.1;u=0.5;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y運(yùn)行結(jié)果：y = 7.8544e-008x=0.1;u=2.0;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y運(yùn)行結(jié)果：y = 0.5130 x=0.1;u=3.2;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y運(yùn)行結(jié)果：y = 0.5000一元一次離散映射系統(tǒng)數(shù)值迭代的問(wèn)題： 觀察和確定迭代解 臨界點(diǎn)處的迭代：臨界慢化現(xiàn)象 初值點(diǎn)對(duì)迭代解性態(tài)的影響 分岔圖的繪制問(wèn)題1：如何觀察和確定迭代解？2 . 35 . 30204060801001200

8、.10.20.30.40.50.60.70.80.90204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.8時(shí)間序列圖問(wèn)題1：如何觀察和確定迭代解？55. 38 . 30204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.80.90204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.80.91問(wèn)題1：如何觀察和確定迭代解？0 . 25 . 3Poincare截面映射-0.500.511.5-0.500.511.52 . 30.50.550.60.650.70.750.80.850.50.550.60.650.70.750.80.

9、850.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.9155. 30.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.91問(wèn)題1：如何觀察和確定迭代解？8 . 3Poincare截面0.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91100N500N1000N問(wèn)題1：如何

10、觀察和確定迭代解？Poincare截面映射圖 時(shí)間序列圖010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.15 . 0問(wèn)題2：臨界點(diǎn)的迭代情況？010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.19 . 0010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10 . 1問(wèn)題2：臨界點(diǎn)的迭代情況？0 . 3n=5000;x1=0.6633;x20.6700;n=10000;x1=0.6643;x2=0.

11、6690;n=20000;x1=0.6650;x2=0.6683;n=50000;x1=0.6656;x2=0.6677;n=100000;x1=0.6659;x2=0.6674;n=200000;x1=0.6661;x2=0.6672;臨界慢化現(xiàn)象：在解的性態(tài)發(fā)生改變的臨界點(diǎn)處，過(guò)渡過(guò)程變得很長(zhǎng)，收斂速度變得非常慢。一元一次離散映射系統(tǒng)數(shù)值迭代的問(wèn)題： 觀察和確定迭代解 臨界點(diǎn)處的迭代：臨界慢化現(xiàn)象 初值點(diǎn)對(duì)迭代解性態(tài)的影響 分岔圖的繪制問(wèn)題3：初值對(duì)解的性態(tài)的影響0510152025300.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.61 . 00 x6 . 00

12、 x01020304050600.10.20.30.40.50.60.70.81 . 00 x6 . 00 x0 . 22 . 3問(wèn)題3：初值對(duì)解的性態(tài)的影響01020304050600.10.20.30.40.50.60.70.80.911 . 00 x6 . 00 x8 . 3問(wèn)題4：分岔圖的程序?qū)崿F(xiàn)for u=0:0.01:4 x=0.2; for i=1:1000 x1=u*x*(1-x); x=x1; if i800 plot(u,x); hold on; end endend消除過(guò)渡過(guò)程并畫(huà)圖循環(huán)：數(shù)值迭代循環(huán)：掃描參數(shù)區(qū)間問(wèn)題4：分岔圖的程序?qū)崿F(xiàn)31發(fā)生分岔的前提：失穩(wěn)n 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)

13、定性：經(jīng)典的課題n 混沌：現(xiàn)代的課題分岔：把定常解、周期解的穩(wěn)定性和混沌聯(lián)系在一起。分岔理論分岔理論：研究非線(xiàn)性方程解的定性行為?！痉植怼?隨著參數(shù)的變化，動(dòng)力系統(tǒng)的解的性態(tài)發(fā)生質(zhì)的變化。一維系統(tǒng)定一維系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性：常解的穩(wěn)定性：是穩(wěn)定的：定常解xxf1)(是不穩(wěn)定的：定常解xxf1)(臨界穩(wěn)定：定常解xxf1)(nnnXXfX)(1【攝動(dòng)方程】習(xí)題：對(duì)一維映射 nnnxxx31求其定常解，并討論 x = 0 的穩(wěn)定條件？-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52

14、 返回首頁(yè) Section Section 2 2 非線(xiàn)性離散系統(tǒng)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)目 錄)(1nnXfXnnnXXfX)(1nXJ【攝動(dòng)方程】【雅可比矩陣】 穩(wěn)定性判定雅可比矩陣特征值的模有一個(gè)大于1，定常解不穩(wěn)定?！径ǔ＝狻?.2.1 二元二次映射二元二次映射二元二次迭代的一般表達(dá)式：),(),(11nnnnnnyxgyyxfx),(),(),(),(),(11221100nnnnyxyxyxyxyx265423211265423211nnnnnnnnnnnnnnybybyxbxbxbbyyayayxaxaxaaxnnnnyxJyx1121,10 , 1021穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)1, 121不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)i2

15、i1,aeae穩(wěn)定焦點(diǎn)1a不穩(wěn)定焦點(diǎn)1a1a中心點(diǎn) （穩(wěn)定）1, 1021鞍點(diǎn) （不穩(wěn)定）2.2.1 二元二次映射二元二次映射習(xí)題：求Hnon映射 的定常解，并討論其穩(wěn)定性(a=1,b=0.2)？nnnnnbxyyaxx12112.2.1 二元二次映射二元二次映射nnnnnbxyyaxx1211典型的二元二次迭代：Hnon映射：如何描述和繪制其迭代軌跡？x0=0.6;u=0.5;N=100;for i=1:N x(1)=x0; x(i+1)=u*x(i); endx0=0.3;y0=0.5;a=1.2;b=0.3;N=1000;for i=1:N x(1)=x0;y(1)=y0; x(i+1)

16、=1-a*x(i)*x(i)+y(i); y(i+1)=b*x(i);endfigure;plot(x,y);2.2.1 二元二次映射二元二次映射Hnon混沌吸引子二元軌跡圖形：把迭代出的點(diǎn)在二維相平面上逐個(gè)繪制出來(lái)。-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.52.2.1 二元二次映射二元二次映射2.2.1 二元二次映射二元二次映射0102030405060-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5; 3 . 0; 2 . 1; 5 . 0;30

17、01. 000bayx-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5; 3 . 0; 2 . 1; 5 . 0; 3 . 000bayx0102030405060-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5x的演化軌跡y的演化軌跡2.2.1 二元二次映射二元二次映射;15. 0; 2 . 1; 5 . 0; 3 . 000bayx020406080100120140160180200-1.5-1-0.500.511.5180182184186188190192194196198200-0.6-0.4-0.200.20.4

18、0.60.811.2-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.1-0.0500.050.10.150.20.25P-162.2.1 二元二次映射二元二次映射-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.1-0.0500.050.10.150.20.2514. 0b-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.10.121 . 0b-0.200.20.40.60.811.2-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.0105. 0bP-8P-4P-22.2.1 二元二次映射二元二次映射Henon映射的分岔圖2.2.1 二元二次映射二元二次映射三元二次迭代的一般表達(dá)式：),(),(),(111nnnnnnnnnnnnzyxkzzyxhyzyxg