高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-8-7 空間曲線(xiàn)及其方程

1、第七講 空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)可視為兩曲面的交線(xiàn)空間曲線(xiàn)可視為兩曲面的交線(xiàn), ,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF例如例如, ,方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線(xiàn)表示圓柱面與平面的交線(xiàn)C. . 2SL0),(zyxF0),(zyxG1Sxzy1oC2又如又如, ,方程組方程組表示上半球面與圓柱面的交線(xiàn)表示上半球面與圓柱面的交線(xiàn)C. .

2、 022222xayxyxazyxzao空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影zyxo將曲線(xiàn)將曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, ,y, ,z表示成參數(shù)表示成參數(shù)t的函數(shù)的函數(shù): :稱(chēng)為空間曲線(xiàn)的稱(chēng)為空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程參數(shù)方程. .)(txx vbt,令bzayaxsincos,2 時(shí)當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 例如例如, ,圓柱螺旋線(xiàn)圓柱螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上升高度上升高度, ,稱(chēng)為螺距稱(chēng)為螺距 .

3、 .)(tyy )(tzz M將下列曲線(xiàn)化為參數(shù)方程表示將下列曲線(xiàn)化為參數(shù)方程表示: :6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù), , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為故所求為得所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( tu例例1 1 求空間曲線(xiàn)求空間曲線(xiàn) : :)(tx)(ty)(tz)( t繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程 . .解解: :,)(, )(, )(1tt

4、tM任取點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)M1 1繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), , 轉(zhuǎn)過(guò)角度轉(zhuǎn)過(guò)角度 后到點(diǎn)后到點(diǎn) , ),(zyxM則則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿(mǎn)足的參數(shù)方程這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿(mǎn)足的參數(shù)方程 . . u例例2 例如例如, ,直線(xiàn)直線(xiàn)1xty tz2繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去消去t 和和 , , 得得旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyxxzoy繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面( (即球面即球面) )方程為方程為 又如又如, ,xoz面上的半圓周面上的半圓周sinax 0y

5、cosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200說(shuō)明說(shuō)明: :一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù)一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù), ,形如形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)C的一般方程的一般方程投影柱面投影柱面C在在xoy面上的投影曲線(xiàn)面上的投影曲線(xiàn)消去消去x得得C在在yoz面上的投影曲線(xiàn)方程面上的投影曲線(xiàn)方程消去消去y得得C在在zox面上的投影曲線(xiàn)方程面上的投影曲線(xiàn)方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC消去消去zzyxC1o例如例如在在xoy面上的投影曲線(xiàn)方程為面上的投影曲線(xiàn)方程為00222