結(jié)構(gòu)力學(xué)第9章 漸近法)

1、12第九章漸近法第九章漸近法91概述92力矩分配法的原理93用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架95剪力分配法94無剪力分配法391概述計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，力法或位移法要解算聯(lián)立方程，當(dāng)未知量較多時(shí)，工作量大。為簡化計(jì)算，自1930年以來，陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸進(jìn)法。如彎矩分配法，剪力分配法，迭代法等。漸進(jìn)法的理論基礎(chǔ)是位移法，避免組成和解算典型方程，在圖表上流水作業(yè)，結(jié)果精度隨計(jì)算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解。缺點(diǎn)：不適合電算，未知量較少時(shí)采用。優(yōu)點(diǎn)：概念簡明，步驟單調(diào)，適合手算，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中被廣泛采用。4ABiSAB4 iABiSAB3 iABiSAB i92力矩分配法的基本原理H.Cross于

2、1930年提出的適于計(jì)算連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架。ABiSAB3 i5CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0 當(dāng)近端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，遠(yuǎn)端也產(chǎn)生一定的彎矩，好比近端彎矩按一定比例傳到遠(yuǎn)端一樣。 遠(yuǎn)端與近端彎矩之比稱為近端向遠(yuǎn)端的傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)，用CAB表示。ABBAABMMC或MBA=CABMAB遠(yuǎn)端固定時(shí)：CAB=0.5遠(yuǎn)端鉸支時(shí)：CAB=0遠(yuǎn)端滑動(dòng)支撐： CAB=1MBA=2i遠(yuǎn)端自由：CAB=062.力矩分配法的基本原理1234qP(a) 用位移法計(jì)算，只有一

3、個(gè)未知量即結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Z1，典型方程為：r11Z1+R1P=0繪出MP圖（圖b),可求得自由項(xiàng)為R1P=Fj1F14F13F12MMMMR R1P1P是結(jié)點(diǎn)固定時(shí)附加剛臂上的反力矩，稱為是結(jié)點(diǎn)固定時(shí)附加剛臂上的反力矩，稱為剛臂反力矩剛臂反力矩，它等于，它等于結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1 1各桿端固端彎矩的代數(shù)和各桿端固端彎矩的代數(shù)和，即各固端彎矩所不平衡的差值，即各固端彎矩所不平衡的差值，稱為結(jié)點(diǎn)上的稱為結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩不平衡力矩。1234(b)MP圖F21MF12MF14MF41MR1P1F12MF13MF14MR1P7r11=1234(c)1M圖1Z12i124i123i13i141M繪出結(jié)構(gòu)的圖（見圖c)，

4、 計(jì)算系數(shù)為：解典型方程得Z1=11P1rR然后可按疊加法M=11PZMM 計(jì)算各桿端的最后彎j1Fj1SM彎矩。4i12+3i13+i14=S12+S13+S14=S1j匯交于結(jié)點(diǎn)1的各桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的總和8M12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右邊第一項(xiàng)為荷載產(chǎn)生的彎矩，即固端彎矩。第二項(xiàng)為結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角所產(chǎn)生的彎矩，這相當(dāng)于把不平衡力矩反號(hào)后按轉(zhuǎn)動(dòng)剛度大小的比例分配給近端，因此稱為分配彎矩，12、13、14等稱為分配系數(shù)分配系數(shù)，其計(jì)算公式為1j=j1j1SS(91)結(jié)點(diǎn)1的各近端彎矩為：F12M)M(MFj113F13)M

5、(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj11291j=j1j1SS(91)顯然，同一結(jié)點(diǎn)各桿端的分配系數(shù)之和應(yīng)等于1，即1j=1。各遠(yuǎn)端彎矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右邊的第一項(xiàng)仍是固端彎矩。第二項(xiàng)是由結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角所產(chǎn)生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎矩以傳遞系數(shù)的比例傳到各遠(yuǎn)端一樣，故稱為傳遞彎矩傳遞彎矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC10得出上述規(guī)律后，可不必繪得出上述規(guī)律后，可不必繪 M MP P圖也不必列出和求解典圖也不必列出和求解典1M型方程，而直接按以上結(jié)論計(jì)算各

6、桿端彎矩。其過程分為型方程，而直接按以上結(jié)論計(jì)算各桿端彎矩。其過程分為兩步：兩步：(1)固定結(jié)點(diǎn)加入剛臂，此時(shí)各桿端有固端彎矩，結(jié)點(diǎn)上有不平衡力矩，它暫時(shí)由剛臂承擔(dān)。(2)放松結(jié)點(diǎn)取消剛臂，讓結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)上加入一個(gè)反號(hào)的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除，結(jié)點(diǎn)獲得平衡。此反號(hào)的不平衡力矩將按轉(zhuǎn)動(dòng)剛度大小的比例分配給各近端，于是各近端得到分配彎矩，同時(shí)各自向其遠(yuǎn)端進(jìn)行傳遞，各遠(yuǎn)端彎矩=固端彎矩+傳遞彎矩。111. 解題步驟解題步驟 1）在剛結(jié)點(diǎn)上加上剛臂）在剛結(jié)點(diǎn)上加上剛臂(想象想象)，使原結(jié)構(gòu)成為單跨超靜定，使原結(jié)構(gòu)成為單跨超靜定梁組合體，計(jì)算梁組合體，計(jì)算 Ai。 2）計(jì)算各桿端）計(jì)

7、算各桿端 MF，進(jìn)而求出結(jié)點(diǎn)不平衡彎矩，進(jìn)而求出結(jié)點(diǎn)不平衡彎矩 MF 。 3）將不平衡彎矩）將不平衡彎矩(固端彎矩之和固端彎矩之和)反號(hào)后，按分配系數(shù)、傳反號(hào)后，按分配系數(shù)、傳遞系數(shù)進(jìn)行分配、傳遞。遞系數(shù)進(jìn)行分配、傳遞。 4）將各桿的固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩相加，即得）將各桿的固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩相加，即得各桿的最后彎矩。各桿的最后彎矩。12例91試用力矩分配法作剛架的彎矩圖。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)計(jì)算各桿端分配系數(shù)AB=445. 0942131414AC=333. 093AD=222. 092AB=0.445AC=0.333AD=0.222(2)計(jì)算固端彎矩

8、據(jù)表(101）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+12qL2=mkN7584503+83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)進(jìn)行力矩的分配和傳遞結(jié)點(diǎn)A的不平衡力矩為FAjMmkN357540ACDABACADBACADA0.445 0.3330.222-40+40075-250-35-35+15.5 +11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5 +11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8M圖圖(kN

9、.m)(b)32.2(4)計(jì)算桿端最后彎矩并作矩圖。+35+351393用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁對(duì)于具有多個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角但無結(jié)點(diǎn)線位移(簡稱無側(cè)移)的結(jié)構(gòu)，只需依次對(duì)各結(jié)點(diǎn)使用上節(jié)所述方法便可求解。作法是：先將所有結(jié)點(diǎn)固定，計(jì)算各桿固端彎矩；然后輪流放松各結(jié)點(diǎn)，即每次只放松一個(gè)結(jié)點(diǎn)，其它結(jié)點(diǎn)仍暫時(shí)固定，這樣把各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩輪流地進(jìn)行分配、傳遞，直到傳遞彎矩小到可略去時(shí)為止，以這樣的逐次漸進(jìn)方法來計(jì)算桿端彎矩。14計(jì)算步驟計(jì)算步驟 1、確定各結(jié)點(diǎn)處桿端力矩的、確定各結(jié)點(diǎn)處桿端力矩的分配系數(shù)分配系數(shù)、傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)。 2、計(jì)算個(gè)桿端的、計(jì)算個(gè)桿端的固端彎矩固端彎矩。 3、逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)逐次循環(huán)

10、放松各結(jié)點(diǎn)，以使結(jié)點(diǎn)彎矩平衡，直至，以使結(jié)點(diǎn)彎矩平衡，直至結(jié)點(diǎn)上的傳遞彎矩小到可以略去不計(jì)為止。結(jié)點(diǎn)上的傳遞彎矩小到可以略去不計(jì)為止。 4、將各桿端的、將各桿端的固端彎矩固端彎矩與歷次與歷次分配彎矩分配彎矩、傳遞彎矩傳遞彎矩相加，即得各桿端的最后彎矩。相加，即得各桿端的最后彎矩。15例92用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁。012325kN/m400kN25kN/m解： 固定12結(jié)點(diǎn)。列表計(jì)算如下:12m6m6m12m分配系數(shù)10=50i 4i 4i 412=50i 4i 4i 421=5710i 3i 4i 423=4290i 3i 4i 3固端彎矩MFmkN300121225M2F01-300mk

11、N300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+150+150結(jié)點(diǎn)1分配傳遞+150+150 +150+150+75+75+75+75結(jié)點(diǎn)2分配傳遞-129-129 -96-96-64-640結(jié)點(diǎn)1分配傳遞+32+32 +32+32+16+16+16+16結(jié)點(diǎn)2分配傳遞-9-9 -7-7-5-500.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429結(jié)點(diǎn)1分配傳遞+2+2 +3+3+1+1+1+1結(jié)點(diǎn)2分配傳遞-1-10最后彎矩最后彎矩M-20

12、8-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-22516例93用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN4kNm 0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MF0+4.69 -8+8 -9.38+5.62 +2+4分配及傳遞分配及傳遞-4.76 -2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24 +2.070+1.03+1.37 +1.36+0.68+0.68-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43

13、-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21 +0.21+0.11+0.11-0.04 -0.07-0.03-0.07 -0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01 -0.01-0.01 -0.01M0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+4171.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+45.634.691.88121.1615048.06M圖圖010.403.981819 1、傳遞系數(shù)、傳遞系數(shù)C表示當(dāng)桿件近端有轉(zhuǎn)角時(shí)，表示當(dāng)桿件近端

14、有轉(zhuǎn)角時(shí)，_與與_的比值，它與遠(yuǎn)端的的比值，它與遠(yuǎn)端的_有關(guān)。有關(guān)。 2、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB表示當(dāng)桿件的表示當(dāng)桿件的_端發(fā)生單端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)位轉(zhuǎn)角時(shí)A端端_值的大小。值的大小。 3、用力矩分配法計(jì)算時(shí)，桿端最后彎矩值是同一、用力矩分配法計(jì)算時(shí)，桿端最后彎矩值是同一桿端的固端彎矩和桿端的固端彎矩和_彎矩、彎矩、_彎矩的彎矩的代數(shù)和。代數(shù)和。遠(yuǎn)端彎矩遠(yuǎn)端彎矩近端彎矩近端彎矩支撐條件支撐條件近近204、在力矩分配法中反復(fù)進(jìn)行力矩分配及傳、在力矩分配法中反復(fù)進(jìn)行力矩分配及傳遞，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩愈來愈小，主要是因?yàn)檫f，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩愈來愈小，主要是因?yàn)榉峙湎禂?shù)及傳遞系數(shù)分配系數(shù)及傳遞系數(shù)1。5.圖

15、示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)CB=_。EI=常數(shù)。常數(shù)。i1=EI/4CB=4i1/(4i1+3i2)=2/3i2=EI/62/321BCADE=1i=1i=1i=1i，AB1 2/AD1 8/。6.圖示結(jié)構(gòu)用力矩分配法計(jì)算時(shí)分配系數(shù)圖示結(jié)構(gòu)用力矩分配法計(jì)算時(shí)分配系數(shù):AB=4i/(4i+3i+i+0)=1/2AD=i/(4i+3i+i+0)=1/8221適用范圍適用范圍 有側(cè)移剛架有側(cè)移剛架剛架僅由兩類桿件組成：剛架僅由兩類桿件組成：（1）無側(cè)移桿；無側(cè)移桿；（2）剪力靜定桿剪力靜定桿。9 94 4無剪力分配法無剪力分配法無側(cè)移桿無側(cè)移桿剪力靜定桿剪力靜定桿32145q23 剪力靜定桿剪力靜定桿AB：一端

16、固定、一端滑動(dòng)的桿，：一端固定、一端滑動(dòng)的桿，計(jì)算固端彎矩計(jì)算固端彎矩MF,CBAqq結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩暫時(shí)由剛臂承受。的不平衡力矩暫時(shí)由剛臂承受。 MF MFMFAB= -ql2/3無側(cè)移桿上無內(nèi)力無側(cè)移桿上無內(nèi)力MFBA= -ql2/6=MFAB= -ql2/62計(jì)算步驟計(jì)算步驟（1）固定結(jié)點(diǎn)）固定結(jié)點(diǎn), 加剛臂阻止結(jié)點(diǎn)加剛臂阻止結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)(水平方向可移動(dòng)水平方向可移動(dòng))。24CBA（2）放松結(jié)點(diǎn)，）放松結(jié)點(diǎn)，分配和傳遞剛臂上的不平衡力矩。結(jié)點(diǎn)分配和傳遞剛臂上的不平衡力矩。結(jié)點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角，同時(shí)發(fā)生水平位移。角，同時(shí)發(fā)生水平位移。 柱柱AB下固上滑，當(dāng)上端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，柱的剪力為

17、下固上滑，當(dāng)上端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，柱的剪力為0, 純彎曲純彎曲，與上固下滑動(dòng)而上端轉(zhuǎn)相同角度時(shí)受力和變形完全相同。與上固下滑動(dòng)而上端轉(zhuǎn)相同角度時(shí)受力和變形完全相同。故故轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度動(dòng)剛度SAB=i，傳遞系數(shù)為傳遞系數(shù)為CAB= -1。Z1純彎曲純彎曲純彎曲純彎曲Z1Z1等效等效i2i25轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB= i，傳遞系數(shù)CAB= -1分配系數(shù)系數(shù):13 27BAiii 3 263 27BAiii 力矩的分配和傳遞過程中，力矩的分配和傳遞過程中，柱中剪力保持不變，柱中剪力保持不變，無剪力無剪力分配法分配法。Cql 6BF6717BABC2M2ql42ql 72分配2ql 7ql 72MMF2ql 3傳遞ql42

18、2MA25ql1426 以上方法可推廣到多層剛架。不論有多少層，以上方法可推廣到多層剛架。不論有多少層，每每一層柱子均可視為上滑下固，一層柱子均可視為上滑下固，計(jì)算固端彎矩時(shí)，除計(jì)算固端彎矩時(shí)，除了柱身承受本層荷載外，了柱身承受本層荷載外，柱頂還承受柱頂還承受剪力剪力，其值等，其值等于于柱頂以上各層水平荷載的代數(shù)和柱頂以上各層水平荷載的代數(shù)和。 計(jì)算時(shí)，各柱的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算時(shí)，各柱的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度應(yīng)取各自的線剛度應(yīng)取各自的線剛度i，而傳遞，而傳遞系數(shù)為系數(shù)為-1。2mA10kN2i2mBCEFDG10kN10kN i i3 i3 i3 i2m2m2m2m2m27例例9-4 試用無剪力分配法計(jì)算圖示剛架

19、。解：解：1) 計(jì)算固端彎矩:10458FACkNmMkN m 3 104158FCAkNmMkN m CE柱: 除本層荷載外，還受柱頂剪力10kN1041042582FCEkNmkNmMkN m 3 1041043582FECkNmkNmMkN m(a)2mA10kN2i2mBCEFDG10kN10kN i i3 i3 i3 i2m2m2m2m2m8.48.411.527.739.27.732.263.29.069.031.0 M圖(單位 kNm)(c)GDFECBA(b) 212 112 912 911 111 111 110 910-5.0+4.5-4.3+3.9+0.4-8.4+8.4

20、(-1)-27.7-11.5-0.4+4.3-6.7-0.5-15.0-25.0+4.3 +38.6-0.4+0.1+0.1+0.6+39.2(-1)+63.2+3.2+0.4+0.7-4.3+60.0+6.7-35.0-45.0+13.3-31.0-32.2(-1)-55.0-13.3-0.7-69.0+0.5AC柱:EG柱:除本層荷載外，還有柱頂剪力20kN1042044582FEGkNmkNmMkN m3 1042045582FGEkNmkNmMkN m28(a)2mA10kN2i2mBCEFDG10kN10kN i i3 i3 i3 i2m2m2m2m2m8.48.411.527.73

21、9.27.732.263.29.069.031.0 M圖(單位 kNm)(c)GDFECBA(b) 212 112 912 911 111 111 110 910-5.0+4.5-4.3+3.9+0.4-8.4+8.4(-1)-27.7-11.5-0.4+4.3-6.7-0.5-15.0-25.0+4.3 +38.6-0.4+0.1+0.1+0.6+39.2(-1)+63.2+3.2+0.4+0.7-4.3+60.0+6.7-35.0-45.0+13.3-31.0-32.2(-1)-55.0-13.3-0.7-69.0+0.5(a)2mA10kN2i2mBCEFDG10kN10kN i i3

22、i3 i3 i2m2m2m2m2m8.48.411.527.739.27.732.263.29.069.031.0 M圖(單位 kNm)(c)GDFECBA(b) 212 112 912 911 111 111 110 910-5.0+4.5-4.3+3.9+0.4-8.4+8.4(-1)-27.7-11.5-0.4+4.3-6.7-0.5-15.0-25.0+4.3 +38.6-0.4+0.1+0.1+0.6+39.2(-1)+63.2+3.2+0.4+0.7-4.3+60.0+6.7-35.0-45.0+13.3-31.0-32.2(-1)-55.0-13.3-0.7-69.0+0.529

23、1適用范圍適用范圍 橫梁橫梁剛度無窮大剛度無窮大 豎桿為豎桿為彈性桿彈性桿9 95 5 剪力分配法剪力分配法框架在水平荷載作用下的彎矩圖框架在水平荷載作用下的彎矩圖EI= EI= EI1EI2EI3142536Fh30EI= 142536EI= EI1EI2EI3FFZ1FS25=D2Z1FS36=D3Z1FS14=D1Z1定義定義: 側(cè)移剛度側(cè)移剛度D 桿端發(fā)生單位側(cè)移時(shí)桿端產(chǎn)生的剪力。桿端發(fā)生單位側(cè)移時(shí)桿端產(chǎn)生的剪力。由隔離體的平衡，得：由隔離體的平衡，得：iDFDDDFZ3211定義：定義：iiiDD各桿端剪力：各桿端剪力：FFDDZDFiiiiSi1剪力分配系數(shù)剪力分配系數(shù)。1i性質(zhì)：31F對(duì)于本例：對(duì)于本例： 22i2113hiD 2223hiD 2333hiD 321111iiiiDDiFiiiiFFS3211114 33iFiFS 225FiFS 336FS25=D2Z1FS36=D3Z1FS14=D1Z1142536hFMS2552hFMS366314SF25SF36SFhFMS1441有柱頂剪力可求出固端彎矩，這種方法稱為有柱頂剪力可求出固端彎矩，這種方法稱為剪力分配法剪力分配法。32EI= ACBDiFilFFS2FS1CD例如：例如：利用剪力分配法作利