第五講 機器人運動學

1、3.2 3.2 齊次變換及運算齊次變換及運算 結(jié)論：左乘和右乘原則： 絕對運動變換矩陣左乘，即先做的在右邊，后做的在左邊。 相對運動變換矩陣右乘，即先做的在左邊，后做的在右邊。3.2 3.2 齊次變換及運算齊次變換及運算例：已知坐標系B先繞坐標系A的z軸旋轉(zhuǎn)90，再繞坐標系A的x軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐標系A與B之間的齊次坐標變換矩陣MAB。解：絕對運動，左乘原則。 MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90) 如果上述運動為相對運動，則應用右乘原則。有 ： MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)第第3

2、 3章章 機器人運動學機器人運動學3.1 3.1 剛體的位姿描述剛體的位姿描述3.2 3.2 機器人運動學方程機器人運動學方程3.3 3.3 運動方程的解運動方程的解3.4 3.4 微分運動與雅克比矩陣微分運動與雅克比矩陣3.2.1 Denavit-Hartenberg（D-H）描述法3.2 機器人運動學方程機器人運動學方程內(nèi)容： 坐標系系統(tǒng)的建立、桿件參數(shù)和運動變量的定義。3.2 機器人運動學方程機器人運動學方程機器人運動功能符號： 移動關(guān)節(jié)（P）: 沒有軸，只有方向。 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)（R）： 有轉(zhuǎn)動軸。 機座或基礎連桿：手部或末端執(zhí)行器：3.2 機器人運動學方程機器人運動學方程機器人運動功能符號

3、 在機器人學中為什么采用D-H描述方法？ 1、物理意義明確。 2、對應的變換矩陣簡單。 3、方法簡單，使用面廣，便于交流。3.2.1 D-H描述法一、建立坐標系系統(tǒng) 目標： 用坐標系描述機器人中各連桿的位姿。建立坐標系的原則： 1）反應幾何和運動特征關(guān)系，便于表示桿件幾何參數(shù)及運動參數(shù)。 2）使用方便，符合習慣，如右手法則。 3.2.1 D-H描述法機器人學中的坐標系主要包括： 1、笛卡爾空間的絕對（或全局、任務）坐標系。一般建立在工作現(xiàn)場地面上，用于定義需要完成的任務。 2、固連在桿件上、與其一起運動的桿件（或活動、當前）坐標系。 3、基座坐標系：建立在機器人基座上，是機器人的公共參考坐標系

4、，也稱固定（或基礎參考）坐標系。 4、末端執(zhí)行器坐標系，與末端執(zhí)行器相固連。 3.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立 桿件的編號：從基礎連桿（機座）開始，依次編號為0、1、2、3、n號桿件，其中，n為末端執(zhí)行器。 關(guān)節(jié)編號：第i桿件繞其作轉(zhuǎn)動的關(guān)節(jié)（即i桿件的下關(guān)節(jié)）記為 i號關(guān)節(jié)，它是連接第 i 連桿與第 i-1連桿的運動副。 坐標系編號：編號為 i的坐標系Fi(即Oi-xiyizi) 被固連在第 i號桿件上。3.2.1 D-H描述法2、建立坐標系、建立坐標系1）桿件坐標系i，i=1，2，n zi軸與關(guān)節(jié)軸線重合， zi軸的正方向沒有明確規(guī)定，應盡可能一致；移動關(guān)節(jié)只定義了方向，zi軸可以

5、位于平行于移動方向的任意位置，通常取移動關(guān)節(jié)的中心。 由于每個連桿有兩條軸線，根據(jù)坐標系的zi軸與那條關(guān)節(jié)軸線一致，建立桿件坐標系可有兩種做法： 第一種： zi軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合，稱前置模式。 第二種： zi軸與i關(guān)節(jié)軸線重合，稱后置模式。3.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立 xi軸與i桿件的兩關(guān)節(jié)軸線的公垂線重合，方向指向下一個桿件，坐標系原點位于公垂線在軸線上的垂足處。 注意： 如果i桿件的兩個軸相交，則規(guī)定其單位矢量為xi =zi+1 x zi；如果兩軸平行，Xi軸位置自定，一般選在桿件上。 例：前置坐標系 i坐標系的z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合。建立坐標系建立坐標系x0z0o001

6、23關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)3y2x2o2z3x3o3x1z1o1建立坐標系建立坐標系例：后置坐標系： i坐標系的z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。 后置坐標系在各種文獻中應用較多。例：三維立體說明2）機座坐標系，也稱0桿坐標系。 它一般靜止不動；作為參考坐標系，其他連桿坐標系都可以相對它來定義。 機座坐標系的創(chuàng)建具有任意性，一般： z軸：一般垂直向上，即與重力加速度反向。 x軸：沿工作空間的對稱平面內(nèi)，指向其余桿件所在初始位置。 為計算方便，機座坐標系的原點經(jīng)常與1號連桿坐、標系的原點重合，使桿件參數(shù)為零。x0z0o0建立坐標系建立坐標系2、建立坐標系建立坐標系3）手部坐標系h 在前置桿件坐標系下，

7、h與末端執(zhí)行器坐標系n重合。建立坐標系建立坐標系3）手部坐標系h 在第后置桿件坐標系下，h與末端執(zhí)行器n坐標系的方向保持一致。oh0123關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)3y2x2o2z3x3o3x1z1o1Zhxhx0z0o03.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立二、機器人構(gòu)形的描述 機器人機構(gòu)是由一系列桿件組成的，確定機器人構(gòu)型涉及的參數(shù)有兩類：連桿（Link）的幾何參數(shù)及兩相鄰連桿間的運動參數(shù)。 1）、連桿的幾何描述 連桿的主要幾何特征是其兩端的軸線間的位置關(guān)系，可以用兩個參數(shù)來確定： （1）連桿的長度ai。 （2）連桿兩端軸線之間的鈕角 i。 在機器人運動中，桿件的幾何參數(shù)通常為定值。3

8、.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立 （1）連桿的長度ai：連桿兩端軸線之間的公垂線長度。 （2）連桿鈕角i（-180 i 180）：兩端軸線之間在公垂線方向的夾角。特點：桿長沿xi方向。扭角以xi為轉(zhuǎn)軸。（1）關(guān)節(jié)平移量di 相鄰桿件的長度在關(guān)節(jié)軸線zi上的距離。3.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立2）連桿間的運動參數(shù)： 描述兩連桿之間的運動關(guān)系。（2）關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)量i 相鄰兩個桿件的長度在關(guān)節(jié)軸線上的夾角定義為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動量i 。3.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立例：三維立體說明 當兩連桿發(fā)生相對運動時，關(guān)節(jié)的運動參數(shù)將發(fā)生變化，如果關(guān)節(jié)是平移關(guān)節(jié)，則平移量di會變化；如果是回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)；則

9、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)量i會變化。 我們將這些運動時會發(fā)生變化的量稱為關(guān)節(jié)變量。對于每一個關(guān)節(jié)，都有一個關(guān)節(jié)變量和三個參數(shù)。n個關(guān)節(jié)的操作臂有n個關(guān)節(jié)變量，他們構(gòu)成n維矢量。 用上述連桿幾何參數(shù)和運動參數(shù)來描述機器人機構(gòu)運動關(guān)系的方法稱為Denzvit-Hartenberg方法，簡稱D-H法。3.2.1 D-H描述法與連桿坐標系建立3.2.1 D-H描述法 注意： 由于桿件坐標系的Z軸的指向可任選；另外，在與桿件相連的兩軸線相交的情況下，x軸可有兩個不同指向；因此，D-H描述的結(jié)果具有非唯一性，即可能參數(shù)符號不一致。3.2.2 機器人運動學方程3.2.2 機器人運動學方程 目標：建立笛卡爾空間m與關(guān)節(jié)空間q

10、之間的數(shù)學關(guān)系。 機器人運動學的一般模型為： M= f(qi)， i=1，n M機器人末端執(zhí)行器的位姿。 qi機器人各個關(guān)節(jié)變量。 若給定qi，要求確定相應的M，稱為正運動學問題，簡記為DKP。 如果已知末端執(zhí)行器的位姿M，求解對應的關(guān)節(jié)變量，稱為逆運動學（Inverse Kinematics）問題，簡記為IKP。3.2.2 機器人運動學方程為什么求正運動學問題的解？ 檢驗、校準機器人；計算工作空間等。為什麼研究逆運動學問題解？ 路徑規(guī)劃、機器人控制等，但求解困難。機器人正運動學問題的特點： 求解容易，具有唯一性。機器人逆運動學問題的特點： 1、一般求解方程組是由一些非線性的、超越、難解的方程

11、組成。 2、必須關(guān)心解的存在性、多解性、可解性和求解方法。3.2.2 機器人運動學方程運動學逆解的求解方法 不像線性方程，不存在通用算法。逆解的形式： 1)閉式解(Close-form solution):用解析函數(shù)式表示解。求解速度快。 僅僅在一些特別簡單的或特殊的情況下，存在解析的閉式解。 2）數(shù)值解：遞推求解，不易求出所有解。逆解的求解方法： 1、代數(shù)法。2、幾何法。3、數(shù)值法。3.2.2 機器人運動學方程問：i坐標系的位姿如何在i-1坐標系中表示。 1）關(guān)節(jié)運動變量的統(tǒng)一表示 設平移關(guān)節(jié)變量為di，回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)變量為i，則廣義關(guān)節(jié)變量表示為：其中：iiiiidssq)1 ( 為為移移動動關(guān)

12、關(guān)節(jié)節(jié)為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)iisi,0,13、求解相鄰桿件的位姿矩陣2）相鄰桿件位姿矩陣 a、前置模式試分析坐標系i-1坐標系i的變換過程。 從圖中可看出，由i-1到i的變換，僅涉及i桿件的參數(shù)，這時： 1、桿長:沿xi軸從zi-1到zi的距離。 2、扭角：繞xi從zi-1轉(zhuǎn)到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1軸從xi-1軸量至xi軸的距離。 4、轉(zhuǎn)角：繞zi-1軸從xi-1軸到xi的轉(zhuǎn)角。3、求解相鄰桿件的位姿矩陣I、i-1i變換過程 a、Trans（0，0，di） b、Rot（z，i）； c、Trans（li，0，0） d、Rot（x，i）注意：用的都是i下標參數(shù)，即同一桿件的參數(shù)。ii

13、-1lii關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)idiXi-1Z i-1Oi-1XiZiOii3、求解相鄰桿件的位姿矩陣II、單步齊次變換矩陣 10000cossin00sincos00001,1000010000100011000010000cossin00sincos,100010000100001iiiidiciiiibiaMlMMdM 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣III、相鄰桿件的位姿矩陣 相對運動，用右乘 1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos10000cossin00sincos0001100010000cossin00sincos)()(1iiiiiiii

14、iiiiiiiiiiiiiiiiiiidcbaiidllldMMMMM 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣III、相鄰桿件的位姿矩陣關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)變變量量iqqfMdssqdllMiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii),()1(1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos11 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣注意：由于平移是沿轉(zhuǎn)動軸方向進行的，因此，作為特例， 前兩步之間可以交換順序，后兩步之間也可以交換順序，即： 10000cossin00sincos0001100010000cossin00sincosiiiiicddciiiiiabbal

15、MMMMdMMMM 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣b、后置模式 建立坐標系i-1、i，試分析i-1i的變換過程。ii-1關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi 從圖中可看出，由i-1到i的變換，涉及i-1桿件和i桿件的參數(shù)，這時： 1、桿長ai-1:沿xi-1軸從zi-1到zi的距離。 2、扭角 ：繞xi-1從zi-1轉(zhuǎn)到zi的角度。 3、平移量di：沿zi軸從xi-1軸量至xi軸的距離。 4、轉(zhuǎn)角i：繞zi軸從xi-1軸到xi的轉(zhuǎn)角。1i3、求解相鄰桿件的位姿矩陣第二種坐標系 I、i-1i變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，i-1）；c、Trans（0，0，di

16、）；d、Rot（z，i）。注意：用i下標運動參數(shù)和i-1下標桿件幾何參數(shù)，即用到i桿件的幾何參數(shù)和i+1桿件的運動參數(shù)。ili-1i-1i關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)idiXi-1Z i-1Oi-1XiZiOii-13、求解相鄰桿件的位姿矩陣II、單步齊次變換矩陣 1000010000cossin00sincos,10001000010000110000cossin00sincos00001,10000100001000111111iiiidiciiiibiaMdMMlM 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣III、相鄰桿件的位姿矩陣 1000coscoscossinsinsinsinsincoscossincos0sin

17、cos100010000cossin00sincos10000cossin00sincos0001)()(111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiidcbaiiddldlMMMMM 3、求解相鄰桿件的位姿矩陣III、相鄰桿件的位姿矩陣關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)變變量量iqqfMdssqddlMiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii),()1(1000coscoscossinsinsinsinsincoscossincos0sincos11111111111 3.3.1 機器人運動學方程及D-H表示法4、建立方程 求出了相鄰桿件之間的位姿矩陣：后，就可容

18、易地得到手部相對基座的位姿矩陣：nh1n-n1201MMMM、各個關(guān)節(jié)變量。手相對基座的位姿。則：、又：ihihhqMniqfMqfMqfMqfMMMMMM00n1n-n212101nh1n-n12010, 2 , 1),()()()(此式被稱作機器人的正運動學方程。3.2.2 機器人運動學方程例1：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機器人如圖所示，設機器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。建立機器人的運動學方程。 l1l3l23.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程解：（1）建立坐標系(前置) a、機座坐標系0 b、桿件坐標系i c、手部坐標系h （與末端桿件坐標系 n重合） l1l3l2x

19、0y0y1x1y2x2y3hx3hZ軸方向都向外3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程解：（2）確定參數(shù) 各軸線相互平行，各桿件處于同一平面內(nèi)。l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h i dii lii qi 1 01 l1 01 2 02 l2 02 3 03 l3 033213.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h321 1000010000100001000010001100001000000)0 , 0 ,(),(11111111111111101 slcsclsclcssclTran

20、szRotM3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h3211000010000)0 , 0 ,(),(同理可得：222222222212slcsclsclTranszRotM3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h321 1000010000)0 , 0 ,(),(3333333333)(23 slcsclsclTranszRotMh同理可得：同理可得：3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有： 10000100001233122

21、11123123123312211123123)(2312010 slslslcsclclclscMMMMhh)sin(),cos(321123321123 sc式中：式中：)sin(),cos(21122112 sc3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程若用矩陣形式表示，則為： 10000100001000123312211123123123312211123123 slslslcsclclclscpaonpaonpaonzzzzyyyyxxxx3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程若用方程組形式表示，則為：若用方程組形式表示，則為： 123312211123312211

22、123123123123 slslslpclclclpcososncnyxyxyx3.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程例1：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機器人如圖所示，設機器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。建立機器人的運動學方程。 l1l3l23.3 3.3 機器人運動學方程機器人運動學方程解解：（1 1）建立坐標系）建立坐標系( (后置后置) ) a a、機座坐標系、機座坐標系0 0 b b、桿件坐標系、桿件坐標系i i c c、手部坐標系、手部坐標系h h （與末端桿件坐標系（與末端桿件坐標系 n n方向一致）方向一致） l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxh3

23、.2.2 機器人運動學方程解：（1）建立坐標系（后置） a、桿件坐標系123。 c、末端執(zhí)行器坐標系4。3.2.2 機器人運動學方程解：（2）確定參數(shù) 各軸線相互平行，各桿件處于同一平面內(nèi)。 i bii aii qi 1 01 l1 01 2 02 l2 02 3 03 l3 031233.2.2 機器人運動學方程解：（3）相鄰桿件位姿矩陣1000010000100001000010001100001000000)0 , 0 ,(),(11111111111111112slcsclsclcsscaTranszRotT1233.2.2 機器人運動學方程1000010000)0 , 0 ,(),(

24、同理可得：222222222223slcsclscaTranszRotT1233.2.2 機器人運動學方程1000010000)0 , 0 ,(),(3333333333)(34slcsclscaTranszRotTh同理可得：1233.2.2 機器人運動學方程（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有： 100001000012331221112312312331221112312334231214slslslcsclclclscTTTT)sin(),cos(321123321123 sc式中：式中：)sin(),cos(21122112 sc3.2.2 機器人運動學方程 為了說明上述位姿矩陣中各元素的作用，可寫為： 10000100001000123312211123123123312211123123 slslslcsclclclscpaonpaonpaonzzzzyyyyxxxx 同學們回想一下，這里向量N、O、A和P的含義。手部相對基座的位姿關(guān)節(jié)變量表示3.2.2 機器人運動學方程若用方程組形式表示，則為：若用方程組形式表示，則為： 123312211123312211123123123123 slslslpclclclpcososncnyxyxyx可見：用前置和后置兩種方法得到的該機器人的