醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)二項分布 課件

1、Medical statistics醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿2主要內(nèi)容l 數(shù)據(jù)分布l 二項分布2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿3數(shù)據(jù)分布l對于一組變量值，若以該變量為橫軸，數(shù)對于一組變量值，若以該變量為橫軸，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)( (或頻率或頻率) )為縱軸作圖，該數(shù)為縱軸作圖，該數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中呈一定的圖形，稱為數(shù)據(jù)的據(jù)在坐標(biāo)系中呈一定的圖形，稱為數(shù)據(jù)的分布。分布。 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿4數(shù)據(jù)分布l分布是統(tǒng)計方法產(chǎn)生的基礎(chǔ)分布是統(tǒng)計方法產(chǎn)生的基礎(chǔ)l常用的數(shù)據(jù)分布有正態(tài)分布、二項分布、常用的數(shù)據(jù)分布有正態(tài)分布、二項分布、Poisson分布等分布等2

2、022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿5二項分布(binomial distribution)l二分類資料：觀察對象的結(jié)局只有相互對二分類資料：觀察對象的結(jié)局只有相互對立的兩種結(jié)果。立的兩種結(jié)果。 例如：例如： 生存、死亡生存、死亡 陽性、陰性陽性、陰性 發(fā)病、不發(fā)病發(fā)病、不發(fā)病 治愈、未愈治愈、未愈2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿6先看一個例子已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時，已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時， 死亡概率死亡概率=80% 生存概率生存概率=20%每只鼠獨(dú)立做實驗，相互不受影響每只鼠獨(dú)立做實驗，相互不受影響若每組各用若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）只小白鼠（甲、乙、丙）

3、3只小白鼠的存亡方式符合二項分布只小白鼠的存亡方式符合二項分布2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿7你認(rèn)為實驗結(jié)果將會出現(xiàn)多少種可能的情況你認(rèn)為實驗結(jié)果將會出現(xiàn)多少種可能的情況?所有可能結(jié)果所有可能結(jié)果死亡數(shù)死亡數(shù)生存數(shù)生存數(shù)甲甲 乙乙 丙丙 n-生生 生生 生生03生生 生生 死死 生生 死死 生生12死死 生生 生生生生 死死 死死死死 生生 死死21死死 死死 生生死死 死死 死死30如果計算生與死的順序，則共有如果計算生與死的順序，則共有8種排列方式；如果只計生存與種排列方式；如果只計生存與死亡的數(shù)目，則只有死亡的數(shù)目，則只有4種組合方式。種組合方式。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講

4、稿8概率的乘法法則l幾個獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于各獨(dú)幾個獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于各獨(dú)立事件的概率之積立事件的概率之積 。l一個事件發(fā)生一個事件發(fā)生(的概率的概率)對另一個事件發(fā)生對另一個事件發(fā)生(的概率的概率)沒有影響，這兩個事件就是獨(dú)立事沒有影響，這兩個事件就是獨(dú)立事件。件。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿9例子l甲、乙射擊命中目標(biāo)的概率分別是甲、乙射擊命中目標(biāo)的概率分別是1/2與與1/3，求甲、乙各射擊一次，同時命中目標(biāo)的概求甲、乙各射擊一次，同時命中目標(biāo)的概率是多少率是多少?已知：已知： A甲命中目標(biāo)甲命中目標(biāo)，則，則P(A)=1/2 B乙命中目標(biāo)乙命中目標(biāo)，則，則P(B)=

5、1/3求求A、B同時發(fā)生的概率同時發(fā)生的概率P(AB)? P (AB) P(A) * P(B) 1/2 * 1/3 1/62022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿10概率的加法法則l互不相容事件互不相容事件和的概率等于各事件的概率和的概率等于各事件的概率之和。之和。l不可能同時發(fā)生的事件是不可能同時發(fā)生的事件是互不相容事件互不相容事件，又稱又稱互斥事件互斥事件。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿11例子l投擲一枚質(zhì)地均勻的馓子，求投擲一枚質(zhì)地均勻的馓子，求“數(shù)字?jǐn)?shù)字4朝上朝上”或或“數(shù)字?jǐn)?shù)字6朝上朝上”的概率的概率?已知：已知： A數(shù)字?jǐn)?shù)字4朝上朝上，則，則P(A)=1/6B數(shù)字?jǐn)?shù)字6朝上朝上，

6、則，則P(B)=1/6求求A或者或者B發(fā)生的概率發(fā)生的概率? P(AB) P(A) P(B) 1/61/61/32022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿12出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?l 3只小白鼠均生存的概率 P=0.2 0.2 0.2=0.008l 3只小白鼠2生1死的概率P1=0.2 0.2 0.8=0.032P2=0.2 0.8 0.2=0.032 P=0.096P3=0.8 0.2 0.2=0.0322022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿13出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?l 3只小白鼠2死1生的概率 P1=0.2 0.8 0.8=0.128 P2=0.8 0.2 0.8=0.128

7、P=0.384 P3=0.8 0.8 0.2=0.128l 3只小白鼠均死亡的概率 P=0.8 0.8 0.8=0.512 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿14所有可能結(jié)果所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率每種結(jié)果的概率 死亡數(shù)死亡數(shù) 生存數(shù)生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率不同死亡數(shù)的概率甲甲 乙乙 丙丙 n-生生 生生 生生0.20.20.2030.008生生 生生 死死 0.20.20.8生生 死死 生生0.20.80.2120.096死死 生生 生生0.80.20.2生生 死死 死死0.20.80.8死死 生生 死死0.80.20.8210.384死死 死死 生生0.80.80.2死死 死死 死死 0

8、.80.80.8300.51211.000(1)Xn XXnC 三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算(1)n XX 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿15 01111110(1)(1)(1)(1) (1)(1)nnnXn XXnnnnnnCCC 二項展開( 0.2 +0.8 )3 = 0.23 + 30.220.8 + 30.20.82 + 0.83生存生存概率概率死亡死亡概率概率 三生三生二生一死二生一死一生二死一生二死 三死三死對應(yīng)于二項展開式對應(yīng)于二項展開式：二項式展開式中的各項對應(yīng)于各死亡數(shù)(X)的概率P(X)，二項分布由此得名。

9、2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿16二項分布的定義 二項分布是指在只會產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如二項分布是指在只會產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽性陽性”或或“陰性陰性”之一的之一的n次獨(dú)立重復(fù)實次獨(dú)立重復(fù)實驗中，當(dāng)每次試驗驗中，當(dāng)每次試驗“陽性陽性”概率保持不變概率保持不變時，出現(xiàn)時，出現(xiàn)“陽性陽性”的次數(shù)的次數(shù) X=0，1，2， ，n的一種概率分布。的一種概率分布。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿17Page 17二項分布的定義l從陽性率為從陽性率為 的總體中隨機(jī)抽取含量為的總體中隨機(jī)抽取含量為n的的樣本，恰有樣本，恰有X例陽性的概率為：例陽性的概率為： 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的二項分布的

10、二項分布(Binomial Distribution)，記為：，記為：XB(n, )。其中參數(shù)。其中參數(shù) 常常是未知的，而常常是未知的，而n由實驗者確定。由實驗者確定。() (1),0,1,2,Xn XXnP XCXn2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿18如已知如已知n=3， =0.8，則恰有，則恰有1例陽性的概例陽性的概率率P(1)為：為： 096. 08 . 0) 8 . 01 ()!13 ( ! 1! 3)1 ( ) 1 (113111nnCP2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿19 例例已知某種動物關(guān)于某毒物的已知某種動物關(guān)于某毒物的50%致致死劑量死劑量(LD50)，現(xiàn)有，現(xiàn)有5只

11、這樣的動物注只這樣的動物注射了該劑量，試分別計算死亡動物數(shù)射了該劑量，試分別計算死亡動物數(shù)X0，l，2，3，4，5的概率。的概率。二項分布的概率2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿2005 005(0)(10.5)(0.5)0.03125PC15 115(1)(1 0.5)(0.5)0.15625PC25 225(2)(10.5)(0.5)0.31250PC35 335(3)(10.5)(0.5)0.31250PC45 445(4)(10.5)(0.5)0.15625PC55 555(5)(10.5)(0.5)0.03125PC二 項 分 布二項分布的概率2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿2

12、1二項分布的性質(zhì)l如果如果XB(n, )，則：，則： X的均數(shù)：的均數(shù)：X的方差：的方差：X的標(biāo)準(zhǔn)差：的標(biāo)準(zhǔn)差：2(1)(1)XXXnnn 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿22二項分布的性質(zhì)l 若均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對數(shù)而用率表示時若均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對數(shù)而用率表示時 221111(1)(1)11(1)(1)(1)pXpXpXpnnnnnnnnnnppsn 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿23 從陽性率為從陽性率為 的總體中隨機(jī)抽取的總體中隨機(jī)抽取n個個體，個個體，則則 最多有最多有k例陽性的概率：例陽性的概率： 二項分布的累計概率kkPPPXPkXP0)(.) 1 ()0()()(20

13、22-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿24 從陽性率為從陽性率為 的總體中隨機(jī)抽取的總體中隨機(jī)抽取n個個體，個個體，則則 最少有最少有k例陽性的概率：例陽性的概率： 二項分布的累計概率 )1(1 )()(kXPXPkXPnk其中，其中，X=0，1，2，k，n。)(11) 1(XPXXnXP2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿25二項分布的累計概率 例 據(jù)以往經(jīng)驗，用某藥治療小兒上呼吸道據(jù)以往經(jīng)驗，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為感染、支氣管炎，有效率為85%，今有，今有5個個患者用該藥治療，問：最多患者用該藥治療，問：最多1人有效的概人有效的概率為多少率為多少?至少至少3人有效的概率為

14、多少人有效的概率為多少?2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿26 本例本例 =0.85，l- =0.15，n =5，依題意，依題意， 最多最多1人有效的概率為人有效的概率為： 至少至少3人有效的概率為：人有效的概率為： 515 15P(X 1)(0)(1) 0.15(0.15)0.85 0.002227501PPCP(X3)=P(3)+P(4)+P(5)138178125. 0)85. 0()15. 0()35(35)3(32！P391504688. 0138178125. 085. 0185. 01335) 13()4( PP443705313. 085. 0)5(5P則 P(X3)=0.1

15、381781250.3915046880.443705313=0.9733881262022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿27三只小白鼠死亡的二項分布三只小白鼠死亡的二項分布(n=3, =0.8)二項分布的圖形2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿28某毒物的某毒物的50%致死劑量后致死劑量后5只動物死亡數(shù)的二項分布只動物死亡數(shù)的二項分布(n=5, =0.5 )二項分布的圖形2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿29二項分布的圖形 4 8 12 16 0 2 4 0 2 4 6 4 8 12 16 X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n =20 =0.5 n =5 =0.3 n =10 =0

16、.3 n =30 =0.3 P(X) 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿30二項分布的圖形 當(dāng)當(dāng) =0.5，分布對稱；當(dāng)，分布對稱；當(dāng) 0.5，分布呈偏態(tài)；，分布呈偏態(tài)； 當(dāng)當(dāng) 0.5時分布呈負(fù)偏時分布呈負(fù)偏態(tài)；特別是當(dāng)態(tài)；特別是當(dāng)n值不是很大時，值不是很大時， 偏離偏離0.5愈遠(yuǎn)，分愈遠(yuǎn)，分布愈偏。布愈偏。 隨著隨著n的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布。的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布。 一般地說，如果一般地說，如果n 和和n(1- )大于大于5時，?？捎谜龖B(tài)時，?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項分布問題。近似原理處理二項分布問題。 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿31二項分布的應(yīng)用條件l 各觀

17、察單位只能有互相對立的一種結(jié)果，各觀察單位只能有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等。如陽性或陰性，生存或死亡等。l 已知發(fā)生某一結(jié)果已知發(fā)生某一結(jié)果(如陰性如陰性)的概率的概率 不變，不變，其對立結(jié)果其對立結(jié)果(如陽性如陽性)的概率則為的概率則為1- 。l n次試驗在相同條件下進(jìn)行，且各觀察單位次試驗在相同條件下進(jìn)行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨(dú)立。的結(jié)果互相獨(dú)立。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿32率的抽樣誤差 =0.30101100001 p = 0.42022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿33率的抽樣誤差樣本號樣本號x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Xp10010010

18、10030.32010011100150.53001000000010.14010110000140.45100000010020.26000010011030.37100010100140.48000000101020.29111101001170.710010000000010.1從從 =0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量為中隨機(jī)抽樣，樣本含量為10的的 10份獨(dú)立樣本的樣本率份獨(dú)立樣本的樣本率2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿34率的抽樣誤差從 =0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量為10的10000個樣本率的頻率分布圖2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿35率的抽樣誤差從 =0.3中隨機(jī)抽樣，樣本含量

19、為100的10000個樣本率的頻率分布圖2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿36率的抽樣分布特點(diǎn)l當(dāng)總體率當(dāng)總體率 0.5時為負(fù)時為負(fù)偏態(tài)，當(dāng)偏態(tài)，當(dāng) =0.5時為對稱分布。時為對稱分布。l在在n較較大，且率大，且率 和和(1- )都不太小時即都不太小時即n 和和n(1- )均大于均大于5，率的抽樣分布近似正態(tài)分布。，率的抽樣分布近似正態(tài)分布。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿37率的標(biāo)準(zhǔn)誤 (1)ppn 樣本率的均數(shù)樣本率的均數(shù)樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差率的標(biāo)準(zhǔn)誤率的標(biāo)準(zhǔn)誤(1)pppsn 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿38率的可信區(qū)間估計 =?n, Xp=X/n2022-5-9柏

20、建嶺講稿柏建嶺講稿39n 較大時, 可用正態(tài)近似法： 率的率的 95%的的CI: 例例4.4 n=144, p=9.02%，X=13 9.02%1.962.388%=(0.0435, 0.1371) (4.35%, 13.71%) (1.96, 1.96)pppsps0.0902 (10.0902)/1440.02388ps 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿40n 較小時, 查表法(直接計算概率法) 例例4.5 n=29, X=1。p=3.4%. 查附表查附表6.1 百分率的可信區(qū)間百分率的可信區(qū)間 n=29 行行 X=1 列列 95%可信區(qū)間：可信區(qū)間： 0.117.8 (%)2022-

21、5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿41n 較小時, 查表法(直接計算概率法) 例例 n=10, X=8。p=80%. 先查先查n=10, X1=2。p1=20%. 得得95%可信區(qū)間為：可信區(qū)間為：(3%, 56%) 從而：從而： (1-56%, 1-3%)=(44%, 97%)2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿42率的可信區(qū)間的不對稱性 p10% p30% p50%n10 0.344.5 6.765.218.781.3n20 1.231.711.954.327.272.8n30 2.126.514.749.431.368.7n40 2.823.716.646.533.866.2n50 3.321.

22、817.944.635.564.52022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿43率的可信區(qū)間的性質(zhì) 只有只有 =0.5時是對稱的；時是對稱的； n越大，區(qū)間越窄；越大，區(qū)間越窄； 對同一對同一n， 越接近越接近0.5，分布越寬，越接近，分布越寬，越接近0或或1，分布越窄。，分布越窄。2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿44樣本率與總體率的比較( n 較大時)(1)ppun 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿45樣本率與總體率的比較( n 較大時) 例例7.1 020%, n=306, X=96，p=31.58% H0： = 0， 老年胃潰瘍病患者的胃出血率等于老年胃潰瘍病患者的胃出血率等于20%；

23、H1： 0， 老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于20%。單側(cè)單側(cè) =0.05。 2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿46樣本率與總體率的比較( n 較大時) P0.01，按，按 =0.05水準(zhǔn)拒絕水準(zhǔn)拒絕H0，接受，接受H1。 認(rèn)為老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于認(rèn)為老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于20%。05. 5304/ )2 . 01 (2 . 02 . 03158. 0u2022-5-9柏建嶺講稿柏建嶺講稿47兩樣本率的比較( n 較大時) 例例7.2 n1=84, X1=57; p1=67.9%;n2=47, X2=39; p2=83.0%.H0: 1 = 2; H1: 1 2 , =0.05 1212ppppus 2022-5-