2015年高考北京文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文科）第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項（1）【2015年北京，文1，5分】若集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故選A（2）【2015年北京，文2，5分】圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】由已知得，圓心為，半徑為，圓的方程為，故選D（3）【2015年北京，文3】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，為

2、偶函數(shù)，與為非奇非偶函數(shù)，故選B類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300（4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（ ）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300【答案】C【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的 人數(shù)為，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得，故選C（5）【2015年北京，文5，5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）

3、6【答案】B【解析】，輸出，故選B（6）【2015年北京，文6，5分】設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，由已知得，即，而當(dāng)時，還可能是，此時，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A（7）【2015年北京，文7，5分】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示：由三視圖可知，平面，是四棱錐最長的棱，故選C（8）【2015年北京，文8，5分】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況

4、加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每千米平均耗油量為（ ）（A）6升 （B）8升 （C）10升 （D）12升【答案】B【解析】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內(nèi)的耗油量，故耗油量升 而這段時間內(nèi)行駛的里程數(shù)千米 所以這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為升，故選B第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。（9）【2015年北京，文9，5分】復(fù)數(shù)的實部為 【答案】 【解析】復(fù)數(shù)，其實部為（10）【201

5、5年北京，文10，5分】，三個數(shù)中最大數(shù)的是 【答案】【解析】，所以最大（11）【2015年北京，文11，5分】在中，則_【答案】【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以（12）【2015年北京，文12，5分】已知是雙曲線（）的一個焦點(diǎn)，則 【答案】【解析】由題意知，所以（13）【2015年北京，文13，5分】如圖，及其內(nèi)部的點(diǎn)組 成的集合記為，為中任意一點(diǎn)，則的最大值為_【答案】7【解析】依題意，在點(diǎn)處取得最大值7（14）【2015年北京，文14，5分】高三年級位學(xué)生參加期末考試，某班位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生從這次考試成績看，在

6、甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生 是 ；在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目 是 【答案】乙、數(shù)學(xué)【解析】由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填乙由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績的排名更靠前，故填數(shù)學(xué) 三、解答題：共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（15）【2015年北京，文15，13分】已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最小值解：（1）的最小正周期為 （2）因為，所以，從而，即時，最小。所以在區(qū)間上的最小值

7、為（16）【2015年北京，文16，13分】已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項相等？解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為因為，所以又因為，所以，故所以 （2）設(shè)等比數(shù)列的公比為因為，所以，所以由，得所以與數(shù)列的第63項相等（17）【2015年北京，文17，13分】某超市隨機(jī)選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“×”表示未購買商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×

8、××（1）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？解：（1）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為（2）從統(tǒng)計表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為（3）與（1）同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丙的概率

9、可以估計為，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大（18）【2015年北京，文18，14分】如圖所示，在三棱錐中，平面平面，三角形為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積解：（1）依題意，分別為，的中點(diǎn)，則是的中位線，所以，平面，平面，故平面（2）因為，為的中點(diǎn)，所以又因為平面平面， 且平面，所以平面，所以平面平面（3）在等腰直角三角形中，所以所以等邊三角形的面積又因為平面，所以三棱錐C-VAB的體積等于又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為（19）【2

10、015年北京，文19，13分】設(shè)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn)解：（1）由函數(shù)，所以。從而；。 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因為存在零點(diǎn)，所以，從而當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn)綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn)（20）【2015年北京，文20，14分】已知橢圓，過點(diǎn)且不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的離心率；（2）若垂直于軸，求直線的斜率；（3）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由解：（1）橢圓