數學二串講2(導數與微分))

1、考研數學二串講考研數學二串講主講教師主講教師: :杜守旭杜守旭2 第二章 一、一、 導數和微分的概念及應用導數和微分的概念及應用二、二、 導數和微分的求法導數和微分的求法 導數與微分三、典型題型的解題方法與技巧三、典型題型的解題方法與技巧3一、一、 導數和微分的概念及應用導數和微分的概念及應用導數導數 : :0()( )( )limxf xxf xfxx 當當時時, ,為右導數為右導數當當時時, ,為左導數為左導數0 x)(xf0 x)(xf微分微分 : :d ( )( )df xfxx 可導與可微的概念可導與可微的概念：可導可導0limxyx 存在存在. .可微可微()yA xx 其中其中A

2、是與是與x 無關的常數無關的常數.特點是：特點是：“分分子一定一動，子一定一動，分母有左有右分母有左有右” ” 分子是函數值分子是函數值之差，之差， 分母是分母是相應的自變量相應的自變量之差，分母趨之差，分母趨于零的極限于零的極限. .能能4聯系聯系:xxfyxxd)(d00 區(qū)別：區(qū)別：可從定義式子；可從定義式子；實質；實質；幾何意義幾何意義三方面考察三方面考察.)(0 xf 是函數相對于自變量的是函數相對于自變量的變化率變化率.0dxxy 是相對于自變量改變量為是相對于自變量改變量為x 時，時，導數與微分的區(qū)別與聯系導數與微分的區(qū)別與聯系函數改變量函數改變量y 的的線性主部線性主部.即即0

3、0d.x xx xyy0000()lim,xfxxfxfxx 00ddx xyfxxxx0 xyo)(xfy 0 xyyd0()tankfx 當當y 是曲線的縱坐是曲線的縱坐標增量時，標增量時，dy就是切就是切 線縱坐標對應的增量線縱坐標對應的增量. .5可導與可微的區(qū)別與聯系可導與可微的區(qū)別與聯系:區(qū)別區(qū)別：可從定義式子；幾何意義兩方面考察：可從定義式子；幾何意義兩方面考察.可導可導0limxyx 存在存在. .可導可導一定有切線一定有切線 且切線不垂直于且切線不垂直于x軸軸.以直代曲以直代曲當當x 很小時，很小時，在在點點M的附近的附近，可用切線段近似地代替曲線段可用切線段近似地代替曲線段

4、. .可微可微聯系：聯系： 可微必可導，可微必可導，可導必可微可導必可微.可微可微()yA xx 其中其中A是與是與x 無關的常數無關的常數.能能xx0 xyo)(xfy 0 xyyd6 幾個定理幾個定理 00()()fxfxA定理定理1 Axf )(0( )f xx在在點點 處處可可導導定理定理2( )f xx在在點點 處處連連續(xù)續(xù)定理定理3在在)(xfy 0 x處可導處可導在在)(xfy 0 x處連續(xù)處連續(xù)在在)(xfy 0 x處的極限一定存在，處的極限一定存在， 即即)(lim0 xfxx存在存在.在在)(xfy 0 x可微可微可微可微可導可導連續(xù)連續(xù)有極限有極限有定義有定義( )yf

5、x 在點在點 可微可微 0 x( )yf x 在點在點 處可導處可導0 x700( )( )f xxfxx 函函數數在在 處處可可導導, ,能能否否有有在在 處處連連續(xù)續(xù)？21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 如如21(cos) ,00( ),0 xxxfxx ，0 x 在在處處可可導導, ,且且( )0fxx 則則在在處處連連續(xù)續(xù)嗎嗎？112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx 事事實實上上，0 x 在在不不連連續(xù)續(xù). .0(0)(0)(0)limxfxffx 思考：思考：00( )( )f xxfxx 結結論論：函函數數在在 處處可可導導, ,在在 處處不不一一定定連連

6、續(xù)續(xù)？201() cos0(0)limxxxfx 8應用應用 : :(1)(1) 利用導數定義解決的問題利用導數定義解決的問題 (2) (2) 用導數可求切線與法線的方程用導數可求切線與法線的方程4 4）用導數定義求極限；用導數定義求極限；2) 2) 求分段函數在分界點處的導數求分段函數在分界點處的導數 , ,及某些特殊及某些特殊函數在特殊點處的導數函數在特殊點處的導數; ;3) 3) 由導數定義證明一些命題；由導數定義證明一些命題；1) 1) 利用導數的定義求函數在某點處的導數；利用導數的定義求函數在某點處的導數；用導數可求變速直線運動的速度與加速度用導數可求變速直線運動的速度與加速度5 5

7、）判斷函數在某一點的可導性）判斷函數在某一點的可導性. .91）幾何應用）幾何應用(1)幾何意義：幾何意義：是是y=f(x)在點在點0()fx (2)切線、法線的方程：切線、法線的方程：切線的方程：切線的方程：法線的方程：法線的方程：000)(),(yyfxxx 0000(), ()1).(0yyxxfxfx 2）物理應用）物理應用d,dsvt 瞬時速度：瞬時速度：瞬時加速度：瞬時加速度：22dd.ddvsatt00(, ()xf x處切線的處切線的斜率斜率.例例1 曲線曲線L的極坐標方程為的極坐標方程為 ，則，則L在點在點 處的切線方程為處的切線方程為 (2014數學二數學二) r2,2)(

8、r,例例2 曲線曲線 上對應于上對應于 處的法線方處的法線方程為程為 （2013數學二）數學二）21lnarctantytx1t11二、二、 導數和微分的求法（微分法）導數和微分的求法（微分法）1. 正確使用導數及微分公式（正確使用導數及微分公式（16個）和法則（四則個）和法則（四則法則；鎖鏈法則；反函數求導法則）法則；鎖鏈法則；反函數求導法則） 2. 熟練掌握求導方法和技巧熟練掌握求導方法和技巧(1) 求分段函數的導數求分段函數的導數注意討論分注意討論分界點界點處左右導數是否存在和相等處左右導數是否存在和相等(2) 隱函數求導法隱函數求導法(直接法、微分法）直接法、微分法） (3) 參數方程

9、求導法（復合函數法、微商法）參數方程求導法（復合函數法、微商法）(5) 復合函數求導法復合函數求導法 (可利用微分形式不變性可利用微分形式不變性)(6) 高階導數的求法高階導數的求法 （逐次求導歸納（逐次求導歸納 ;間接求導法）間接求導法）(4) 對數函數求導法（對多個因式的積商、乘方開方對數函數求導法（對多個因式的積商、乘方開方及冪指函數有用）及冪指函數有用）12 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xa

10、axln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x3.3.常數和基本初等函數的導數及法則常數和基本初等函數的導數及法則13有限次四則運算的求導法則（注意條件）有限次四則運算的求導法則（注意條件） )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數為常數 )0( v復合函數求導法則復合函數求導法則（注意條件）（注意條件）)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd1 1 ( )( )fxfy d 1 dddyxxy 或或反函數的求導法則反函數的求導法則（注意條件）

11、（注意條件）初等函數在定義區(qū)間內可導初等函數在定義區(qū)間內可導,且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數.注意注意:,)(vuuvvuvu144.高階導數高階導數如果函數如果函數)(xf的導數的導數)(xf 在點在點x處處，即即( )fx 0()( )limxfxxfxx 則稱則稱( )fx為函數為函數)(xf在點在點x處的處的記作記作一般地，一般地，)(xf( )f x2222dd( )( ),.ddyf xfxyxx( )( )dd( )( ),.ddnnnnnnyf xfxyxx相應地，相應地，)(xf稱為稱為，)(xf 15( )(1)nuv ( )( )nnuv，()(2)()nCu( )

12、nCu (C為常數為常數)直接法和間接法直接法和間接法(3)乘積乘積( )( )1(1)()( )( )().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 該公式稱為該公式稱為萊布尼茲公式，萊布尼茲公式，它和二項式公式有類似的記憶它和二項式公式有類似的記憶11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v ()()()0!().!()!nnknkkknnknu vC uvCknk 其其中中3)高階導數的高階導數的基本公式基本公式()()xnxee ()(sin)sin(),2nnxx ()(cos)cos(),2nnxx ()1(1)!ln(1)( 1),(1)nn

13、nnxx ()()(1)(2).(1),nnxnx ()()!nnxn ( )()(ln )xnnxaaa 161.有以上公式與法則，我們就可以對各類函數有以上公式與法則，我們就可以對各類函數（顯函數；隱函數；參數方程表達的函數；分（顯函數；隱函數；參數方程表達的函數；分段函數等）求各階段函數等）求各階導導(函）數函）數及及微分微分.2.求導時應認清結構及變量之間的關系求導時應認清結構及變量之間的關系.3.求導時應認清誰是自變量誰是函數求導時應認清誰是自變量誰是函數.對哪一個變量求導對哪一個變量求導.4.應正確使用符號應正確使用符號.如如 04404ddd;dddx xfxyyy yfxfxf

14、xyxxx說明說明 ： 22ddd()dddyyyfxxxx如如：符號符號 的優(yōu)點的優(yōu)點:ddyx1.表示導數時能顯示誰是函數誰是表示導數時能顯示誰是函數誰是自變量自變量2.表示微分時有商的含義，故表示微分時有商的含義，故3.隱含著微分形式的不變性隱含著微分形式的不變性1ddddyxxyd( )dyxd( )dyfuu17例例3.設設)(0 xf 存在存在,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: 原式原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf ( )f xx a在在 處可導處可導( )( )limxaf xf axa存存在在三、典型題型的解

15、題方法及技巧三、典型題型的解題方法及技巧題型題型1：已知導數求極限：已知導數求極限0()( )limxf axf ax 存存在在. .一般的若一般的若)(0 xf 存在存在 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh0000()()()limxf xxf xfxx 180lim hhhxf2)(00()f xhhxf2)( 0)(0 xf01()2fx 001()()2fxfx00000022()()()()limlim()hhf xhf xf xhf xhh 0002()()limhf xhf xhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在

16、 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()()lim()hf xhf xhfxh19例例4.設設1000cos ( ) xf xxx，討論，討論 在在 處的可導性，處的可導性，( )f x0 x 并求并求0002()()lim.hfhfhh解解: 001lim( )limcosxxf xx不存在不存在0( )f xx在在不連續(xù)，從而不可導不連續(xù)，從而不可導.但是但是001100022coscos()()limlim.hhfhfhhhhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()

17、()lim()hf xhf xhfxh20例例5.若若0) 1 (f且且) 1 (f 存在存在 , 求求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx且且0) 1 (f聯想到湊導數的定義式聯想到湊導數的定義式220(sincos )limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 000 ()lim xff xx0().fx21例例6.設設)(xf在在2x處連續(xù)處連續(xù),且且, 32)(lim2xxfx求求. )2(f 解解:)

18、2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3 limxafxf axa存存在在 fxxa在在處可導，即處可導，即 limxafxf axa存存在在 fxxa在在處右可導，即處右可導，即 .fa存存在在 .fa存存在在題型題型2：已知極限求導數：已知極限求導數 0000 ()()lim xff xfxx22在在 處可導的一個充分條件是（處可導的一個充分條件是（ ）練習練習 設設D在在xa的某個鄰域內有定義，則的某個鄰域內有定義，則( )f x( )f xxa1( ) lim ()( )hAh f af ah存存在在；0

19、(2 )()( )limhf ahf ahBh存存在在；0()()( )lim2hf ahf ahCh存存在在；0( )()()limhf af ahDh存存在在. .11()( )limhf af ahh存存在在0()( )limtf atf at存存在在 0limtf atf at存存在在 fxxa在在處可導處可導0()( )limhf ahf ah存存在在0()( )limtf atf at存存在在23題型3：利用導數的定義求函數在某點的導數提示：以下情況必須用導數的定義求導數提示：以下情況必須用導數的定義求導數1）求分段函數在分界點處的導數時；2）不符合求導法則的條件時3）表達式中的抽

20、象函數的可導性未知時就不能盲目的 用求導法則30sin yxxx在在 0000limxfxffx30sinlimxxxx0例例7.求求處的導數處的導數.解解:注意：可導注意：可導 可導可導=可導；可導可導；可導 不可導就不一定可導不可導就不一定可導.注意：可導注意：可導 可導可導=可導；可導可導；可導 不可導就一定不可導不可導就一定不可導.33213sincos yxxxx24設設 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af )(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axa

21、fxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例8.解解:注意：注意：求導法則的成立是有條件的求導法則的成立是有條件的.25)(xf設設0,( )f xx 討討論論在在解解:因為因為)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0例例9.所以所以 )(xf0 x在在處連續(xù)處連續(xù). 即即)(xf0 x在在處可導處可導 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導性處的連續(xù)性及可導性. xxxx120sinlim0) 0 ( f注：注： 判斷可導性的方法判斷可導性的

22、方法不連續(xù)不連續(xù),一定不可導一定不可導.連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等.2621cos,0:( ),0,0 xxf xxx 又又如如112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00, lim(2 cossin)xxxxx不不存存在在，(0).f 不不存存在在 (0).f 實實際際上上是是存存在在的的000( )( )( )limxf xffx因因為為2010coslimxxxx0故故 分段函數分界點處的導數必須用導數的定義求；分段函數分界點處的導數必須用導數的定義求；非分界點處的導數用公式與法則求導非分界

23、點處的導數用公式與法則求導.000( )( )( )limxf xffx且且02712990( )()()(),( ).f xx xxxf設設求求 解解: 方法方法1 利用導數定義利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f 28例例11 證明：證明：20.( )f xx若若在在 處可導且為偶函數處可導且為偶函數00( )f1. ( ) ( )f xf x是是周周奇奇（）函函數數是是偶偶、奇奇、期期周周偶偶( (函函數數

24、期期) )證明：證明：定義法定義法()( )fxf x 0()()()limxfxxfxfxx 0()( )limxf xxf xx 0()( )limxfxxf xx ( )fx公式法公式法()( )fxf x ()( )fxf x 即即()()( )fxxfx ()( )fxfx題型題型4 4：利用導數的定義證明導函數的性質：利用導數的定義證明導函數的性質29思考：思考：05數一、二，數一、二，4分分 設設F(x)的導數是的導數是f(x) ，MN表示表示“M的充分必要條件是的充分必要條件是N”，則必有，則必有 (B) F(x)是奇函數是奇函數f(x)是偶函數是偶函數.(A) F(x)是偶函

25、數是偶函數f(x)是奇函數是奇函數.f(x)是周期函數是周期函數. (C) F(x)是周期函數是周期函數f(x)是單調函數是單調函數.(D) F(x)是單調函數是單調函數 A ( )( )Fxf x 2( )f xx3( )F xx1( )cosf xx ( )4( 1)2,f xf 設設是是以以 為為周周期期的的函函數數且且練練習習：0lim .(34 )(3)hhfhf 則則( )4( )4f xfx 是是以以 為為周周期期的的函函數數是是以以 為為提提示示：周周期期的的函函數數01lim(34 )(3)4(3)hhfhff 則則30解解sin( ) sinxxyeesin( sin)xx

26、ee ( )sinxesin( )xe sinxecos x cosxexe 題型題型5：求各類函數的導數及微分：求各類函數的導數及微分例例12 求下列函數的導數求下列函數的導數1(arct()an )xf1(arctan )xf 22111()1xx 關鍵關鍵: 搞清函數的運算結構搞清函數的運算結構 ，對復合函數結構對復合函數結構 應由外向內逐層求導應由外向內逐層求導.11sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 3111sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 另解另解:yd)d(sinsin xxee

27、)d(sinsinxxee)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee21111(arctan )d( )1xxxf xexexxd) sin(cossin2111(arctan )dxxfx ddyyx xxee cos ddyfuu211d()dxxx 解解:aaaxln1axaaaxaln20.(),.aaxaxayxaaay求求 aaxln2sin111(cossin cos )(arctan )xxxxxxexeeef 32cos3. (cos ) ,xxyxxy 求求解：解：coslnln(cos),xxxxyeec

28、osln (cosln )xxyexxcoscos( sinln)xxxxxx(cos ) ln(cos )( tan )xxxxxln(cos) ln(cos )xxexx 0( )( )( )( ( )v xf xu xu x)(ln)()(lnxuxvxf 然后用然后用求導求導.變形為變形為( )ln ( )( ),v xu xf xe然后用然后用求導求導.33例例13.解：解：.sincos33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxddddddyytxxt)sin(cos3cossin322ttatta ttan 22dddd()ddddyyyxxxx)

29、cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 3costanxatyt 求導小技巧：先變形再求導求導小技巧：先變形再求導34注：注：由參數方程所確定的導數的求導法：由參數方程所確定的導數的求導法：1( )yx 則則可可導導若參數方程若參數方程( )( )xtyt 可確定一個可確定一個 y 與與 x 之間的函數之間的函數( ),( )tt可導可導, 且且關系關系,0( ) t 時時，法法1：由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得ddddddytyxxt txtydd1dd .)()(tt txtyxydddddd 即即22ddddddyytxxt 法法2：由

30、微商及微分的計算求導由微商及微分的計算求導ddyyxx把把看看成成是是函函數數 的的微微分分及及自自變變量量 的的微微分分之之商商, , yxt求求出出dddd 代代入入約約去去d d 即即可可. .22d( )d( )ytxt d( ),d( )ytxt ?已知已知注意注意 :對誰求導對誰求導?35單值可導隱函數單值可導隱函數( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos01sinyxeyx( )yy x公式法：公式法：10sinxyexy 例例設設14.14.在點在點(0,0)某鄰域某鄰域可確定一個可確定一個dd0yx

31、 x sin10 xyexycosdyy 兩邊微分兩邊微分1dxex dy x d0 x ycos(0,0)xeyyx 微分法：微分法：22d()codsxxyyxeyx 2()(cos)() (cos)(cos)xxxxeyyxeyyxyx 2() (cos)() ( sin1)(cos)xxxxeyyxeyy yyx 001,xyy時時 220d3dxyx 360 xysin10 xyexyyycos兩邊對兩邊對 x 求導求導1xey0 yx)0 , 0(cosxyyex直接求導法：直接求導法：yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此時注意此時01,yy 0 yxyyex兩

32、邊對兩邊對 x 求導求導小技巧小技巧單值可導隱函數單值可導隱函數( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求10sinxyexy 例例設設14.14.在點在點(0,0)某鄰域某鄰域可確定一個可確定一個22d3d0yxx d?dxy2200d( )(,),.dyxyyf xyx xyx設設函函數數由由方方程程所所確確定定 求求思思考考: :提示：提示： 兩邊取對數兩邊取對數,ln1ln1xyyx lnln ,yyxx 即即37例例15. 設設2111()()( )limn xn xnx eaxbf xe試確定常數試確定常數 a , b 使使 f (x) 處處可導處處可導,并求并求( ).fx解：解： )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x1,x 時時( );fxa1x 時時，2( ).fxx) 1 ()1 ()1 (fff得可導必連續(xù)得可導必連續(xù)1( )f xx 利利用用在在處處可可導導，即即ba1) 1(21ba) 1 () 1 (ff000lim;lim.xxxxee 381111( )( )(