數(shù)學(xué)二串講2(導(dǎo)數(shù)與微分))

1、考研數(shù)學(xué)二串講考研數(shù)學(xué)二串講主講教師主講教師: :杜守旭杜守旭2 第二章 一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)和微分的求法 導(dǎo)數(shù)與微分三、典型題型的解題方法與技巧三、典型題型的解題方法與技巧3一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) : :0()( )( )limxf xxf xfxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,為右導(dǎo)數(shù)為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,為左導(dǎo)數(shù)為左導(dǎo)數(shù)0 x)(xf0 x)(xf微分微分 : :d ( )( )df xfxx 可導(dǎo)與可微的概念可導(dǎo)與可微的概念：可導(dǎo)可導(dǎo)0limxyx 存在存在. .可微可微()yA xx 其中其中A

2、是與是與x 無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù).特點(diǎn)是：特點(diǎn)是：“分分子一定一動(dòng)，子一定一動(dòng)，分母有左有右分母有左有右” ” 分子是函數(shù)值分子是函數(shù)值之差，之差， 分母是分母是相應(yīng)的自變量相應(yīng)的自變量之差，分母趨之差，分母趨于零的極限于零的極限. .能能4聯(lián)系聯(lián)系:xxfyxxd)(d00 區(qū)別：區(qū)別：可從定義式子；可從定義式子；實(shí)質(zhì)；實(shí)質(zhì)；幾何意義幾何意義三方面考察三方面考察.)(0 xf 是函數(shù)相對(duì)于自變量的是函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率變化率.0dxxy 是相對(duì)于自變量改變量為是相對(duì)于自變量改變量為x 時(shí)，時(shí)，導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別與聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)改變量函數(shù)改變量y 的的線(xiàn)性主部線(xiàn)性主部.即即0

3、0d.x xx xyy0000()lim,xfxxfxfxx 00ddx xyfxxxx0 xyo)(xfy 0 xyyd0()tankfx 當(dāng)當(dāng)y 是曲線(xiàn)的縱坐是曲線(xiàn)的縱坐標(biāo)增量時(shí)，標(biāo)增量時(shí)，dy就是切就是切 線(xiàn)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量線(xiàn)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量. .5可導(dǎo)與可微的區(qū)別與聯(lián)系可導(dǎo)與可微的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別區(qū)別：可從定義式子；幾何意義兩方面考察：可從定義式子；幾何意義兩方面考察.可導(dǎo)可導(dǎo)0limxyx 存在存在. .可導(dǎo)可導(dǎo)一定有切線(xiàn)一定有切線(xiàn) 且切線(xiàn)不垂直于且切線(xiàn)不垂直于x軸軸.以直代曲以直代曲當(dāng)當(dāng)x 很小時(shí)，很小時(shí)，在在點(diǎn)點(diǎn)M的附近的附近，可用切線(xiàn)段近似地代替曲線(xiàn)段可用切線(xiàn)段近似地代替曲線(xiàn)段

4、. .可微可微聯(lián)系：聯(lián)系： 可微必可導(dǎo)，可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)必可微可導(dǎo)必可微.可微可微()yA xx 其中其中A是與是與x 無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù).能能xx0 xyo)(xfy 0 xyyd6 幾個(gè)定理幾個(gè)定理 00()()fxfxA定理定理1 Axf )(0( )f xx在在點(diǎn)點(diǎn) 處處可可導(dǎo)導(dǎo)定理定理2( )f xx在在點(diǎn)點(diǎn) 處處連連續(xù)續(xù)定理定理3在在)(xfy 0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在)(xfy 0 x處連續(xù)處連續(xù)在在)(xfy 0 x處的極限一定存在，處的極限一定存在， 即即)(lim0 xfxx存在存在.在在)(xfy 0 x可微可微可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)有極限有極限有定義有定義( )yf

5、x 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微 0 x( )yf x 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo)0 x700( )( )f xxfxx 函函數(shù)數(shù)在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,能能否否有有在在 處處連連續(xù)續(xù)？21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 如如21(cos) ,00( ),0 xxxfxx ，0 x 在在處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且( )0fxx 則則在在處處連連續(xù)續(xù)嗎嗎？112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx 事事實(shí)實(shí)上上，0 x 在在不不連連續(xù)續(xù). .0(0)(0)(0)limxfxffx 思考：思考：00( )( )f xxfxx 結(jié)結(jié)論論：函函數(shù)數(shù)在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,在在 處處不不一一定定連連

6、續(xù)續(xù)？201() cos0(0)limxxxfx 8應(yīng)用應(yīng)用 : :(1)(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問(wèn)題 (2) (2) 用導(dǎo)數(shù)可求切線(xiàn)與法線(xiàn)的方程用導(dǎo)數(shù)可求切線(xiàn)與法線(xiàn)的方程4 4）用導(dǎo)數(shù)定義求極限；用導(dǎo)數(shù)定義求極限；2) 2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , ,及某些特殊及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù); ;3) 3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題；由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題；1) 1) 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；用導(dǎo)數(shù)可求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度與加速度用導(dǎo)數(shù)可求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度與加速度5 5

7、）判斷函數(shù)在某一點(diǎn)的可導(dǎo)性）判斷函數(shù)在某一點(diǎn)的可導(dǎo)性. .91）幾何應(yīng)用）幾何應(yīng)用(1)幾何意義：幾何意義：是是y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)0()fx (2)切線(xiàn)、法線(xiàn)的方程：切線(xiàn)、法線(xiàn)的方程：切線(xiàn)的方程：切線(xiàn)的方程：法線(xiàn)的方程：法線(xiàn)的方程：000)(),(yyfxxx 0000(), ()1).(0yyxxfxfx 2）物理應(yīng)用）物理應(yīng)用d,dsvt 瞬時(shí)速度：瞬時(shí)速度：瞬時(shí)加速度：瞬時(shí)加速度：22dd.ddvsatt00(, ()xf x處切線(xiàn)的處切線(xiàn)的斜率斜率.例例1 曲線(xiàn)曲線(xiàn)L的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 ，則，則L在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為處的切線(xiàn)方程為 (2014數(shù)學(xué)二數(shù)學(xué)二) r2,2)(

8、r,例例2 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于 處的法線(xiàn)方處的法線(xiàn)方程為程為 （2013數(shù)學(xué)二）數(shù)學(xué)二）21lnarctantytx1t11二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法（微分法）導(dǎo)數(shù)和微分的求法（微分法）1. 正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式（正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式（16個(gè)）和法則（四則個(gè)）和法則（四則法則；鎖鏈法則；反函數(shù)求導(dǎo)法則）法則；鎖鏈法則；反函數(shù)求導(dǎo)法則） 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論分注意討論分界點(diǎn)界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法(直接法、微分法）直接法、微分法） (3) 參數(shù)方程

9、求導(dǎo)法（復(fù)合函數(shù)法、微商法）參數(shù)方程求導(dǎo)法（復(fù)合函數(shù)法、微商法）(5) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 (可利用微分形式不變性可利用微分形式不變性)(6) 高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)的求法 （逐次求導(dǎo)歸納（逐次求導(dǎo)歸納 ;間接求導(dǎo)法）間接求導(dǎo)法）(4) 對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法（對(duì)多個(gè)因式的積商、乘方開(kāi)方對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法（對(duì)多個(gè)因式的積商、乘方開(kāi)方及冪指函數(shù)有用）及冪指函數(shù)有用）12 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xa

10、axln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x3.3.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及法則常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及法則13有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則（注意條件）有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則（注意條件） )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù)為常數(shù) )0( v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（注意條件）（注意條件）)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd1 1 ( )( )fxfy d 1 dddyxxy 或或反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意條件）

11、（注意條件）初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).注意注意:,)(vuuvvuvu144.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xf 在點(diǎn)在點(diǎn)x處處，即即( )fx 0()( )limxfxxfxx 則稱(chēng)則稱(chēng)( )fx為函數(shù)為函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x處的處的記作記作一般地，一般地，)(xf( )f x2222dd( )( ),.ddyf xfxyxx( )( )dd( )( ),.ddnnnnnnyf xfxyxx相應(yīng)地，相應(yīng)地，)(xf稱(chēng)為稱(chēng)為，)(xf 15( )(1)nuv ( )( )nnuv，()(2)()nCu( )

12、nCu (C為常數(shù)為常數(shù))直接法和間接法直接法和間接法(3)乘積乘積( )( )1(1)()( )( )().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 該公式稱(chēng)為該公式稱(chēng)為萊布尼茲公式，萊布尼茲公式，它和二項(xiàng)式公式有類(lèi)似的記憶它和二項(xiàng)式公式有類(lèi)似的記憶11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v ()()()0!().!()!nnknkkknnknu vC uvCknk 其其中中3)高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的基本公式基本公式()()xnxee ()(sin)sin(),2nnxx ()(cos)cos(),2nnxx ()1(1)!ln(1)( 1),(1)nn

13、nnxx ()()(1)(2).(1),nnxnx ()()!nnxn ( )()(ln )xnnxaaa 161.有以上公式與法則，我們就可以對(duì)各類(lèi)函數(shù)有以上公式與法則，我們就可以對(duì)各類(lèi)函數(shù)（顯函數(shù)；隱函數(shù)；參數(shù)方程表達(dá)的函數(shù)；分（顯函數(shù)；隱函數(shù)；參數(shù)方程表達(dá)的函數(shù)；分段函數(shù)等）求各階段函數(shù)等）求各階導(dǎo)導(dǎo)(函）數(shù)函）數(shù)及及微分微分.2.求導(dǎo)時(shí)應(yīng)認(rèn)清結(jié)構(gòu)及變量之間的關(guān)系求導(dǎo)時(shí)應(yīng)認(rèn)清結(jié)構(gòu)及變量之間的關(guān)系.3.求導(dǎo)時(shí)應(yīng)認(rèn)清誰(shuí)是自變量誰(shuí)是函數(shù)求導(dǎo)時(shí)應(yīng)認(rèn)清誰(shuí)是自變量誰(shuí)是函數(shù).對(duì)哪一個(gè)變量求導(dǎo)對(duì)哪一個(gè)變量求導(dǎo).4.應(yīng)正確使用符號(hào)應(yīng)正確使用符號(hào).如如 04404ddd;dddx xfxyyy yfxfxf

14、xyxxx說(shuō)明說(shuō)明 ： 22ddd()dddyyyfxxxx如如：符號(hào)符號(hào) 的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn):ddyx1.表示導(dǎo)數(shù)時(shí)能顯示誰(shuí)是函數(shù)誰(shuí)是表示導(dǎo)數(shù)時(shí)能顯示誰(shuí)是函數(shù)誰(shuí)是自變量自變量2.表示微分時(shí)有商的含義，故表示微分時(shí)有商的含義，故3.隱含著微分形式的不變性隱含著微分形式的不變性1ddddyxxyd( )dyxd( )dyfuu17例例3.設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: 原式原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf ( )f xx a在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo)( )( )limxaf xf axa存存在在三、典型題型的解

15、題方法及技巧三、典型題型的解題方法及技巧題型題型1：已知導(dǎo)數(shù)求極限：已知導(dǎo)數(shù)求極限0()( )limxf axf ax 存存在在. .一般的若一般的若)(0 xf 存在存在 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh0000()()()limxf xxf xfxx 180lim hhhxf2)(00()f xhhxf2)( 0)(0 xf01()2fx 001()()2fxfx00000022()()()()limlim()hhf xhf xf xhf xhh 0002()()limhf xhf xhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在

16、 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()()lim()hf xhf xhfxh19例例4.設(shè)設(shè)1000cos ( ) xf xxx，討論，討論 在在 處的可導(dǎo)性，處的可導(dǎo)性，( )f x0 x 并求并求0002()()lim.hfhfhh解解: 001lim( )limcosxxf xx不存在不存在0( )f xx在在不連續(xù)，從而不可導(dǎo)不連續(xù)，從而不可導(dǎo).但是但是001100022coscos()()limlim.hhfhfhhhhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()

17、()lim()hf xhf xhfxh20例例5.若若0) 1 (f且且) 1 (f 存在存在 , 求求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx且且0) 1 (f聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式220(sincos )limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 000 ()lim xff xx0().fx21例例6.設(shè)設(shè))(xf在在2x處連續(xù)處連續(xù),且且, 32)(lim2xxfx求求. )2(f 解解:)

18、2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3 limxafxf axa存存在在 fxxa在在處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即 limxafxf axa存存在在 fxxa在在處右可導(dǎo)，即處右可導(dǎo)，即 .fa存存在在 .fa存存在在題型題型2：已知極限求導(dǎo)數(shù)：已知極限求導(dǎo)數(shù) 0000 ()()lim xff xfxx22在在 處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（ ）練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè)D在在xa的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則( )f x( )f xxa1( ) lim ()( )hAh f af ah存存在在；0

19、(2 )()( )limhf ahf ahBh存存在在；0()()( )lim2hf ahf ahCh存存在在；0( )()()limhf af ahDh存存在在. .11()( )limhf af ahh存存在在0()( )limtf atf at存存在在 0limtf atf at存存在在 fxxa在在處可導(dǎo)處可導(dǎo)0()( )limhf ahf ah存存在在0()( )limtf atf at存存在在23題型3：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)提示：以下情況必須用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)提示：以下情況必須用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)1）求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)；2）不符合求導(dǎo)法則的條件時(shí)3）表達(dá)式中的抽

20、象函數(shù)的可導(dǎo)性未知時(shí)就不能盲目的 用求導(dǎo)法則30sin yxxx在在 0000limxfxffx30sinlimxxxx0例例7.求求處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).解解:注意：可導(dǎo)注意：可導(dǎo) 可導(dǎo)可導(dǎo)=可導(dǎo)；可導(dǎo)可導(dǎo)；可導(dǎo) 不可導(dǎo)就不一定可導(dǎo)不可導(dǎo)就不一定可導(dǎo).注意：可導(dǎo)注意：可導(dǎo) 可導(dǎo)可導(dǎo)=可導(dǎo)；可導(dǎo)可導(dǎo)；可導(dǎo) 不可導(dǎo)就一定不可導(dǎo)不可導(dǎo)就一定不可導(dǎo).33213sincos yxxxx24設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af )(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axa

21、fxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例8.解解:注意：注意：求導(dǎo)法則的成立是有條件的求導(dǎo)法則的成立是有條件的.25)(xf設(shè)設(shè)0,( )f xx 討討論論在在解解:因?yàn)橐驗(yàn)?(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0例例9.所以所以 )(xf0 x在在處連續(xù)處連續(xù). 即即)(xf0 x在在處可導(dǎo)處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導(dǎo)性處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. xxxx120sinlim0) 0 ( f注：注： 判斷可導(dǎo)性的方法判斷可導(dǎo)性的

22、方法不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2621cos,0:( ),0,0 xxf xxx 又又如如112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00, lim(2 cossin)xxxxx不不存存在在，(0).f 不不存存在在 (0).f 實(shí)實(shí)際際上上是是存存在在的的000( )( )( )limxf xffx因因?yàn)闉?010coslimxxxx0故故 分段函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必須用導(dǎo)數(shù)的定義求；分段函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必須用導(dǎo)數(shù)的定義求；非分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)用公式與法則求導(dǎo)非分界

23、點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)用公式與法則求導(dǎo).000( )( )( )limxf xffx且且02712990( )()()(),( ).f xx xxxf設(shè)設(shè)求求 解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f 28例例11 證明：證明：20.( )f xx若若在在 處可導(dǎo)且為偶函數(shù)處可導(dǎo)且為偶函數(shù)00( )f1. ( ) ( )f xf x是是周周奇奇（）函函數(shù)數(shù)是是偶偶、奇奇、期期周周偶偶( (函函數(shù)數(shù)

24、期期) )證明：證明：定義法定義法()( )fxf x 0()()()limxfxxfxfxx 0()( )limxf xxf xx 0()( )limxfxxf xx ( )fx公式法公式法()( )fxf x ()( )fxf x 即即()()( )fxxfx ()( )fxfx題型題型4 4：利用導(dǎo)數(shù)的定義證明導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)：利用導(dǎo)數(shù)的定義證明導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)29思考：思考：05數(shù)一、二，數(shù)一、二，4分分 設(shè)設(shè)F(x)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是f(x) ，MN表示表示“M的充分必要條件是的充分必要條件是N”，則必有，則必有 (B) F(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).(A) F(x)是偶函

25、數(shù)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù). (C) F(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).(D) F(x)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù) A ( )( )Fxf x 2( )f xx3( )F xx1( )cosf xx ( )4( 1)2,f xf 設(shè)設(shè)是是以以 為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)且且練練習(xí)習(xí)：0lim .(34 )(3)hhfhf 則則( )4( )4f xfx 是是以以 為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以 為為提提示示：周周期期的的函函數(shù)數(shù)01lim(34 )(3)4(3)hhfhff 則則30解解sin( ) sinxxyeesin( sin)xx

26、ee ( )sinxesin( )xe sinxecos x cosxexe 題型題型5：求各類(lèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分：求各類(lèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分例例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1(arct()an )xf1(arctan )xf 22111()1xx 關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清函數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)搞清函數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu) ，對(duì)復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 應(yīng)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)應(yīng)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).11sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 3111sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 另解另解:yd)d(sinsin xxee

27、)d(sinsinxxee)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee21111(arctan )d( )1xxxf xexexxd) sin(cossin2111(arctan )dxxfx ddyyx xxee cos ddyfuu211d()dxxx 解解:aaaxln1axaaaxaln20.(),.aaxaxayxaaay求求 aaxln2sin111(cossin cos )(arctan )xxxxxxexeeef 32cos3. (cos ) ,xxyxxy 求求解：解：coslnln(cos),xxxxyeec

28、osln (cosln )xxyexxcoscos( sinln)xxxxxx(cos ) ln(cos )( tan )xxxxxln(cos) ln(cos )xxexx 0( )( )( )( ( )v xf xu xu x)(ln)()(lnxuxvxf 然后用然后用求導(dǎo)求導(dǎo).變形為變形為( )ln ( )( ),v xu xf xe然后用然后用求導(dǎo)求導(dǎo).33例例13.解：解：.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxddddddyytxxt)sin(cos3cossin322ttatta ttan 22dddd()ddddyyyxxxx)

29、cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 3costanxatyt 求導(dǎo)小技巧：先變形再求導(dǎo)求導(dǎo)小技巧：先變形再求導(dǎo)34注：注：由參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法：由參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法：1( )yx 則則可可導(dǎo)導(dǎo)若參數(shù)方程若參數(shù)方程( )( )xtyt 可確定一個(gè)可確定一個(gè) y 與與 x 之間的函數(shù)之間的函數(shù)( ),( )tt可導(dǎo)可導(dǎo), 且且關(guān)系關(guān)系,0( ) t 時(shí)時(shí)，法法1：由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得ddddddytyxxt txtydd1dd .)()(tt txtyxydddddd 即即22ddddddyytxxt 法法2：由

30、微商及微分的計(jì)算求導(dǎo)由微商及微分的計(jì)算求導(dǎo)ddyyxx把把看看成成是是函函數(shù)數(shù) 的的微微分分及及自自變變量量 的的微微分分之之商商, , yxt求求出出dddd 代代入入約約去去d d 即即可可. .22d( )d( )ytxt d( ),d( )ytxt ?已知已知注意注意 :對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)?35單值可導(dǎo)隱函數(shù)單值可導(dǎo)隱函數(shù)( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos01sinyxeyx( )yy x公式法：公式法：10sinxyexy 例例設(shè)設(shè)14.14.在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)某鄰域某鄰域可確定一個(gè)可確定一個(gè)dd0yx

31、 x sin10 xyexycosdyy 兩邊微分兩邊微分1dxex dy x d0 x ycos(0,0)xeyyx 微分法：微分法：22d()codsxxyyxeyx 2()(cos)() (cos)(cos)xxxxeyyxeyyxyx 2() (cos)() ( sin1)(cos)xxxxeyyxeyy yyx 001,xyy時(shí)時(shí) 220d3dxyx 360 xysin10 xyexyyycos兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)1xey0 yx)0 , 0(cosxyyex直接求導(dǎo)法：直接求導(dǎo)法：yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此時(shí)注意此時(shí)01,yy 0 yxyyex兩

32、邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)小技巧小技巧單值可導(dǎo)隱函數(shù)單值可導(dǎo)隱函數(shù)( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求10sinxyexy 例例設(shè)設(shè)14.14.在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)某鄰域某鄰域可確定一個(gè)可確定一個(gè)22d3d0yxx d?dxy2200d( )(,),.dyxyyf xyx xyx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定 求求思思考考: :提示：提示： 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx lnln ,yyxx 即即37例例15. 設(shè)設(shè)2111()()( )limn xn xnx eaxbf xe試確定常數(shù)試確定常數(shù) a , b 使使 f (x) 處處可導(dǎo)處處可導(dǎo),并求并求( ).fx解：解： )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x1,x 時(shí)時(shí)( );fxa1x 時(shí)時(shí)，2( ).fxx) 1 ()1 ()1 (fff得可導(dǎo)必連續(xù)得可導(dǎo)必連續(xù)1( )f xx 利利用用在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，即即ba1) 1(21ba) 1 () 1 (ff000lim;lim.xxxxee 381111( )( )(