高中數(shù)學(xué)《基本初等函數(shù)》錯(cuò)誤解題分析

1、2.3?根本初等函數(shù)?錯(cuò)誤解題分析、知識導(dǎo)學(xué)1、二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。(1)注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式2f(x) ax bx c (a 0)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f(x)a(xm)2n(a 0)和二次函數(shù)的坐標(biāo)式f(x)a(xxj(xx2) (a 0)(2)解二次函數(shù)的問題(如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等)要充分 利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解。2 2 f(x) ax bx c (a 0)，當(dāng) b 4ac 0時(shí)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。M(xi,0)N(X2,0),|MN|=|x 1-X2F。|a| 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大

2、值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得。2、指數(shù)函數(shù)y ax (a 0,a 1)和對數(shù)函數(shù)y loga x (a 0,a 1)的概念和性質(zhì)。(1)有理指數(shù)幕的意義、幕的運(yùn)算法那么：mna am nm、nmnna :(a ) a ；(ab)anbn (這時(shí)m,n是有理數(shù))對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式。lOga(MN) loga Mloga N;.MlogaNlogaM logaNlOgaM nnloga M ;log a n. Mloga nM ；.logcb logablogc a(2)指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn)。對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn)。 指數(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在 x軸

3、上方，當(dāng)a > 1時(shí)，圖像越接近y軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像越接近y 軸，底數(shù)a越小。 對數(shù)函數(shù)的符號常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約，注意對底數(shù)a的討論。 當(dāng)a>1時(shí)，圖像越接近x軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像越接近x軸，底數(shù)a越小。3、幕函數(shù)y x的概念、圖像和性質(zhì)。結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x 3,y= y x 1,y x 2,y= x2的圖像，了解它們的變化情況。 > 0時(shí)，圖像都過0,0 、 1,1 點(diǎn)，在區(qū)間0, +8上是增函數(shù)；注意 > 1與0< v 1的圖像與性質(zhì)的區(qū)別。 v 0時(shí)，圖像都過1,1 點(diǎn)，在區(qū)

4、間0, +8上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖像向上無限接近y軸，向右無限接近x軸。 當(dāng)x>1時(shí)，指數(shù)大的圖像在上方。二、疑難知識導(dǎo)析1、 二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像。二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：1定義域區(qū)間在對稱軸的右側(cè)；2 定義域區(qū)間在對稱軸的左側(cè)；3對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi)2、 幕的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用。會用語言準(zhǔn)確表達(dá)這些運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：1式子= a ,2loga M N loga M loga N；logaM N loga M loga N3、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值。4、

5、 函數(shù)y afx的研究方法一般是先研究fx的性質(zhì)，再由a的情況討論y afx的性質(zhì)。5、對數(shù)函數(shù)yloga x (a 0,a 1)與指數(shù)函數(shù)y ax a 0,a1互為反函數(shù)，會將指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)化。6、幕函數(shù)yx:的性質(zhì)，要注意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響。奇偶奇(1)當(dāng)奇時(shí)，幕函數(shù)是奇函數(shù)；2 當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)；3 奇當(dāng)時(shí)，定義域偶不關(guān)于原點(diǎn)對稱，幕函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例 1 log18 9a,18b 5,求 log36 45【錯(cuò)解】 18b 5, .|og185 blog18 45log18 5 log18 9 b alog 36 45log18 36log18 4

6、logglogA a【錯(cuò)因】因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完?！菊狻?18b5, log" b嘰45=log!8 36logis5 logglogi8 4 logi8 9b alogi8 a92logi8第a例2分析方程f(x)2ax bx c 0 (a 0 )的兩個(gè)根都大于 1的充要條件?！惧e(cuò)解】由于方程f (x) ax2 bx c 0 ( a 0)對應(yīng)的二次函數(shù)為2f (x) ax bx c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可。f(1) 0f (1) 0故需滿足b，所以充要條件是b1 1 2a2a【錯(cuò)因】上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于 1，卻無視了最根本的的前題條

7、件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)才行，即滿足0,故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件。f (1) 0【正解】充要條件是12a2b 4ac 0例3求函數(shù)y 36x 12 6x 5的單調(diào)區(qū)間?！惧e(cuò)解】令 6x t，那么 y 36x 12 6x 5 = t212 t 5當(dāng)t > 6,即x > 1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)t w 6,即x w 1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)函數(shù)y 36x 12 6x 5的單調(diào)遞減區(qū)間是(，6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,)【錯(cuò)因】此題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍。【正解】令 6x t，那么 t 6x為增函數(shù)，y 36x 12 6x 5 = t2

8、12 t 5 = (t 6)2 41當(dāng)t > 6,即x> 1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)t W 6,即x W 1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)函數(shù)y 36x 12 6x 5的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,)例4y loga(2 ax)在0,1上是x的減函數(shù)，貝y a的取值范圍是 【錯(cuò)解】 y loga(2 ax)是由y log a u , u 2 ax復(fù)合而成，又a >0二u 2 ax在0 , 1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知y log a u應(yīng)為增函數(shù)， a > 1【錯(cuò)因】解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻無視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子

9、區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在0,1上有意義。【正解】 y loga(2 ax)是由y logau , u 2 ax復(fù)合而成，又a >0- u 2 ax在0 , 1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知y loga u應(yīng)為增函數(shù)， a > 1又由于x在0 , 1上時(shí)y log a (2 ax)有意義，u 2 ax又是減函數(shù)， x = 1時(shí)，u 2 ax取最小值是umin2 a > 0即可， a v 2綜上可知所求的取值范圍是1v a v 2例 5函數(shù) f (x) log a (3 ax)。(1) 當(dāng)x 0,2時(shí)f (x)恒有意義，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。(2) 是否存在這樣的實(shí)數(shù) a使得函數(shù)f(x

10、)在區(qū)間1 , 2上為減函數(shù)，并且最大值為 1,如果存在，試求 出a的值；如果不存在，請說明理由?！痉治觥亢瘮?shù)f(x)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否 存在性問題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明。【解】(1 )由假設(shè)，3 ax > 0，對一切x 0,2恒成立，a 0,a 13顯然，函數(shù)g(x)=3 ax在0 , 2上為減函數(shù)，從而 g(2) = 3 2a > 0得到a v -23 a的取值范圍是(0, 1)u( 1,2 假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù) a，由題設(shè)知f(1)1，即f(1) loga(3 a) = 133 a = 此時(shí) f (x) loga

11、(3 x)2 2當(dāng)x 2時(shí)，f (x)沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在?！军c(diǎn)評】此題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處理方法是先 假設(shè)存在，結(jié)合條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，假設(shè)推出矛盾，說明假設(shè)不成立。即不存在，反之沒有矛盾,那么問題解決。例6函數(shù)f(x)= lgx x124a2 "- a a 1其中a為常數(shù)，假設(shè)當(dāng)x( g, 1 時(shí)，f(x)有意義，求實(shí)數(shù) a的取值范圍?！痉治觥繀?shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式(組)非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把 a別離出來，重新認(rèn)識 a與其它變元(x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)

12、關(guān)系， ?？墒乖瓎栴}“柳暗花明。解： 2a>0,且 a2 a+仁(a丄)2+3>0,24x : 1+2 +4-a>0,當(dāng) x ( g , 1時(shí),1 1 )(亍尹11y= 一 與y= 都是減函數(shù)，4x2xma)=1 1y= (rr)在(g , 1上是增函數(shù)，423 3a>,故a的取值范圍是(，+ g)4 4【點(diǎn)評】開掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的 函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn)。此題主客換位后，利用1 1新建函數(shù)y=(飛-)的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實(shí)數(shù)a的取值范圍。此法也

13、叫主元法。421 1例7假設(shè)(a 1) 3(32a)3，試求a的取值范圍。1解：幕函數(shù) y x 3有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)a 1和3 2a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系a10a10a10 -32a0 .32a0.32a0a13 2aa13 2a2 3解三個(gè)不等式組：得v a v，無解，a v 13 22 3 a的取值范圍是(g,1)u( z ,-)3 21【點(diǎn)評】幕函數(shù)y x 3有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在此題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為a13 2a，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。例8 a>0 且1 ,f (loga x )=a2(x -)a1x(1)求 f(x)；判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性；對于 f(x),當(dāng) x ( 1 , 1)時(shí)，有f( 1m ) +f (1 m2 ) < 0 ,求 m的集合 M。【分析】先用換元法求出f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié) 論解第三問。解：(1)令 t=log ax(t R),那么xat, f (t)身(ata t), f (x)； (ax a x),(xR).a21a21(2) f( x)(a x ax) f(x),且x R, f(x)為奇函數(shù)當(dāng)a 1 時(shí)，字0,a 1a