高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)(內(nèi)附類型題以及歷年高考真題...

1、三角函數(shù)知識點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法1.任意角的三角函數(shù):(1) 弧長公式：I aRR為圓弧的半徑，a為圓心角弧度數(shù)，I為弧長。1R為圓弧的半徑，I為弧長。(2) 扇形的面積公式： S 丄IR2(3) 同角三角函數(shù)關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系：tan acota 1商數(shù)關(guān)系:, sin a tan acosa, cosa cot asin a平方關(guān)系：sin2 a cos2a 1(4)誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限k /2+ a所謂奇偶指的是整數(shù) k的奇偶性x函數(shù)sin xcosxtanxcotxasi nacosatanacot a2 asi nacosatanacotaa2cosasi nacot at

2、an a2兩角和與差的三角函數(shù):1兩角和與差公式：cos( ) cos a cos sin a sinsin(a ) sin a cos cosasintan a(atan a tan1 tan a tan注：公式的逆用或者變形2二倍角公式：sin 2a 2sin a cosacos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2a 2cos2 a 1tan 2 a2從二倍角的余弦公式里面可得出1 tan2 a降幕公式：cos2 a 1 cos2a ,23半角公式可由降幕公式推導(dǎo)出：sin2 a1 cos2a2sin旦1 cosaa,cos22cosa2，噸cosacosasin a 1 co

3、sa1 cosa sin a3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：其中k z三角函數(shù)y sin xy cosxy tanx定義域-X,+x-OO,+Xx k2值域-1,1-1,1-O, +0最小正周期T 2T 2T奇偶性奇偶奇單調(diào)性2k_,2k-單調(diào)遞增32k -,2k 分單調(diào)遞減(2k 1) ,2k 單調(diào)遞增(2k ,(2k 1)單調(diào)遞減(k 尹 2)單調(diào)遞增對稱性xk2x k,0)(k,0)(k -,0)2零值點(diǎn)xkx k2xkxk2x 2k ，最值點(diǎn)ymax1ymax1 ；無x k2x (2k 1)，ymin1ymin14.函數(shù)y Asin( x )的圖像與性質(zhì):本節(jié)知識考察一般能化成形如y Asi

4、n( x )圖像及性質(zhì)(1)函數(shù) y Asin( x)和 y Acos( x)的周期都是T(2)函數(shù)yAtan( x)和 y Acot( x)的周期都是Tn(3)五點(diǎn)法作y Asin(x)的簡圖，設(shè)tx，取 0、2及對應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。2來求相應(yīng)x的值以(4)關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對字母x而言，即圖像變換要看“變量起多大變化，而不是“角變化多少。附上函數(shù)平移伸縮變換：函數(shù)的平移變換：yf(x)yf(x a)(a0)將yf (x)圖像沿x軸向左右平移 a個(gè)單位左加右減yf(x)yf (x) b(b0)將yf (x)圖像沿y軸向上下平移b

5、個(gè)單位上加下減函數(shù)的伸縮變換：yf(x)yf (wx)( w0)將yf (x)圖像縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮到原來的1倍w 1縮w短，0 w1伸長yf(x)yAf (x)(A0)將yf (x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A 倍A 1伸長，0 A 1縮短 函數(shù)的對稱變換：f (x) y f( x)將 yf(x)圖像繞y軸翻折180°整體翻折對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x軸對稱f (x) y f(x)將 yf (x)圖像繞x軸翻折180°整體翻折對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱f (x) y f (x)將 yf (x)圖像在y軸右側(cè)保存，并把右側(cè)圖像繞 y軸翻折到左側(cè)偶函數(shù)局部翻折

6、 y f (x)y f (x)保存yf (x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去局部翻動(dòng)5、方法技巧一一 三角函數(shù)恒等變形的根本策略。1常值代換：特別是用"1的代換，如 仁cos2 0 +sin 2 0 =tanx cotx=tan45 °等。2 2 2 2 2 22項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配湊角：a =a+ B一 3,3 =等。2 23降次與升次。4化弦切法。 n24引入輔助角。asin 0 +bcos 0 = a b sin( 0 + )，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定

7、， 角的值由tan =b確定。a類題：1. tanx=2,求 sinx,cosx的值.解：因?yàn)閠an xsin x2，又 sin2x+ cos2x=1 ,cosxsinx 2 cosx聯(lián)立得 sin2x cos2x 12屁.2屁sinxsin x解這個(gè)方程組得55J5'V5cosxcosx55tan( 120 ) cos(210 ) sin( 480 ) “2.求的值.tan( 690 ) sin( 150 ) cos(330 )解：原式tan( 120180 )cos(18030 )sin( 360120 )tan( 72030o)sin( 150 )cos(360 30 )tan

8、60 ( cos30 )( sin 120 )tan30 ( sin 150 )cos30sin x cosx+ .砧/古3. 假設(shè) 2,，求 sinxcosx 的值.sin x cosx '解：法一：因?yàn)?slnx cosx 2,si nx cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx),得到sinx- 3cosx,又sin2x+ cos2x=1，聯(lián)立方程組，解得3后3、10sinxsinx1010皿cosxcos x.10，10103所以 sin xcosx一10法二：因?yàn)?sin x cosx 2,sin x cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cos

9、x), 所以(sinx cosx)2=4(sinx+ cosx)2, 所以 1 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx,3所以有sinxcosx 104.求證：證明:法二:tan2x sin2x=tan2x sin2x.法一：右邊= tan2x sinYhan2x (tan2x cos2x)=tan2x(1 cos2x)=tan sin2x, 問題得證. 左邊 =ta n2x sin 2x=ta n2x(1 cos2x)=ta n2x ta n2x cos2 x=ta n2x si n2x,問題得證.5.求函數(shù)x ny 2sin( )在區(qū)間0, 2 上的值域.2 6解:因?yàn)?<

10、; x< 2 n,所以n牛由正弦函數(shù)的圖象,si n(x n)2 6y 1, 2.6.求以下函數(shù)的值域.(1)y= sin2x cosx+2;得到所以(2)y= 2sin xcosx (sinx+ cosx).解：(1)y=sin 2x cosx+ 2 = 1 cos2x cosx+ 2= (cos2x+ cosx) + 3,令 t=cosx，那么 t 1,1, y (t2 t) 3(t A213(t1)213利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) 1,13.'- 2 , sin(x 町，那么4'4(2)y= 2sinxcosx (sinx+ cosx)=(sin x+ cosx)2

11、1 (sinx+ cosx)，令 t=sinx+ cosxt 2, .2那么，y t2 t 1,利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) ,12.47. 假設(shè)函數(shù)y=Asin(妨(3>0, $>0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為(2八2)，它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于(6, 0)，求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式.解：由最高點(diǎn)為(2八2),得到A .2，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期，從而與x軸交點(diǎn)的間隔是 -44 , T=16，所以個(gè)周期，這樣求得4 8又由逅 V2sin(n 2)，得到可以取n yJ2sin(-x -).84848. 函數(shù) f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.冗(i)求f

12、(x)的最小正周期；(n)假設(shè)x 0,求f(x)的最大值、最小值.21 sin x數(shù)y的值域.3 cosx解：(I )因?yàn)?f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x = (cos2x sin2x)(cos2x+ sin2x) sin2x.2 sin(2x n)4(cos2 x sin2x) sin 2x cos2x sin 2x . 2 sin(n 2x)4所以最小正周期為 n(n)假設(shè)x o，n '那么(2x n，所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取最大值為.2sin( -n)1;當(dāng) x E 時(shí),1.tan2，求1cos cossinsin2sin21sin解:1cossin1co

13、s1 tan1 . 2cossin1sin1 tan1 21cosf(x)取最小值為2sin . cos3 2 2 ;2cos22 sinsin cos2sinsin22cos2 2 22 sinsin cos2 cos22 sin2 cos2coscos2422sin/2 12 13cos48說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過2.求函數(shù)y1sin xcosx (sin解:設(shè)tsinxcosx.2 si n(xyt2 t1(t3,因?yàn)閠24當(dāng)t2i時(shí)，Ym；ax32，當(dāng)t所以:，函數(shù)的値【域?yàn)?y-,3 刁程簡化。O2x cosx)的值域。n

14、). 2 2，那么原函數(shù)可化為42，所以3.函數(shù)f (x)24sin x 2sin 2x2時(shí),2, x3y min41求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時(shí)x的集合;2證明：函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x丄對稱。8解：f(x) 4s in2x2sin 2x2 2sinx 2(1 2sin2x)2sin 2x2cos2x2、2 sin(2x -)4(1)所以f(x)的最小正周期冗，因?yàn)閤 R,n所以，當(dāng)2x n 2kn4n，即 x kn2 83 n時(shí)，f(x)最大值為2 2 ；欲證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xn對稱，只要證明對任意x R ,有8f(7Cx)f(f x) 成立,因?yàn)閒

15、(7t所以f(x)2、. 2 si n2(7tf(x)2、, 2 si n2(x)2 2 sin(-22x)2, 2cos2x ,x)x)nn22sin( f2x)2、2 cos2x ,f(x)成立，從而函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線n對稱。81 23 .彳y= cos x+ sinx cosx+12 21當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量2該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?1 2. 3 .解：1 y= cos x+ sinx2 21 _. 3=cos2x+4=1 sin( 2x+24.函數(shù)x R ,x的集合;sin 2x+4-)+ -641 2 1-cosx

16、+1= (2cos x 1)+4451= (cos2x sin +sin2x4262sinx cosx+14cos )+§64所以 y 取最大值時(shí)，只需 2x+ =+2k n , k Z，即 x= +k n , k Z。6 2 6所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量 x的集合為x|x= +kn ,k Z62將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:i把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移 一，得到函數(shù)y=sin(x+ )的圖像;6圖像;ii把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的iii 把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin(2x+ )的圖像;2-倍261橫坐標(biāo)不變，得到函

17、數(shù)y= sin(2x+ )的2 65iv丨把得到的圖像向上平移-個(gè)單位長度，得到函數(shù)1 5y= si n(2x+ )+ 的圖像。2 64綜上得到 y= 1 cos2x+ 一3 sinxcosx+1 的圖像。2 2歷年高考綜合題 ，選擇題1. 08 全國一 6y (sin XA.最小正周期為2 n的偶函數(shù)2cosx)1 是B.最小正周期為2 n的奇函數(shù)4.08 全國二 10.函數(shù) f(x) sinxcosx的最大值為A.5. 08安徽卷8函數(shù)yA.x -6B. xC.x D.x 12612s2x 3)圖像的對稱軸方程可能是個(gè)單位后，得到函數(shù)26. 08福建卷7函數(shù)y=cosx(x R)的圖象向左

18、平移y=g(x)的圖象，那么g(x)的解析式為A.-sin xB.sinC.-cosD.cos7. 08廣東卷5函數(shù)f (x)(1cos2x)sin 2 x, xR，那么f (x)是2.08全國一 9為得到函數(shù)y cosx上 的圖象，只需將函數(shù) y sinx的圖像3A.向左平移n個(gè)長度單位B.向右平移丄個(gè)長度單位66C.向左平移乂個(gè)長度單位D.向右平移2個(gè)長度單位663.(08全國二-1)假設(shè)sin0 且 tan0是，那么 是C.最小正周期為n的偶函數(shù)D.最小正周期為 n的奇函數(shù)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角F'，假設(shè)F的一條對A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小

19、正周期為一的奇函數(shù)2C最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)28. 08海南卷11函數(shù)f (x)cos2x2sin x的最小值和最大值分別為A. - 3， 1B.2, 2C. 3，-D.-2,色229. 08湖北卷7將函數(shù)y sin(x)的圖象F向右平移一個(gè)單位長度得到圖象3稱軸是直線x ,那么 的一個(gè)可能取值是1A.551111B.C.D.1212121210.08江西卷6函數(shù)sin xf (x)是sin x 2sin2A.以4為周期的偶函數(shù)B.以2為周期的奇函數(shù)C.以2為周期的偶函數(shù)D.以4為周期的奇函數(shù)11.假設(shè)動(dòng)直線x a與函數(shù)f(x)cosx的圖像分別交于為A.1B.2C.3D

20、. 212.08山東卷10 cosn sin4J3 ,那么sin7 n的值是656A.2,32、.3C .44B.D555513.08陜西卷1sin330等于A.B.1C1D222214.08四川卷4tanxcotx cos2x()A .tanxB .sin xC . cosxD . cotx15. 08天津卷R)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng) 一個(gè)單位長度，再把所得圖象3M , N兩點(diǎn)，貝U MN的最大值sin x 和 g(x)6把函數(shù)y sin x(x上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來縱坐標(biāo)不變，得到的圖象所表示的函數(shù)是siny sin 2x 3C.y sin 2x3，xRD .ysin2x3,x

21、R16.08天津卷9設(shè)a.5 sin,b cos2-,ctan ,那么777A.a b cB. ac bC. bcaD. ba c17.08浙江卷2函數(shù)y(sin xcosx)21的最小正周期是AB.C.3D.22218. 08浙江卷7在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y cos(-231亍xO,2 )的圖象和直線y J交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.4二，填空題19.08北京卷9假設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1, 2)，那么tan2的值為20.08江蘇卷1COS的最小正周期為，其中50,那么21.08遼寧卷16設(shè) x，那么函數(shù)y2sin x 1 厶的最小值為sin 2x22.08浙江卷12假設(shè)s"

22、;(i3，貝U cos2523.08上海卷6函數(shù) f (x) = 3sinx +sin( 2+x)的最大值是三，解答題24.08四川卷17求函數(shù)y 7 4sin xcosx 4cos2 x 4cos4 x的最大值與最小值。25.08北京卷15函數(shù)f(x)sin2x .3 sin xsinnn0丨的最小正周期為 n.l2的值；n求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,上的取值范圍.26.08天津卷17函數(shù)f(x)2cos2x 2si n xcos1 x R, 0丨的最小值正周期是I求的值;n求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使 f (x)取得最大值的x的集合.27.08安徽卷17函數(shù)f (x) cos(2x )

23、2sin( x)sin(x)344I求函數(shù)f (x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程5求函數(shù)f(x)在區(qū)間齊上的值域2&08陜西卷仃函數(shù)f(x)詼矜：2亦2：3.I求函數(shù)f (x)的最小正周期及最值;5令 g(x)x n，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由.31.D 2.C 3.C 4.B 5.B6.A 7.D 8.C 9.A 10.A25.解：I f (x)1 cos2 x219. 420. 1021.3、322. 2523.224.解：y7 4sinxcosx 4cos2 x 4cos4 x72sin 2x4cos2 x 12 cos x72sin 2x4cos2 xsin2x72sin 2xsin2 2x12sin 2x6由于函數(shù)z2u 16 在1,1中的最大值為zmax21 16 10最小值為Zmin21 1 66故當(dāng)sin2x1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin 2x 1時(shí)y取得最小值11.B 12.C 13.B 14.D15.C 16.D 17.B 18.C【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)根本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；【突破】：禾U